期末复习：八年级数学上册二次根式化简考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：二次根式化简 核心考点速记
二次根式化简是八年级上学期期末考试的绝对基础核心考点，几乎100%出现在填空、选择和计算题中。它不仅是独立考点，更是后续勾股定理、一元二次方程等综合大题的计算基石，化简出错，满盘皆输。
- 必背概念：一个二次根式必须满足两点才叫“最简”：① 被开方数不含分母；② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。记住阿星的例子：√12不是最简！因为12含有完全平方数因数4，必须化成2√3。
- 阿星顺口溜：“二次根式要化简，两个条件记心间。分母不能留根号，平方因子全往外跑！”
- 万能公式：
- 核心性质：\( \sqrt{a^2} = |a| \) (考试常考 \(a<0\) 的情形！)
- 乘法：\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \quad (a \ge 0, b \ge 0) \)
- 除法：\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a \ge 0, b > 0) \)
- 分母有理化：\( \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \quad (a > 0) \)
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解1（根号内留分数）： 化简 \( \sqrt{\frac{1}{3}} \) 直接写成 \( \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)。
- ✅ 满分规范： 结果 \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) 不符合“被开方数不含分母”，必须继续有理化：\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)。不进行最后一步，扣1分。
- ❌ 常见错解2（完全平方数开不尽）： 计算 \( \sqrt{8} + \sqrt{18} = \sqrt{26} \)。
- ✅ 满分规范： 只有同类二次根式才能合并。必须先分别化简：\( \sqrt{8}=2\sqrt{2}, \sqrt{18}=3\sqrt{2} \)，再合并得 \( 5\sqrt{2} \)。直接相加视为计算错误，整题分数扣光。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：（2022·某区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）。
A. \( \sqrt{0.2} \) B. \( \sqrt{\frac{1}{5}} \) C. \( \sqrt{15} \) D. \( \sqrt{18} \)
📌 秒杀技巧：
- 第一步（排除法）： 紧盯“最简”两个条件。A（0.2=1/5）和B根号内都有分母，排除。D中18=9×2，含完全平方数因数9，排除。
- 第二步（确认）： 15=3×5，不含平方因数，且本身不含分母，故C正确。
✅ 答案：C
模型 2：分母有理化（计算题高频）
题目：（2023·某市期末）计算：\( \frac{3}{\sqrt{6}} + \sqrt{24} \)。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（各击破）： 第一项分母有理化：\( \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \)。第二项化简：\( \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6} \)。
- 第二步（合并同类项）： 两项都含有 \( \sqrt{6} \)，合并：\( \frac{\sqrt{6}}{2} + 2\sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{4\sqrt{6}}{2} = \frac{5\sqrt{6}}{2} \)。
✅ 答案：\( \frac{5\sqrt{6}}{2} \)
模型 3：综合运算（压轴计算题）
题目：（2021·某名校期末）已知 \( a = \sqrt{2} + 1 \)，\( b = \sqrt{2} - 1 \)，求 \( a^2 - b^2 \) 的值。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（优选公式）： 看到 \( a^2 - b^2 \)，优先用平方差公式 \( (a+b)(a-b) \) 计算，比直接代入展开更简单。
- 第二步（巧算）： 计算 \( a+b = (\sqrt{2}+1) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2} \)。
计算 \( a-b = (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1) = 2 \)。
相乘得：\( a^2 - b^2 = 2\sqrt{2} \times 2 = 4\sqrt{2} \)。
✅ 答案：\( 4\sqrt{2} \)
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 判断：\( \sqrt{48} \) 是最简二次根式。（ ）
- 化简：\( \sqrt{(-5)^2} = \) ______。
- 化简：\( \sqrt{20} = \) ______。
- 化简：\( \sqrt{\frac{9}{16}} = \) ______。
- 计算：\( \sqrt{3} \times \sqrt{12} = \) ______。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 将 \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} \) 化为最简二次根式 ______。
- 计算：\( \sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}} \)。
- 计算：\( (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)。
- 已知 \( x = \sqrt{3} - 2 \)，化简 \( \sqrt{x^2 + 4x + 4} \)。（提示：注意完全平方公式和算术平方根的非负性）
- 比较大小：\( 3\sqrt{2} \) ______ \( 2\sqrt{5} \)。（填 >、< 或 =）
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 计算：\( \frac{2}{\sqrt{3}-1} - \sqrt{12} \)。
- 若 \( \sqrt{18-n} \) 是整数，求自然数 \( n \) 的值。
- 已知 \( a = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \)，求 \( a^2 - a - 1 \) 的值。
- 观察下列各式：\( \sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}} \)， \( \sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}} \)， \( \sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}} \) … 请用含 \( n \) (\( n \ge 1 \)的整数) 的等式表示这个规律，并验证。
- （实际应用）一个长方形的长为 \( \sqrt{32} \) cm，宽为 \( \sqrt{18} \) cm。求这个长方形的面积和周长（结果化为最简）。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：牢记“最简两条件”自检清单：① 结果中，根号里还有分数吗？② 根号里还有像4、9、16、a²这样的完全平方数（或式）吗？每做完一题快速过一遍，能救回很多分。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：别慌！乘法公式 \( \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \) 可以反向理解：只要两个根号相乘，就可以先把里面的数相乘再开方。除法同理。这是最根本的逻辑，可以临时推导。
Q：遇到像 \( \sqrt{18-n} \) 是整数这类难题，没思路怎么办？
A：这类题本质是“被开方数是完全平方数”。设 \( 18-n = k^2 \) (k为自然数)，得 \( n=18-k^2 \)。然后让 \( n \ge 0 \) 且 \( k^2 \le 18 \)，枚举k=0,1,2,3,4…即可。记住“设元枚举法”。
参考答案
第一关： 1. 错 2. 5 3. \( 2\sqrt{5} \) 4. \( \frac{3}{4} \) 5. 6
第二关： 1. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) 2. \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \) 3. 1 4. \( 1 \) （提示：先化成 \( \sqrt{(x+2)^2} \)，注意x+2<0） 5. < （提示：平方比较）
第三关： 1. \( -\sqrt{3} \) 2. n=17,14,9,2 （共4个） 3. 0 4. \( \sqrt{n+\frac{1}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}} \)，验证略 5. 面积：\( 24 \, \text{cm}^2 \)， 周长：\( 14\sqrt{2} \, \text{cm} \)