关于「鸟头模型：基本公式」的学习资料

知识要点

💡 核心概念：

鸟头模型，也叫共角定理，研究的是两个三角形之间的关系。想象两个三角形像好朋友一样“手拉手”，它们有一个共同的角（或者两个角加起来是 \(180^\circ\)）。那么，这两个三角形的面积之比，就等于“拉着手”的那两条边的长度乘积之比。

简单说就是：两个三角形，如果有一个角相等或互补，面积比等于夹这个角的两边长度乘积的比。

📝 计算法则：

1. 识别图形：在复杂图形中找到符合“共角”条件的两个三角形。共角可能是同一个角，也可能是两个拼起来是 \(180^\circ\) 的角。
2. 确定对应边：找到每个三角形中“夹着”那个共同角的两条边。
3. 列出比例：写出两个三角形的面积比，等于它们夹边乘积的比。公式为：

   \( \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{AD \times AE}{AB \times AC} \)

   （假设 \(\angle A\) 是公共角）。

4. 代入计算：将已知的边长代入比例式，求出未知的面积或边长。

🎯 记忆口诀：

鸟头模型真奇妙，共角三角形来找。
面积之比怎么算？夹边乘积之比好！

🔗 知识关联：

• 三角形面积公式：\( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \)，这是所有面积计算的基础。
• 比和比例：理解比的意义和如何运用比例式求解是掌握本模型的关键。
• 等高模型：如果两个三角形高相等，面积比等于底边比。鸟头模型可以看作是等高模型在斜方向上的推广。

易错点警示

❌ 错误1：找错对应边。把不夹着公共角的边当成公式里的边。

→ ✅ 正解：紧紧抓住“公共角”，只有和这个角直接相连的两条边，才是公式中需要的边。

❌ 错误2：忽略“角相等或互补”的前提。图形看着像就直接用公式。

→ ✅ 正解：必须先确认两个三角形是否有一个角相等，或者两个角是否互补（如右图所示，\(\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\)），才能应用鸟头模型公式。

❌ 错误3：比例关系写反。弄混哪边是分子，哪边是分母。

→ ✅ 正解：牢记“谁的边，对应谁的面积”。在 \(\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{AD}{AB} \times \frac{AE}{AC}\) 中，左边是 \(\triangle ADE\) 的面积比 \(\triangle ABC\)，右边就必须是 \(\triangle ADE\) 的边 \(AD\) 比 \(\triangle ABC\) 的边 \(AB\)，再乘以另一个边的比。

例题精讲

🔥 例题1：如图所示，在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\) 分别是 \(AB\)、\(AC\) 边上的点，且 \(AD = 2\) cm，\(DB = 3\) cm，\(AE = 3\) cm，\(EC = 4.5\) cm。已知 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(25\) cm²，求 \(\triangle ADE\) 的面积。

📌 第一步：识别模型。\(\triangle ADE\) 和 \(\triangle ABC\) 共享同一个角 \(\angle A\)，符合鸟头模型条件。

📌 第二步：确定对应边并列出比例式。

\( \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}} = \frac{AD \times AE}{AB \times AC} \)

📌 第三步：代入数据计算。已知 \(AD=2\)， \(AE=3\)。需要先求 \(AB = AD+DB=2+3=5\)， \(AC = AE+EC=3+4.5=7.5\)。 \(\triangle ABC\) 面积 \(S_{\triangle ABC}=25\)。

\( \frac{S_{\triangle ADE}}{25} = \frac{2 \times 3}{5 \times 7.5} = \frac{6}{37.5} = \frac{2}{12.5} = \frac{4}{25} \)

所以 \(S_{\triangle ADE} = 25 \times \frac{4}{25} = 4\)

✅ 答案： \(\triangle ADE\) 的面积是 \(4\) cm²。

💬 总结：直接应用公式，关键是算对总边长 \(AB\) 和 \(AC\)。

🔥 例题2：如图，在平行四边形 \(ABCD\) 中，\(E\) 是 \(AB\) 上一点，\(AE:EB=2:3\)。\(F\) 是 \(AD\) 上一点，\(AF:FD=3:1\)。连接 \(EF\)。若平行四边形面积为 \(80\) cm²，求阴影部分 \(\triangle AEF\) 的面积。

📌 第一步：连接 \(BD\)。观察 \(\triangle AEF\) 和 \(\triangle ABD\)。它们共享 \(\angle A\)，符合鸟头模型。而 \(\triangle ABD\) 的面积是平行四边形面积的一半。

📌 第二步：计算 \(S_{\triangle ABD} = 80 \div 2 = 40\) cm²。确定边长比：\(AE:AB = 2: (2+3) = 2:5\)， \(AF:AD = 3:(3+1)=3:4\)。

📌 第三步：应用鸟头模型公式：

\( \frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABD}}} = \frac{AE \times AF}{AB \times AD} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \)

所以 \(S_{\triangle AEF} = 40 \times \frac{3}{10} = 12\)

