知识要点

本节我们来学习如何快速求出一个数有多少个因数，而不用一个一个去列举。

💡 核心概念：因数个数公式

一个大于1的自然数，都可以写成几个质数相乘的形式，这叫分解质因数。比如，\( 12 = 2^2 \times 3^1 \)。因数个数公式告诉我们：一个数因数的个数，等于它每个质因数的指数加1后，再连乘。

简单说，就是看这个数分解质因数后，肩膀上的“小指数”们。把每个“小指数”加1，然后乘起来，得到的结果就是因数的总个数。

📝 计算法则

求一个数 \( N \) 的因数个数，具体步骤如下：

分解质因数：把数 \( N \) 写成 \( N = a^m \times b^n \times c^p \times ... \) 的形式。其中 \( a, b, c... \) 是质数，\( m, n, p... \) 是它们的指数。
指数加一：分别给每个质因数的指数加1，得到 \( (m+1), (n+1), (p+1)... \) 。
连乘求积：将这些结果相乘，即 \( (m+1) \times (n+1) \times (p+1) \times ... \) 。
得到答案：最后的乘积就是数 \( N \) 的因数总个数。

🎯 记忆口诀

质因数分解是地基，指数加一再连乘。

🔗 知识关联

因数与倍数：本知识的基础，理解什么是因数。
质数与合数：知道什么是质数，才能进行分解。
分解质因数：本知识的核心前置技能，必须熟练掌握。

易错点警示

列出学生最常犯的3个错误：

❌ 错误1：忘记给指数“加1”。例如：求 \( 12 = 2^2 \times 3^1 \) 的因数个数，错误地算成 \( 2 \times 1 = 2 \) 个。

✅ 正解：指数要分别加1后再相乘：\( (2+1) \times (1+1) = 3 \times 2 = 6 \)（个）。12的因数有1,2,3,4,6,12，共6个。

❌ 错误2：把“指数加1”后的结果“相加”。例如：求 \( 18 = 2^1 \times 3^2 \) 的因数个数，错误地算成 \( (1+1) + (2+1) = 2+3=5 \) 个。

✅ 正解：应该是相乘：\( (1+1) \times (2+1) = 2 \times 3 = 6 \)（个）。18的因数有1,2,3,6,9,18，共6个。

❌ 错误3：分解质因数时出错，导致后续计算全错。例如：将 \( 50 \) 错误地分解为 \( 5 \times 10 \)。

✅ 正解：必须分解到全部是质数相乘：\( 50 = 2 \times 5^2 \)。然后计算因数个数：\( (1+1) \times (2+1) = 2 \times 3 = 6 \)（个）。

三例题精讲

🔥 例题1：求 28 有多少个因数。

📌 第一步：分解质因数。\( 28 = 2^2 \times 7^1 \)。

📌 第二步：指数加一。2的指数是2，加1得3；7的指数是1，加1得2。

📌 第三步：连乘求积。\( 3 \times 2 = 6 \)。

✅ 答案：28 有 6 个因数。

💬 总结：对于较小的数，先熟练运用公式，可以验证（1,2,4,7,14,28）。

🔥 例题2：求 360 的因数个数。

📌 第一步：分解质因数。\( 360 = 36 \times 10 = (6 \times 6) \times (2 \times 5) = (2 \times 3)^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)。建议用短除法系统分解。

📌 第二步：指数加一。2的指数是3，加1得4；3的指数是2，加1得3；5的指数是1，加1得2。

📌 第三步：连乘求积。\( 4 \times 3 \times 2 = 24 \)。

✅ 答案：360 有 24 个因数。

💬 总结：对于较大的数，分解质因数是关键且第一步，务必准确、彻底。

🔥 例题3：一个数只有两个质因数2和3，且它有12个因数。这个数最小是多少？

📌 第一步：设这个数为 \( 2^m \times 3^n \)。根据公式，因数个数为 \( (m+1)(n+1) = 12 \)。

📌 第二步：找乘积为12的(m+1， n+1)组合。12可以拆成：\( 12 \times 1 \)， \( 6 \times 2 \)， \( 4 \times 3 \)。对应的m和n为：

\( m+1=12， n+1=1 \) → \( m=11, n=0 \)（n=0意味着没有质因数3，不符合“有两个质因数”条件，舍去）
\( m+1=6， n+1=2 \) → \( m=5, n=1 \) → 数为 \( 2^5 \times 3^1 = 32 \times 3 = 96 \)
\( m+1=4， n+1=3 \) → \( m=3, n=2 \) → 数为 \( 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \)
\( m+1=3， n+1=4 \) → \( m=2, n=3 \) → 数为 \( 2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108 \)
（还有对称情况，但求最小数，只需比较上述有效组合）

