找次品：三分法

知识要点

在众多外观相同的物品中，找出唯一一个重量不同的次品（可能更轻，也可能更重），用天平来称，最节省次数的策略就是“三分法”。

💡 核心概念

把待测物品尽可能平均分成三份。天平称一次，会产生三种结果：左重、右重或平衡。每种结果都能将次品的范围锁定在其中的一份里。这样，我们用一次称量，就将搜索范围缩小到了原来的大约 \( \frac{1}{3} \)，这是最快找到次品的方法。

📝 计算法则

分组：将物品总数 \( n \) 尽可能平均地分成三组，假设每组有 \( a, a, b \) 个物品（\( b \) 可能比 \( a \) 少1或少2）。
称量：将两组数量相同的（\( a \) 个）放在天平左右盘。
- 若平衡，则次品在剩下的 \( b \) 个中。
- 若不平衡，则次品在天平上的某一盘中，并可以知道次品是“更重”还是“更轻”。
锁定与递归：将问题转化为从更少数量的物品中找次品（已知轻重或未知），重复步骤1和2，直到找出次品。

🎯 记忆口诀

物品总数分三份，尽量均分是根本。

两份上秤比轻重，范围瞬间缩三成。

若问最多需几次，牢记三的幂次方。

🔗 知识关联

等式的性质：天平就像等式，平衡时两边相等。
逻辑推理：根据称量结果进行判断，类似“如果…那么…”的逻辑。
除法与平均分：将总数平均分成三份。

易错点警示

❌ 错误1：把物品分成两份（如4和4）去称。这样最坏情况（次品在其中一份的4个里）需要更多次数才能找出来。

✅ 正解：始终坚持“三分法”，分成三堆（如3，3，2）。

❌ 错误2：次品不知轻重时，第一次称量随意拿取物品。这可能导致无法判断次品轻重，陷入僵局。

✅ 正解：第一次称量必须用数量相等的两组上秤，这样才能通过天平倾斜判断次品轻重，为后续缩小范围提供关键信息。

❌ 错误3：计算“最多需要称几次”时，直接用物品数除以3。这是错误的，因为每次缩小范围后，还需要继续称。

✅ 正解：思考“称一次最多能从多少个物品中保证找出次品？”答案是 \( 3^1 = 3 \) 个。“称两次最多能从多少个中找出？”答案是 \( 3^2 = 9 \) 个。规律是：最多称 \( k \) 次，能从最多 \( 3^k \) 个物品中保证找出次品。所以要倒过来想，例如27个物品，因为 \( 27 = 3^3 \)，所以最多需要称3次。

三例题精讲

🔥 例题1：有9盒完全相同的饼干，其中一盒被偷吃了2块（比其他盒轻）。用天平至少称几次，能保证找出这盒轻的饼干？

📌 第一步（分组）：把9盒平均分成3份，每份3盒。

📌 第二步（第一次称）：天平左右各放3盒。

如果平衡，则轻的在剩下的3盒中。
如果不平衡，则轻的那盒在翘起来（较轻）的那边3盒中。

至此，通过1次称量，我们将范围缩小到了3盒饼干中，并且已知次品是“轻”的。

📌 第三步（第二次称）：从有问题的3盒中，任取2盒放在天平左右。

如果平衡，剩下没称的那盒是轻的。
如果不平衡，翘起来（较轻）的那盒就是我们要找的。

✅ 答案：至少称2次。

💬 总结：这是三分法的标准应用。第一次称将9（\( 3^2 \)）缩小为3（\( 3^1 \)），第二次称从3个中找出1个。

🔥 例题2：有12个乒乓球，其中一个是次品（但不知道是轻是重）。给你一架天平，至少称几次能保证找出这个次品？

📌 第一步（首次分组）：将12个球分成3组：A组(1,2,3,4)，B组(5,6,7,8)，C组(9,10,11,12)。先称A vs B。

📌 第二步（分析首次结果）：情况复杂，以“A组重”为例（若平衡，则次品在C组，且不知轻重；若B组重则同理）。假设A组重，那么要么次品在A组且较重，要么在B组且较轻。此时C组全是好球。

📌 第三步（二次称量）：将A组中的(1,2,3)与B组中的(5,6,7)及C组一个好球(9)混合称量。即左盘：(1,2,3,5)，右盘：(4,9,10,11)。这里用到了“标重法”，即用好球做参照。根据天平倾斜情况，可以锁定次品在哪个球上，并知道其轻重。

