好的，同学你好！作为你的数学学习伙伴，我为你精心准备了一份关于「平方差公式」的完整学习资料。让我们一起揭开这个重要公式的神秘面纱吧！

知识要点

💡 核心概念

平方差公式就像一个数学“魔术”。它告诉我们，当两个数的和与这两个数的差相乘时，结果神奇地变成了这两个数各自的平方相减。它把两个二项式的乘法，简化成了一个两项的减法，是简化计算的超级工具！

📝 计算法则

公式：\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)

计算步骤：

1. 第一步：找出相同的项。 在两个括号里，找到完全一样的那个数或式子，它就是公式里的 \( a \)。
2. 第二步：找出互为相反数的项。 在两个括号里，找到符号相反（一个正，一个负）但绝对值相同的数或式子，它就是公式里的 \( b \)。
3. 第三步：套用公式计算。 结果是：相同项的平方 减去 相反项的平方。

🎯 记忆口诀

“和差相乘，平方相减” 或 “同方减反方”。

🔗 知识关联

• 乘法分配律：平方差公式是分配律 \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) 在特定情况（\(c=a, d=-b\)）下的简化结果。
• 多项式乘法：它是多项式乘多项式的一个特例和重要结论。
• 数的乘方：公式计算中需要熟练进行平方运算。

易错点警示

同学们在使用平方差公式时，常常会掉进下面这些“坑”里，一定要小心！

• ❌ 错误1：符号弄错，误以为 \( (a+b)(a+b) \) 或 \( (a-b)(a-b) \) 也能用平方差公式。

  → ✅ 正解：平方差公式必须严格是“和”乘以“差”，即一项完全相同，另一项互为相反数。\( (a+b)(a+b) \) 应该用完全平方公式。

• ❌ 错误2：没有把项看作一个整体。例如计算 \( (2x+3y)(2x-3y) \) 时，错误写成 \( 2x^2 - 3y^2 \)。

  → ✅ 正解：要把 \( 2x \) 看作整体 \( a \)，把 \( 3y \) 看作整体 \( b \)。正确结果为 \( (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2 \)。

• ❌ 错误3：公式反着用不熟练。看到一个式子如 \( 25 - m^2 \)，想不到它可以写成 \( (5+m)(5-m) \)。

  → ✅ 正解：平方差公式是双向的。看到“平方减平方”的形式，要立刻联想到它可以因式分解为“和乘差”。\( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)。

三例题精讲

🔥 例题1：基础应用

题目：运用平方差公式计算：\( 103 \times 97 \)

1. 第一步：观察数字特征。 \( 103 \) 比 \( 100 \) 多 \( 3 \)，\( 97 \) 比 \( 100 \) 少 \( 3 \)。
2. 第二步：构造“和×差”形式。 令相同的数 \( a = 100 \)，相反的数 \( b = 3 \)。原式 = \( (100 + 3) \times (100 - 3) \)。
3. 第三步：套用公式计算。 结果 = \( 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991 \)。

✅ 答案：\( 9991 \)

💬 总结：遇到接近整十、整百的数相乘，可以巧妙地利用平方差公式进行简便运算。

🔥 例题2：字母与系数

题目：计算：\( (-2m + 5n)(-2m - 5n) \)

1. 第一步：识别相同项和相反项。 两个括号里都有 \( -2m \)，符号相同，所以 \( a = -2m \)。两个括号里分别是 \( +5n \) 和 \( -5n \)，符号相反，所以 \( b = 5n \)。
2. 第二步：套用公式。 结果 = \( (-2m)^2 - (5n)^2 \)。
3. 第三步：化简。 \( (-2m)^2 = 4m^2 \)，\( (5n)^2 = 25n^2 \)。所以最终结果是 \( 4m^2 - 25n^2 \)。

✅ 答案：\( 4m^2 - 25n^2 \)

💬 总结：确定 \( a \) 和 \( b \) 时，一定要带着前面的符号一起看作一个整体。\( a = -2m \)，它的平方是 \( (-2m)^2 = 4m^2 \)。

🔥 例题3：整体思想

题目：计算：\( (x + y + 1)(x + y - 1) \)