📌 第三步：比较大小，找出最小的数。\( 72 < 96 < 108 \)。

✅ 答案：这个数最小是 72。

💬 总结：这是公式的逆向应用。已知因数和质因数种类，通过“指数加一之积”反推可能的指数组合，再求最小的数。

练习题（10道）

利用公式，求 16 的因数个数。
利用公式，求 45 的因数个数。
利用公式，求 100 的因数个数。
一个数 \( A = 2^4 \times 5^2 \)，它有多少个因数？
一个数分解质因数为 \( 3 \times 7^2 \)，它有多少个因数？
六（一）班有学生人数恰好等于 \( 2^2 \times 3 \times 7 \)，请问这个班可能有多少名学生？
一个篮子里苹果的个数，分解质因数后是 \( 2 \times 3^3 \)，请问苹果可能有多少个？
求 144 的因数个数。
求 210 的因数个数。
已知 \( B = 2^a \times 3^1 \)，且 B 有 8 个因数，求 a 的值。

奥数挑战（10道）

求 1024 的因数个数。
一个数有 9 个因数，这个数最小是多少？
1500 有多少个因数？
一个数是 30 的倍数，且恰好有 30 个因数。这个数最小是多少？
两个数 \( a=2^5 \times 3^7 \times 5 \)， \( b=2^3 \times 3^2 \times 5^4 \)，那么 \( a \times b \) 的积有多少个因数？
在 1 到 100 的自然数中，因数个数最多的数是几？它有多少个因数？
一个数的因数个数是奇数，这个数有什么特征？请证明你的结论。
已知一个自然数有 10 个因数，且它只有 2 和 5 两个质因数，这个数最小是多少？
求 \( (2^4 \times 3^2 \times 5) \) 和 \( (2^2 \times 3^3 \times 7) \) 的最大公因数的因数个数。
一个数的平方有 45 个因数，求这个数最少有多少个因数？

生活应用（5道）

（高铁规划） 一列“复兴号”高铁有若干节车厢。若总座位数能分解为 \( 2^3 \times 5^2 \times 7 \)，这列高铁总座位数有多少种不同的因数？这对应了多少种不同的车厢编组方式（假设每种编组座位数不同）？
（AI训练） 某AI模型训练需要将一批图片均匀分配给多个GPU核心同时处理。如果图片总张数是 360 张，为了保证没有剩余，每个核心分配的图片张数有多少种可能？
（航天发射） 航天中心计划发射一颗卫星，其轨道调整发动机的点火次数是一个合数。已知这个数的质因数只有 2 和 3，且因数个数为 15。请问这个点火次数最小可能是多少？
（环保植树） 环保小组同学在校园里植树。他们买的树苗总数 N 是一个两位数，且 N 的因数个数恰好是 6。请问他们最多可能买了多少棵树？最少呢？
（网购促销） 电商平台设计一个“满减”游戏：用户订单金额（整数元）的因数个数如果是偶数，立减10元；如果是奇数，立减5元。小明的订单金额是 120 元，他能获得哪种立减优惠？

参考答案与解析

【练习题答案】

16 = \( 2^4 \)，因数个数：\( 4+1=5 \)。

45 = \( 3^2 \times 5^1 \)，因数个数：\( (2+1)\times(1+1)=3\times2=6 \)。

100 = \( 2^2 \times 5^2 \)，因数个数：\( (2+1)\times(2+1)=3\times3=9 \)。

\( (4+1)\times(2+1)=5\times3=15 \) 个。

\( 3^1 \times 7^2 \)，因数个数：\( (1+1)\times(2+1)=2\times3=6 \) 个。

\( 2^2 \times 3 \times 7 = 84 \)，就是84名学生。问“可能有多少名”是在练习分解，答案就是84。

\( 2 \times 3^3 = 54 \)，苹果有54个。

144 = \( 12^2 = (2^2\times3)^2 = 2^4\times3^2 \)，因数个数：\( (4+1)\times(2+1)=5\times3=15 \)。

210 = \( 21 \times 10 = 3\times7\times2\times5 = 2^1\times3^1\times5^1\times7^1 \)，因数个数：\( 2\times2\times2\times2=16 \)。

根据公式，\( (a+1)\times(1+1)=8 \)，所以 \( (a+1)\times2=8 \)， \( a+1=4 \)， \( a=3 \)。

【奥数挑战答案】

1024 = \( 2^{10} \)，因数个数：\( 10+1=11 \)。

9 = \( 9\times1 = 3\times3 \)。要使数最小，应让指数大的底数小。

对应 \( m+1=9， n+1=1 \) → 数 = \( 2^8 = 256 \)

对应 \( m+1=3， n+1=3 \) → 数 = \( 2^2 \times 3^2 = 36 \)

比较得最小为 36。

1500 = \( 15 \times 100 = 3\times5\times(2^2\times5^2) = 2^2 \times 3^1 \times 5^3 \)，因数个数：\( (2+1)\times(1+1)\times(3+1)=3\times2\times4=24 \)。

数是30的倍数，则至少含有质因数2,3,5，设数为 \( 2^a\times3^b\times5^c\times... \)，且 \( a,b,c\ge1 \)。因数个数 \( (a+1)(b+1)(c+1)...=30 \)。分解30，并考虑最小化这个数。30=\( 30\times1\times1... \)（舍去），或 \( 15\times2\times1... \)（舍去），或 \( 10\times3\times1... \)（舍去），或 \( 6\times5\times1... \)，或 \( 5\times3\times2 \)。