✅ 答案：至少称3次。

💬 总结：当次品轻重未知时，策略更复杂。首次称量仍用“三分法”（4，4，4），后续称量需要利用“已知的好球”作为标准重量来辅助判断。

🔥 例题3：一箱零件有27个，其中有一个是次品（重量不合格）。用天平至少称几次，能保证把它找出来？

📌 第一步：27个正好是 \( 3^3 \)。先平均分成三堆，每堆9个。称其中两堆。

📌 第二步：根据第一次称量结果（平衡或不平衡），将次品范围锁定在9个零件中。

📌 第三步：将9个零件再平均分成三堆，每堆3个。称其中两堆。

📌 第四步：根据第二次结果，将次品范围锁定在3个零件中。

📌 第五步：最后从3个中任取两个称一次，即可找出次品。

✅ 答案：至少称3次。

💬 总结：对于 \( 3^k \) 个物品，用三分法恰好需要 \( k \) 次。这是一个经典的结论，需要牢记。

练习题（10道）

有8瓶相同的矿泉水，其中一瓶是空瓶（轻一些）。用天平至少称几次能保证找出它？
有10个同样的纪念币，其中一个是假币（较重）。至少称几次能保证找出假币？
有81袋同规格的白糖，其中一袋分量不足。用天平至少称几次能保证找出这袋糖？
妈妈买了15个苹果，发现其中一个被虫蛀了（质量稍轻）。用家里的电子秤（只能显示左右哪边重）最少称几次能保证找到坏苹果？
有14个乒乓球，其中一个是次品（不知轻重），用天平至少称几次能保证找出？
一包糖果有26颗，有一颗是“空心糖”（轻）。至少称几次能保证找到它？
有4盒巧克力，标号1-4，其中一盒全是代可可脂的（轻）。称一次能保证找到吗？如果能，怎么称？
有3颗钻石和1颗仿制品（仿制品更轻）。用天平最少称几次能找出仿制品？
有27枚金币和1枚镀金的假币（假币更轻），混在一起。至少称几次能保证找出假币？
有一堆零件在100到200个之间，用天平找其中一个次品（轻重已知），保证找到的最少次数是5次。这堆零件最多可能有多少个？

奥数挑战（10道）

有13个金币，其中一个是假的（重量与真币不同，但不知是轻是重）。用天平至少称几次能保证找出假币？
有5袋面粉，其中4袋每袋重 \( 500 \text{g} \)，1袋重 \( 495 \text{g} \)。用一个没有砝码的天平，至少称几次能保证找出轻的那袋？
有8个球，编号1-8，其中6个一样重，另外两个都轻一些（且重量相同）。用天平至少称几次能保证找出这两个轻球？
有4个球，其中可能有一个次品（轻重不知），也可能没有（全是好球）。用天平至少称几次能判断出“是否有次品”以及“如果有，是哪个，是轻是重”？
有 \( 3^n \) 个球，其中一个次品（轻重不知）。用天平称 \( n+1 \) 次，能保证找出次品吗？为什么？
有12个小球，其中11个好球重量相等，另一个坏球重量不同（不知轻重）。给你一架天平和3个标准好球，至少称几次能保证找出坏球并知轻重？
“三分法”的本质是每次称量能获得“左重”、“右重”、“平衡”三种信息。若允许使用砝码，一次称量最多能获得多少种不同的信息？这对找次品策略有何启发？
有100个零件，有一个是次品（较重）。但天平只有两个托盘，且一次最多只能放30个零件。至少需要称几次？
有10瓶药水，其中9瓶是 \( 1.0 \text{g/mL} \) 的标准液，1瓶是 \( 1.1 \text{g/mL} \) 的浓缩液（更重）。给你一架天平和足够多标好刻度的空烧杯，如何只称一次就找出浓缩液？
将找次品问题推广：用天平称 \( k \) 次，最多能从多少个球中找出一个次品（且必须知道它是轻是重）？这个数与 \( 3^k \) 有什么关系？

生活应用（5道）

（网购） 你在网上买了12支同款电子笔，到货后发现有一支是坏的（无法开机，可能因内部电池缺失而更轻）。你只有一个小厨房秤，想用最少的称重次数找出坏笔。请问该如何操作？最少称几次？
（航天） 在卫星发射前，工程师需要检查1000个同型号的精密螺丝中是否混入了一个强度不合格的次品（质量略轻）。他们使用高精度天平，请问理论上最少需要检测几次（每次可以对比任意数量的螺丝）？
（AI训练） 训练一个AI识别“次品水果”。算法每次可以同时比较三张图片（A, B, C），并给出“A最像次品”、“B最像次品”、“C最像次品”或“三者都不是次品”的判断。现在有27张待筛查的苹果图片，其中确定有1张是次品苹果图。问AI最少需要调用几次这个比较函数，才能保证找出那张次品图？
（环保） 环保局有9个水样，来自同一条河的不同河段，其中一份水样被意外污染（密度与其他8份不同）。用精密浮力天平（原理同托盘天平）至少测量几次能定位被污染的水样？
（高铁检修） 一节高铁车厢有81个重要的同型号电气接头。已知其中恰好有一个接头存在虚接隐患（电阻异常，但外观无法分辨）。检修员用一种设备可以同时测试任意多个接头的总电阻是否正常。请问他最少需要分成几组进行测试，才能保证找出有隐患的接头？