1. 第一步：寻找整体。 观察两个括号，发现 \( (x+y) \) 这个整体在两个括号里都出现，且符号相同。而 \( +1 \) 和 \( -1 \) 符号相反。
2. 第二步：应用公式。 把 \( (x+y) \) 看作公式中的 \( a \)，把 \( 1 \) 看作公式中的 \( b \)。则原式 = \( [(x+y) + 1] \times [(x+y) - 1] = (x+y)^2 - 1^2 \)。
3. 第三步：展开化简。 \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)，所以最终结果为 \( x^2 + 2xy + y^2 - 1 \)。

✅ 答案：\( x^2 + 2xy + y^2 - 1 \)

💬 总结：当相同的项不是一个单一的字母或数字，而是一个多项式时，要树立整体思想，用括号把这个整体括起来看作公式里的 \( a \) 或 \( b \)。

练习题（10道）

由易到难，检验你的掌握程度。

1. 直接写出结果：\( (p+7)(p-7) = \) ？
2. 计算：\( 58 \times 62 \)。
3. 计算：\( (4a - 1)(4a + 1) \)。
4. 计算：\( (-0.2x - 5)(-0.2x + 5) \)。
5. 计算：\( (m^2 + n)(m^2 - n) \)。
6. 计算：\( (2a + 3b)(2a - 3b) \)。
7. 运用公式将 \( 9x^2 - 16y^2 \) 写成乘积的形式。
8. 计算：\( (y - 2x)(-y - 2x) \)。（提示：先调整顺序）
9. 计算：\( (a+b-c)(a-b+c) \)。（提示：将 \( b-c \) 或 \( a-b \) 看作整体）
10. 先化简，再求值：\( (2x+1)(2x-1) - 4x(x-1) \)，其中 \( x = \frac{1}{2} \)。

奥数挑战（10道）

挑战思维极限，体验数学之美。

1. 计算：\( 2024^2 - 2023^2 \)。
2. 计算：\( (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) + 1 \)。（提示：构造平方差，连锁相消）
3. 已知 \( a - b = 3, ab = 1 \)，求 \( a^2 - b^2 \) 的值。（提示：先求 \( a+b \)）
4. 计算：\( 100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + ... + 2^2 - 1^2 \)。
5. 一个正方形的边长增加 3 厘米，面积增加 69 平方厘米。求原正方形的边长。
6. 证明：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数。
7. 若 \( (2025 + m)(2025 - m) = 2024 \)，求 \( m^2 \) 的值。
8. 计算：\( \frac{123456789 \times 123456791 + 1}{123456790^2} \)。
9. 已知 \( x + \frac{1}{x} = 5 \)，求 \( x^2 - \frac{1}{x^2} \) 的值。
10. 观察：\( 3^2-1^2=8 \times 1 \)，\( 5^2-3^2=8 \times 2 \)，\( 7^2-5^2=8 \times 3 \)… 请写出第 n 个等式，并证明。

生活应用（5道）

数学无处不在，感受它的实用价值。

1. （高铁速度） “复兴号”列车在 A、B 两站间行驶。若去程速度为 \( (v+50) \) 千米/时，回程速度为 \( (v-50) \) 千米/时（\( v>50 \)）。已知两站距离为 S 千米，请问来回的平均速度是多少？你能用平方差公式简化表达式的推导过程吗？
2. （航天科技） 一个火箭整流罩的截面可看作一个半径为 R 的大圆，中心挖去一个半径为 r 的小圆（用于安装设备）。请用平方差公式表示出这个圆环截面面积的简化表达式。
3. （AI图像） 一张数字图片由像素点组成。其分辨率为 \( (m+n) \) 像素 × \( (m-n) \) 像素。请问这张图片总共有多少个像素？用公式写出最简结果。
4. （环保材料） 一块边长为 \( a \) 米的正方形太阳能板，因为安装需要，在四个角各切掉一个边长为 \( b \) 米的小正方形（\( b < a/2 \)）。剩下部分的面积是多少？请用平方差公式进行因式分解来表示结果。
5. （网购优惠） 某商品原价 \( x \) 元，“双十一”活动满减规则为：先涨价 \( 50 \) 元，再使用一张“满 \( (x+50) \) 减 \( (x-50) \)”的神券。请你计算实际支付价格，并观察结果与平方差公式的联系。