组合 \( (a+1， b+1， c+1) = (6，5，1) \) → \( a=5， b=4， c=0 \)（c=0不满足条件，舍去）

组合 \( (5，3，2) \) → \( a=4， b=2， c=1 \) → 数 = \( 2^4 \times 3^2 \times 5^1 = 720 \)

组合 \( (10，3，1) \) → \( a=9， b=2， c=0 \)（舍去）

组合 \( (15，2，1) \) → \( a=14， b=1， c=0 \)（舍去）

检查其他分配方式（如指数给更多质因数）会使数更大。因此最小数是720。

\( a \times b = (2^5 \times 3^7 \times 5^1) \times (2^3 \times 3^2 \times 5^4) = 2^{8} \times 3^{9} \times 5^{5} \)。因数个数：\( (8+1)\times(9+1)\times(5+1)=9\times10\times6=540 \)。

要使因数个数多，应让质因数种类多且指数尽可能平均。100以内：\( 60=2^2\times3\times5 \)，因数12个；\( 72=2^3\times3^2 \)，因数12个；\( 84=2^2\times3\times7 \)，因数12个；\( 90=2\times3^2\times5 \)，因数12个；\( 96=2^5\times3 \)，因数12个。最大的是12个因数。

一个数的因数个数是奇数，这个数一定是完全平方数。证明：根据公式，因数个数是各指数加1的连乘积。要使乘积为奇数，每个乘数 \( (m+1) \) 都必须是奇数，所以每个指数 \( m \) 都必须是偶数。即所有质因数的指数都是偶数，那么这个数就是某个整数的平方。

10 = \( 10\times1 = 5\times2 \)。对应：

\( (m+1， n+1) = (10， 1) \) → \( m=9， n=0 \)（舍去，需两个质因数）

\( (5， 2) \) → \( m=4， n=1 \) → 数 = \( 2^4 \times 5^1 = 80 \)

\( (2， 5) \) → \( m=1， n=4 \) → 数 = \( 2^1 \times 5^4 = 1250 \)

最小为 80。

最大公因数取相同质因数的最小指数：\( gcd = 2^2 \times 3^2 \)。其因数个数：\( (2+1)\times(2+1)=3\times3=9 \)。

设这个数为 \( N = a^m \times b^n \times ... \)，则 \( N^2 = a^{2m} \times b^{2n} \times ... \)。\( N^2 \) 的因数个数为 \( (2m+1)(2n+1)...=45 \)。45分解为 \( 45\times1 \) 或 \( 15\times3 \) 或 \( 9\times5 \)。要使 N 的因数个数 \( (m+1)(n+1)... \) 最少，应让质因数种类尽量少。考虑两种组合：

\( (2m+1， 2n+1) = (45， 1) \) → \( m=22， n=0 \) → N的因数个数 = \( 23\times1=23 \)

\( (15， 3) \) → \( m=7， n=1 \) → N的因数个数 = \( 8\times2=16 \)

\( (9， 5) \) → \( m=4， n=2 \) → N的因数个数 = \( 5\times3=15 \)

最少为15个。

【生活应用答案】

总座位数 = \( 2^3 \times 5^2 \times 7^1 \)。因数个数 = \( (3+1)\times(2+1)\times(1+1)=4\times3\times2=24 \) 种。即有24种不同的因数，对应24种不同的分配方案（假设每种方案对应一种车厢座位数）。

此题即求360有多少个因数。360 = \( 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)，因数个数 = \( 4\times3\times2=24 \) 种可能。

设数为 \( 2^a \times 3^b \)，因数个数 \( (a+1)(b+1)=15 \)。15可拆为 \( 15\times1 \) 或 \( 5\times3 \)。

\( a+1=15， b+1=1 \) → \( a=14， b=0 \)（舍去，b需至少为1）

\( a+1=5， b+1=3 \) → \( a=4， b=2 \) → 数 = \( 2^4 \times 3^2 = 144 \)

\( a+1=3， b+1=5 \) → \( a=2， b=4 \) → 数 = \( 2^2 \times 3^4 = 324 \)

最小可能点火次数是144次。

因数个数为6。6 = \( 6\times1 = 3\times2 \)。对应数的结构为：\( p^5 \) 或 \( p^2 \times q^1 \)，其中p，q为不同质数。

形如 \( p^5 \) 的两位数：\( 2^5=32 \)， \( 3^5=243 \)（超）。所以有32。

形如 \( p^2 \times q \) 的两位数：枚举质数p,q。

\( 2^2\times q \): q=5→20， q=7→28， q=11→44， q=13→52， q=17→68， q=19→76， q=23→92。

\( 3^2\times q \): q=2→18， q=5→45， q=7→63， q=11→99。

\( 5^2\times q \): q=2→50， q=3→75。

\( 7^2\times q \): q=2→98。

所有可能数：18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99。最多99棵，最少18棵。

120 = \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)。其因数个数 = \( (3+1)\times(1+1)\times(1+1)=4\times2\times2=16 \)，是偶数。因此小明获得“立减10元”优惠。

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