树形图枚举法详解：二年级奥数计数问题练习题与解析（PDF下载）
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二年级
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最近更新
2025-12-20
知识要点
💡 核心概念：
树形图，就像一棵大树的生长过程。从树根（起点）开始，每做一个选择，就长出一个新的树枝。把所有可能的选择都画出来，最后长成的“大树”上，每一条从树根到树叶的完整路径，就代表了一种可能的情况。用这种画图的方法，把所有情况一个不漏、一个不重地找出来，就叫枚举法（树形图法）。
📝 计算法则：
- 确定起点：想清楚要从什么事情开始。
- 分步画“枝”：把解决问题的每一步，像树枝分叉一样画出来。每一步有几种选择，就画出几个分叉。
- 有序枚举：按照一定的顺序（从小到大、从上到下等）列出所有选择，避免混乱和遗漏。
- 检查终点：沿着每条从起点到终点的路径走一遍，确保每条路都是一种独立、完整的情况。
- 数清结果：最后数一数有多少条完整的路径，就是有多少种可能。
🎯 记忆口诀：
“从头开始分步走，一枝一叉画清楚。有序枚举不遗漏，数清路径得总数。”
🔗 知识关联：
- 二年级的搭配问题：用简单的列表或连线来搭配衣服、早餐，是树形图的雏形。
- 乘法原理：如果每一步的选择相互独立，那么总方法数等于每一步方法数的乘积。树形图可以直观地验证乘法原理。
- 有序枚举思想：在数图形、找规律时养成的有序思考习惯，是画好树形图的基础。
易错点警示
❌ 错误1：忽略“重复”情况。例如，用数字 \( 1, 2, 3 \) 组两位数，如果题目说“数字可以重复”，树形图的每一枝上都应该有 \( 1, 2, 3 \) 三种可能。
✅ 正解：审题时圈出关键词“能重复”或“不能重复”，再开始画图。
❌ 错误2：步骤顺序混乱导致遗漏。例如，从A地经B地到C地，有3条路去B地，2条路从B到C。如果先画从B到C的路，再画从A到B的路，很容易数错。
✅ 正解：严格按照事情发生的时间顺序或逻辑顺序分步画图。先画第一步（A到B），再画第二步（B到C）。
❌ 错误3：画图杂乱无章，自己都看不清。线条交叉，书写潦草，最后数不清路径。
✅ 正解：养成良好书写习惯，使用尺子画线，上下左右对齐，在树枝末端清晰标出结果。
三例题精讲
🔥 例题1：用数字 \( 1, 2, 3 \) 可以组成多少个没有重复数字的两位数？
📌 第一步：确定起点和步骤。组成两位数，分两步：先选十位，再选个位。
📌 第二步：画树形图。从“十位”开始，有三种选择（\( 1, 2, 3 \)）。选定十位后，个位只能从剩下的两个数字中选。
📌 第三步：数出所有终点（树叶）上的数。
✅ 答案：可以组成 \( 6 \) 个两位数，分别是 \( 12, 13, 21, 23, 31, 32 \)。
💬 总结：解决“组数”问题，通常按数位顺序（从高位到低位）画树形图，并注意数字能否重复。
🔥 例题2：小胖有 \( 3 \) 件上衣（红、黄、蓝）和 \( 2 \) 条裤子（黑、白）。他有多少种不同的穿衣搭配？
📌 第一步：确定步骤。先选上衣，再选裤子（或先选裤子再选上衣也可以）。
📌 第二步：画树形图。从“上衣”开始分三步。
📌 第三步：数出所有搭配。
✅ 答案：有 \( 3 \times 2 = 6 \) 种不同的搭配。
💬 总结：这是经典的“搭配”问题，树形图清晰地展示了乘法原理（\( 3 \) 种选择乘以 \( 2 \) 种选择）。
🔥 例题3：从学校到公园有 \( 2 \) 条路，从公园到图书馆有 \( 3 \) 条路。小明从学校经公园到图书馆，一共有多少种不同的走法？
📌 第一步：确定步骤。分两段路走：第一段“学校→公园”，第二段“公园→图书馆”。
📌 第二步：画树形图。从学校（起点）开始。
📌 第三步：数出所有走法。图中每条路径的终点（如A1, A2, ..., B3）代表一种走法。
✅ 答案：一共有 \( 2 \times 3 = 6 \) 种不同的走法。
💬 总结：解决“路径”问题，把整个过程分成几个连续的阶段，用树形图枚举出所有路线组合。
练习题（10道）
- 用数字 \( 4 \) 和 \( 5 \) 可以组成多少个不同的两位数？（数字可以重复）
- 小红有 \( 2 \) 顶帽子（鸭舌帽、草帽）和 \( 3 \) 条围巾（红、蓝、格纹）。一顶帽子配一条围巾，有多少种搭配？
- 从甲地到乙地有 \( 3 \) 条路，从乙地到丙地有 \( 2 \) 条路。从甲地经过乙地到丙地，有几种不同的走法？
- 用数字 \( 1, 0, 8 \) 组成没有重复数字的两位数，能组成哪些数？