参考答案与解析

【练习题答案】

2次。分成(3,3,2)，先称3 vs 3。

3次。分成(3,3,4)，先称3 vs 3。若平衡，次品在4个中（已知重），还需2次；若不平衡，次品在重的3个中，还需1次。最坏情况需要3次。

4次。因为 \( 81 = 3^4 \)，所以需要4次。

3次。15在 \( 3^2=9 \) 和 \( 3^3=27 \) 之间，所以至少需要3次。

3次。这是一个经典问题，14个球（不知轻重）需要3次。

3次。26在 \( 3^2=9 \) 和 \( 3^3=27 \) 之间，需要3次。

能，1次。左边放1号和2号，右边放3号和4号。哪边轻，次品就在那边。如果平衡？不可能平衡，因为次品一定存在且轻。

1次。任取两颗钻石放在天平两端。若平衡，则剩下的是仿制品；若不平衡，轻的那端是仿制品。

3次。总共有28枚，但已知假币更轻。28在 \( 3^3=27 \) 和 \( 3^4=81 \) 之间，但由于已知轻重，有时可以更快。但最坏情况仍需3次。策略：分成(9,9,10)，先称两个9。

243个。称5次最多能从 \( 3^5 = 243 \) 个物品中保证找出次品。零件数在100-200之间，都只需5次，但最多就是243个。

【奥数挑战答案】

3次。这是经典“12球问题”的扩展（13球）。标准解法需3次。

2次。分成(2,2,1)。先称2 vs 2。若平衡，则剩下那袋是轻的；若不平衡，将轻的一边的两袋再称一次即可。

3次。第一次称 (1,2,3) vs (4,5,6)。根据平衡与否，情况较多。核心是将8个球分成三组，并利用“两个轻球可能在同一组，也可能在不同组”的信息进行设计。

2次。第一次称1 vs 2。第二次称1 vs 3。通过两次结果组合（平衡/不平衡）可以唯一确定所有情况。

不能。对于不知轻重的次品，称 \( n \) 次最多能从 \( (3^n - 3)/2 \) 个球中保证找出。这小于 \( 3^n \)。但题目问 \( n+1 \) 次，那当然能找出，因为 \( n+1 \) 次的能力远强于 \( n \) 次。原题可能意在对比“轻重已知”和“轻重未知”的差异。

2次。因为有3个标准球，相当于“已知12个球中有一个坏球，且我们有无限多好球可以参考”，策略灵活性大大增加，2次可以解决。

5种。使用砝码可以称出“左重x克”、“平衡”、“右重y克”等多种连续信息。但找次品是离散判断，启发是可以用砝码进行更精细的“称重”而非“比较”，从而可能用更少次数解决更多球的问题。

4次。第一次称30 vs 30。次品在重的30个中。第二次将重的30个分成(15,15)再称。次品在重的15个中。第三次，从15个中取14个分成(7,7)称。若平衡，剩下的是次品；若不平衡，次品在重的7个中。第四次从7个中任取6个称(3 vs 3)。

操作：从第1瓶取1mL，第2瓶取2mL，……，第10瓶取10mL，混合后称总重量。标准总重应为 \( (1+2+…+10) \times 1.0 = 55.0 \text{g} \)。实际重量多出 \( 0.1 \times n \) 克，那么第 \( n \) 瓶就是浓缩液。

\( (3^k - 3)/2 \) 个。因为每次称量有3种结果，\( k \) 次有 \( 3^k \) 种信息序列。但我们需要用这些序列来编码“哪个球是次品”以及“它是轻是重”这两种属性。所以 \( 3^k \geq 2n \)，解得 \( n \leq (3^k - 3)/2 \) （当 \( 3^k \) 为奇数时取等）。

【生活应用答案】

操作：模仿三分法。12支笔分成(4,4,4)。先称两组4支。最少需要3次。

理论最少次数：因为 \( 1000 < 3^7 = 2187 \)，所以理论上用天平至少称7次就能从1000个螺丝中找出那个轻的次品。

3次。这完美对应三分法模型。AI每次比较相当于一次天平称量，将图片分成三份，并判断次品在哪一份。27张图正好是 \( 3^3 \)，所以需要3次。

2次。9份水样，已知其中一份密度不同（但不知偏大还是偏小）。这与“9个球，一个次品不知轻重”问题等价，需要2次。（经典结论：用天平能从不超过 \( (3^n - 3)/2 \) 个球中找出不知轻重的次品，当n=2时，这个数是3。9个球需要3次。请注意，这里题目说“密度不同”，没有说已知偏大或偏小，因此属于“不知轻重”问题，9个球需要3次。我之前的答案有误，特此更正。）

最少测试组数即称量次数。81个接头，用“分组测试”（类似于天平一次可以比较多个组的总电阻）的方法，其数学模型与找次品完全相同。81 = \( 3^4 \)，所以最少需要分成4组（即进行4轮测试）来找出隐患接头。

找次品问题解题技巧：三分法、公式与10道奥数练习题详解（含PDF下载）