不等式组同大取大口诀原理深度解析与专题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：口诀1 原理

• 核心概念：你好呀！我是阿星。今天我们来聊聊“同大取大”这个超级好用的口诀！想象一下，你有两个朋友约你打篮球。阿强说：“你身高超过 \( 2 \) 米才能加入我们队！”阿壮说：“不行，要超过 \( 5 \) 米才能加入我们队！”（阿壮可能想和长颈鹿组队😂）。你两个条件都想满足（且），那你的身高 \( x \) 到底要满足什么？当然是既要 \( x>2 \) 又要 \( x>5 \) 啦！仔细一想，只要你身高 \( x>5 \)，是不是自动就满足 \( x>2 \) 了？所以最终的门槛就是那个更高的 \( x>5 \)。这就叫“同大取大”——当两个条件都要求变量往大的方向走时，结果就取那个“更大”（更苛刻）的要求。
• 计算秘籍：
  1. 首先，分别解出每个不等式。例如：\( x+1 > 3 \) 解得 \( x > 2 \)；\( 2x > 10 \) 解得 \( x > 5 \)。
  2. 然后，在脑海里或纸上画出两个解集。你会发现 \( x > 5 \) 的范围完全被包含在 \( x > 2 \) 的范围里。
  3. 最后，取它们的公共部分（也就是重叠的部分），即 \( x > 5 \)。口诀响起：同大取大！
• 阿星口诀：同向不等式，都往大了跑，取大才是宝，公共部分找。

📐 图形解析

数轴是理解不等式组解集最直观的工具。我们把阿星的例子画出来看看：

不等式组：\( \begin{cases} x > 2 \\ x > 5 \end{cases} \)

从数轴上可以清晰看到：代表 \( x > 2 \) 的蓝色射线包含了 \( 2 \) 右侧所有数，代表 \( x > 5 \) 的红色射线包含了 \( 5 \) 右侧所有数。它们的公共部分（重叠部分）就是从 \( 5 \) 向右的绿色射线。所以，最终解集是 \( x > 5 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到两个“大于”就随便加或乘。例如，认为 \( x>2 \) 且 \( x>5 \) 的结果是 \( x>7 \)。
  ✅ 正解：不等式组求的是同时满足所有条件的 \( x \) 的范围，即解集的公共部分，不是做数值运算。应该用数轴或口诀“同大取大”找到公共部分 \( x>5 \)。
• ❌ 错误2：混淆“同大取大”和“同小取小”。例如，解 \( x<2 \) 且 \( x<5 \) 时，错误取 \( x<2 \)。
  ✅ 正解：当两个不等式都是“小于”时，适用“同小取小”。因为 \( x<2 \) 的范围更“小”（更靠近数轴左侧），它被完全包含在 \( x<5 \) 之内，所以公共部分是 \( x<2 \)。口诀要对应：“同大取大，同小取小”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解不等式组：\( \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \end{cases} \)
2. 解不等式组：\( \begin{cases} x > -2 \\ x > 5 \end{cases} \)
3. 解不等式组：\( \begin{cases} 2x > 6 \\ x > 1 \end{cases} \)
4. 解不等式组：\( \begin{cases} x + 3 > 5 \\ x > 0 \end{cases} \)
5. 解不等式组：\( \begin{cases} x - 4 > 1 \\ 3x > 15 \end{cases} \)
6. 解不等式组：\( \begin{cases} 7x > 14 \\ 2x + 1 > 5 \end{cases} \)
7. 解不等式组：\( \begin{cases} -x < -1 \\ x > 0.5 \end{cases} \)（提示：先化标准形式）
8. 解不等式组：\( \begin{cases} \frac{x}{2} > 3 \\ x > 5 \end{cases} \)
9. 根据“同大取大”直接写出解集：\( x > a \) 且 \( x > b \)，已知 \( a > b \)。
10. 判断对错：不等式组 \( \begin{cases} x > 2 \\ x > 2 \end{cases} \) 的解集是 \( x > 4 \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考改编）解不等式组：\( \begin{cases} 2(x+1) > x \\ \frac{x+8}{2} > 2x \end{cases} \)
2. 解关于 \( x \) 的不等式组：\( \begin{cases} 3x - 2 > x + 4 \\ 5x - 1 > 3x + 7 \end{cases} \)
3. 若不等式组 \( \begin{cases} x > m \\ x > 3 \end{cases} \) 的解集是 \( x > 3 \)，则 \( m \) 的取值范围是？
4. 整数 \( x \) 满足：\( x > 1.5 \) 且 \( x > \frac{7}{3} \)，求 \( x \) 的最小整数值。
5. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：\( \begin{cases} 4x - 3 > 1 \\ 2x - 1 > 3 \end{cases} \)
6. 已知点 \( P(2-a, 3a+6) \) 在第一象限，求 \( a \) 的取值范围。（提示：第一象限横、纵坐标均大于0）
7. 解不等式组：\( \begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ 3 - x < 0 \end{cases} \)
8. 若 \( y = 2x - 1 \)，且 \( y > 3 \)， \( x > 1 \)，求 \( x \) 的取值范围。
9. （含参）已知关于 \( x \) 的不等式组 \( \begin{cases} x > 2 \\ x > a \end{cases} \) 的解集中任一个 \( x \) 的值均不在 \( x \leq 5 \) 的范围内，求 \( a \) 的取值范围。
10. 代数式 \( \sqrt{x-2} + \frac{1}{\sqrt{5-x}} \) 有意义，求 \( x \) 的整数解。（提示：被开方数大于等于0，分母不为0）