- 小丽、小华、小强三人排成一排照相，小丽要站在中间。一共有多少种不同的排法？
- 一个密码锁的密码是两位数字，每一位都可以是 \( 0 \) 到 \( 9 \) 中的任意一个。这个密码锁最多有多少种不同的密码？
- 掷一枚硬币两次（第一次掷，第二次掷），可能出现哪几种正反面情况？（用“正”“反”表示）
- 用 \( 1 \) 元、\( 5 \) 角两种硬币付 \( 2 \) 元钱，有多少种不同的付法？（不考虑硬币顺序）
- 书架上有 \( 3 \) 本不同的故事书和 \( 2 \) 本不同的科技书。小明要借 \( 1 \) 本故事书和 \( 1 \) 本科技书，有多少种不同的借法？
- 小刚有 \( 4 \) 张不同的邮票，他要选出 \( 2 \) 张送给朋友，有多少种不同的选法？
奥数挑战（10道）
- 用数字 \( 0, 2, 4, 6 \) 可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
- 甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球单打比赛，每两人都要比赛一场。一共要比赛多少场？请用树形图表示甲参与的所有比赛安排。
- 从 \( 1, 2, 3, 4, 5 \) 中选出两个不同的数字，使得它们的和是偶数，共有多少种选法？
- 一个三位数，它的百位数字比十位数字大 \( 1 \)，十位数字比个位数字大 \( 1 \)。这样的三位数有多少个？
- 小明要从A点出发，经过B点或C点，最后到达D点。A到B有 \( 2 \) 条路，A到C有 \( 1 \) 条路，B到D有 \( 3 \) 条路，C到D有 \( 2 \) 条路。请问小明从A到D共有多少种不同的走法？
- 有 \( 4 \) 个小朋友，每两个人通一次电话，一共要通多少次电话？如果互相寄一张贺卡，一共要寄多少张贺卡？
- 用 \( 1 \) 克、\( 2 \) 克、\( 4 \) 克的砝码各一个，可以称出多少种不同重量的物体？（天平两边都可以放砝码）
- 从 \( 1 \) 写到 \( 100 \)，一共写了多少个数字“\( 0 \)”？
- 一个自然数，它的各位数字之和是 \( 3 \)，并且是两位数。这样的两位数有几个？
- 有五面不同颜色的小旗，任意取出三面排成一排，表示一种信号。一共可以表示多少种不同的信号？
生活应用（5道）
- （高铁）从北京南站到上海虹桥站，每天有 \( 8 \) 个不同时间点的高铁班次。从上海虹桥站到杭州东站，每天有 \( 12 \) 个不同时间点的高铁班次。如果你要从北京坐高铁到杭州（在上海换乘），并且不考虑换乘时间限制，单从车次组合上看，你有多少种不同的乘车方案？
- （AI对话）一个智能AI对话机器人，回答一个问题时，第一步有 \( 3 \) 种理解问题的方式，第二步对每种理解方式有 \( 2 \) 种生成答案的策略，第三步对每种策略有 \( 4 \) 种语言风格进行润色。这个AI生成一个最终回答，可能有多少种不同的内部处理路径？
- （环保）社区要进行垃圾分类宣传，需要设计一张海报。海报主题有 \( 2 \) 种（“变废为宝”或“绿色生活”），主色调有 \( 3 \) 种（绿、蓝、灰），宣传语有 \( 4 \) 条备选。如果每种组合都设计一张海报，最多需要设计多少张不同的海报？
- （航天）中国空间站的某个科学实验，需要按顺序完成三个步骤：A（准备样本）、B（启动设备）、C（记录数据）。其中步骤A有 \( 2 \) 种方案，步骤B有 \( 3 \) 种参数设置，步骤C有 \( 2 \) 种记录模式。这个实验共有多少种不同的操作流程？
- （网购）你在一个购物APP上想买一件衬衫和一条裤子。系统根据你的喜好，推荐了 \( 5 \) 款衬衫和 \( 6 \) 款裤子。你计划先买衬衫，收到货试穿满意后再决定买哪条裤子搭配。那么，从系统推荐的商品里，你最终可能形成多少种“衬衫+裤子”的购买结果？
参考答案与解析
【练习题答案】
解析：注意 \( 0 \) 不能在十位。
解析：小丽位置固定，只需排小华和小强在左右，有 \( 2 \) 种。
解析：设邮票为A,B,C,D。选法：AB, AC, AD, BC, BD, CD。
【奥数挑战答案】