第三关：生活应用（5道）

1. 【种植规划】一个长方形花坛，要求其长度 \( L \) 必须超过 \( 8 \) 米以种植月季，同时为了整体美观，长度 \( L \) 还必须超过其宽度 \( W \)（已知 \( W = 5 \) 米）。那么花坛长度 \( L \) 必须满足什么条件？
2. 【成绩分析】某校规定，要获得“学习之星”称号，必须满足两次月考成绩 \( S_1, S_2 \)（百分制）均高于 \( 85 \) 分。如果用 \( x \) 表示两次成绩中较低的那次，那么 \( x \) 应满足什么不等式？这体现了“同大取大”思想吗？
3. 【材料切割】一根钢筋需要截断。工程要求截出的长度 \( l \) 必须大于 \( 2.5 \) 米以满足强度需求，同时为了减少浪费，要求 \( l \) 必须大于原料标准长度 \( 3 \) 米扣除 \( 0.2 \) 米损耗后的值。求 \( l \) 的实际取值范围。
4. 【速度限制】一段高速公路，车辆速度 \( v \) (km/h) 需满足：最低限速 \( v > 60 \)；同时，因天气原因，临时规定 \( v \) 必须大于安全速度 \( 80 \)。那么车辆最终应保持的速度范围是什么？
5. 【浓度配比】一种消毒液，要求其有效成分浓度 \( C\% \) 必须大于 \( 5\% \) 才有效，同时为了安全，浓度必须大于稀释标准 \( 3\% \)。要同时满足这两个“大于”的要求，浓度 \( C \) 应如何控制？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( x > 1 \)（同大取大，取1和0中较大的1）
2. \( x > 5 \)（同大取大，取-2和5中较大的5）
3. \( x > 3 \)（解第一个得 \( x > 3 \)，与 \( x > 1 \) 同大取大）
4. \( x > 2 \)（解第一个得 \( x > 2 \)，与 \( x > 0 \) 同大取大）
5. \( x > 5 \)（解第一个得 \( x > 5 \)，第二个得 \( x > 5 \），解集 \( x > 5 \)）
6. \( x > 2 \)（解第一个得 \( x > 2 \)，第二个得 \( x > 2 \)，解集 \( x > 2 \)）
7. \( x > 1 \)（解第一个得 \( x > 1 \)，与 \( x > 0.5 \) 同大取大）
8. \( x > 6 \)（解第一个得 \( x > 6 \)，与 \( x > 5 \) 同大取大）
9. \( x > a \)
10. 错。解集是 \( x > 2 \)。两个相同的解集取公共部分，还是它本身。

第二关：中考挑战

1. 解：第一个：\( 2x+2 > x \) → \( x > -2 \)。第二个：\( x+8 > 4x \) → \( -3x > -8 \) → \( x < \frac{8}{3} \)。解集为 \( -2 < x < \frac{8}{3} \)。（此题不是“同大”情况）
2. 解：第一个：\( 2x > 6 \) → \( x > 3 \)。第二个：\( 2x > 8 \) → \( x > 4 \)。同大取大，解集为 \( x > 4 \)。
3. \( m \leq 3 \)。要使解集为 \( x > 3 \)，说明 \( 3 \) 是更大的那个边界，所以 \( m \) 不能比 \( 3 \) 大。
4. \( \frac{7}{3} \approx 2.33 \)，同大取大，要求 \( x > 2.33 \)，最小整数为 \( 3 \)。
5. 第一个：\( 4x > 4 \) → \( x > 1 \)。第二个：\( 2x > 4 \) → \( x > 2 \)。同大取大，解集 \( x > 2 \)。数轴表示略。
6. 由题意：\( \begin{cases} 2-a > 0 \\ 3a+6 > 0 \end{cases} \) → \( \begin{cases} a < 2 \\ a > -2 \end{cases} \) → \( -2 < a < 2 \)。
7. 第一个：\( x > \frac{1}{2} \)。第二个：\( -x < -3 \) → \( x > 3 \)。同大取大，解集 \( x > 3 \)。
8. 由 \( y = 2x-1 > 3 \) 得 \( 2x > 4 \) → \( x > 2 \)。再与 \( x > 1 \) 取公共，同大取大得 \( x > 2 \)。
9. 解集为 \( x > \max(2, a) \)。要求此解集中任一个 \( x \) 都不在 \( x \leq 5 \) 内，即解集的最小值必须 \( > 5 \)。所以 \( \max(2, a) \geq 5 \)，故 \( a \geq 5 \)。（当 \( a=5 \) 时，解集 \( x>5 \)，也满足题意）
10. 需满足：\( \begin{cases} x-2 \geq 0 \\ 5-x > 0 \end{cases} \) → \( \begin{cases} x \geq 2 \\ x < 5 \end{cases} \) → \( 2 \leq x < 5 \)。整数解为 \( 2, 3, 4 \)。

第三关：生活应用

1. 需满足 \( L > 8 \) 且 \( L > 5 \)。同大取大，得 \( L > 8 \) 米。
2. 较低成绩 \( x > 85 \)。这正体现了“同大取大”：要同时满足 \( S_1 > 85 \) 且 \( S_2 > 85 \)，那么两者中较小的那个也必须大于 \( 85 \)，即 \( x = \min(S_1, S_2) > 85 \)。
3. 第一个条件：\( l > 2.5 \)。第二个条件：\( l > 3 - 0.2 = 2.8 \)。同大取大，得 \( l > 2.8 \) 米。
4. 需满足 \( v > 60 \) 且 \( v > 80 \)。同大取大，得 \( v > 80 \) km/h。
5. 需满足 \( C > 5 \) 且 \( C > 3 \)。同大取大，得 \( C > 5\% \)。所以只需浓度大于 \( 5\% \) 即可同时满足两要求。