解析：个位是 \( 0, 2, 4, 6 \) 且是三位数。分情况画树：个位为 \( 0 \)，百位有 \( 2,4,6 \) 三种，十位剩两种，共 \( 3 \times 2=6 \) 个；个位为 \( 2 \)（或 \( 4,6 \)），百位不能是 \( 0 \)，有两种选择，十位剩两种，共 \( 3 \times (2 \times 2)=12 \) 个？等一下，这里计算有误。重新枚举：个位为 \( 0 \): (2,4,6选百位) x (剩下两个数字选十位) = \( 3 \times 2 = 6 \) 个。个位为 \( 2 \): 百位从 \( 4,6 \)中选(因为不能是\( 0 \))，有 \( 2 \) 种，十位从剩下的两个数字(包括\( 0 \)和另一个)中选，有 \( 2 \) 种，共 \( 2 \times 2 = 4 \) 个。同理，个位为 \( 4 \) 和 \( 6 \) 时，也各是 \( 4 \) 个。但注意，当个位是 \( 2 \) 时，百位能选 \( 4 \) 和 \( 6 \)，但不能选 \( 0 \)。所以总数是 \( 6 + 4 + 4 + 4 = 18 \) 个？我检查一下数字：用 \( 0,2,4,6 \) 组成无重复数字的三位偶数。个位为 \( 0 \): 百位有3种(2,4,6)，十位有2种，共6个。个位为 \( 2 \): 百位有2种(4,6)，十位有2种(剩下的两个，包括0)，共4个(如402, 462, 602, 642)。等等，402的个位是2吗？402的个位是2，是的。但402是偶数，符合。个位为 \( 4 \): 百位有2种(2,6)，十位有2种，共4个。个位为 \( 6 \): 百位有2种(2,4)，十位有2种，共4个。所以总数是 \( 6+4+4+4=18 \) 个。我最初答案10个是错的。正确答案应为 \( 18 \) 个。
解析：甲分别与乙、丙、丁比，画三条枝；然后乙与丙、丁比（已和甲比过），丙与丁比。总场数 \( 3+2+1=6 \)。树形图从甲开始分支即可。
解析：和是偶数，要么两个都是奇数，要么两个都是偶数。奇数有 \( 1,3,5 \) 共3个，两两组合有 \( 3 \) 种(1-3,1-5,3-5)。偶数有 \( 2,4 \) 共2个，组合有 \( 1 \) 种(2-4)。总共 \( 4 \) 种。
解析：设个位为 \( a \)，则十位为 \( a+1 \)，百位为 \( a+2 \)。\( a \) 可以从 \( 0 \) 取到 \( 7 \)，但百位不能为 \( 0 \)，所以 \( a+2 \ge 1 \)，即 \( a \ge -1 \)，实际上 \( a \) 最小为 \( 0 \)。但还要保证每个数位是 \( 0 \) 到 \( 9 \) 的数字。所以 \( a+2 \le 9 \)，即 \( a \le 7 \)。同时 \( a+1 \le 9 \)，即 \( a \le 8 \)。所以 \( a \) 取 \( 0 \) 到 \( 7 \)。列举：\( a=0: 210; a=1: 321; a=2: 432; a=3: 543; a=4: 654; a=5: 765; a=6: 876; a=7: 987 \)。共 \( 8 \) 个。我最初答案7个是错的。是 \( 8 \) 个。
解析：分两类。第一类：A→B→D，有 \( 2 \times 3 = 6 \) 种。第二类：A→C→D，有 \( 1 \times 2 = 2 \) 种。总共 \( 6+2=8 \) 种。
解析：通电话两人一次，是组合问题，\( 3+2+1=6 \) 次。寄贺卡你寄给我和我寄给你不同，是排列问题，每人要给其他3人寄，共 \( 4 \times 3 = 12 \) 张。
解析：可以称出的重量（克）有：1, 2, 3(1+2), 4, 5(1+4), 6(2+4), 7(1+2+4)。注意天平两边放，还可以称出：1克（一边放1克物体，另一边放1克砝码）？不对，这是称物体重量。假设物体放一边，砝码可以放另一边或同一边。能称出的重量是砝码之间的和或差。枚举所有砝码组合的“代数和”（可正可负）：1,2,4, 1+2=3, 1+4=5, 2+4=6, 1+2+4=7, 2-1=1(重复), 4-1=3(重复), 4-2=2(重复), 4+1-2=3(重复), 4+2-1=5(重复), 4-1-2=1(重复)。所以不重复的重量为：1,2,3,4,5,6,7。共7种。
解析：个位：10,20,...,90 有9个0；十位：没有；100有2个0。总共 \( 9+2=11 \) 个。
解析：数字和为3的两位数：12,21,30。共3个。
解析：这是排列问题 \( A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60 \)。树形图：第一面旗5种选法，第二面4种，第三面3种。
【生活应用答案】
解析：分两步选择，用乘法原理。
解析：虽然购买有先后，但最终结果仍是衬衫和裤子的一个组合。