✅ 答案：阴影部分 \(\triangle AEF\) 的面积是 \(12\) cm²。

💬 总结：在复杂图形中，需要先找到包含目标小三角形且易于计算面积的大三角形（如 \(\triangle ABD\)），再运用鸟头模型。

🔥 例题3：如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 是 \(BC\) 边上靠近 \(C\) 的三等分点，\(E\) 是 \(AC\) 边上的中点。阴影部分 \(\triangle CDE\) 的面积为 \(5\) cm²，求 \(\triangle ABC\) 的面积。

📌 第一步：观察 \(\triangle CDE\) 和 \(\triangle CAB\)。\(\angle C\) 是公共角，符合鸟头模型。

📌 第二步：确定边长比。因为 \(D\) 是 \(BC\) 靠近 \(C\) 的三等分点，所以 \(CD:CB = 1:3\)。因为 \(E\) 是 \(AC\) 中点，所以 \(CE:CA = 1:2\)。

📌 第三步：应用公式，设 \(S_{\triangle ABC} = S\)。

\( \frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle CAB}}} = \frac{CD \times CE}{CB \times CA} \)

代入：\( \frac{5}{S} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \)

所以 \(S = 5 \times 6 = 30\)

✅ 答案：\(\triangle ABC\) 的面积是 \(30\) cm²。

💬 总结：本题是逆向运用公式，由小三角形面积求大三角形面积。关键是准确理解“三等分点”、“中点”代表的线段比例。

练习题（10道）

1. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 在 \(AB\) 上，\(AD=3\)， \(DB=2\)；\(E\) 在 \(AC\) 上，\(AE=4\)， \(EC=1\)。已知 \(S_{\triangle ADE}=12\)， 求 \(S_{\triangle ABC}\)。
2. 如图，长方形 \(ABCD\) 中，\(E\) 是 \(AD\) 中点，\(F\) 在 \(CD\) 上，且 \(CF:FD=1:2\)。若长方形面积是 \(72\)，求阴影 \(\triangle BEF\) 面积。
3. 在 \(\triangle PQR\) 中，\(S\) 在 \(PQ\) 上，\(PS:SQ=2:1\)；\(T\) 在 \(PR\) 上，\(PT:TR=3:1\)。若 \(S_{\triangle PST}=18\)， 求 \(S_{\triangle PQR}\)。
4. 如图，\(\triangle ABC\) 被分成四个小三角形，已知其中三个的面积（单位：平方厘米），求阴影面积。
5. 在 \(\triangle MNO\) 中，\(P\) 是 \(MN\) 延长线上一点，使得 \(NP = \frac{1}{2} MN\)；\(Q\) 是 \(MO\) 上一点，使得 \(MQ:QO=1:3\)。连接 \(PQ\)。若 \(S_{\triangle MNO}=60\)， 求 \(S_{\triangle MPQ}\)。 (提示：注意 \(\angle M\) 的关系)
6. 如图，正方形 \(EFGH\) 的顶点在 \(\triangle ABC\) 各边上，\(FG\) 在 \(BC\) 上。已知 \(BC=15\) cm， \(BC\) 边上的高为 \(10\) cm，正方形边长为 \(6\) cm。求 \(\triangle ABC\) 的面积。
7. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\) 分别在 \(AB\)、\(AC\) 上，且 \(AD:DB=3:2\)， \(AE:EC=4:1\)。四边形 \(DECB\) 的面积比 \(\triangle ADE\) 的面积大 \(52\) cm²。求 \(S_{\triangle ABC}\)。
8. 如图，梯形 \(ABCD\) 中，\(AD \parallel BC\)， \(AD=4\)， \(BC=10\)， 高为 \(8\)。\(E\) 是 \(AB\) 上一点，\(AE:EB=1:2\)；\(F\) 是 \(DC\) 上一点，\(DF:FC=2:1\)。连接 \(EF\)， 求四边形 \(AEFD\) 与四边形 \(EBCF\) 的面积比。
9. 已知 \(S_{\triangle ABC}=1\)。在 \(BC\)、\(CA\)、\(AB\) 边上分别取点 \(D\)、\(E\)、\(F\)，使得 \(BD=2DC\)， \(CE=2EA\)， \(AF=2FB\)。连接 \(AD\)、\(BE\)、\(CF\)， 它们两两相交形成一个小三角形 \(PQR\) (在图形中心)。求 \(S_{\triangle PQR}\)。 (提示：多次运用鸟头模型)
10. \(\triangle XYZ\) 中，\(M\) 是 \(XY\) 中点，\(N\) 是 \(YZ\) 上一点，\(YN:NZ=1:2\)。连接 \(XN\) 和 \(ZM\)， 两线交于点 \(O\)。已知 \(S_{\triangle XYZ}=90\)， 求 \(S_{\triangle XOZ}\)。

奥数挑战（10道）

1. (迎春杯改编) 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\)、\(F\) 分别是 \(BC\)、\(CA\)、\(AB\) 边上的点，且 \(BD:DC=1:2\)， \(CE:EA=1:3\)， \(AF:FB=3:2\)。若 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(1\)， 则阴影部分面积是多少？
2. (华杯赛真题思路) 四边形 \(ABCD\) 对角线交于 \(O\)， \(S_{\triangle AOB}=4\)， \(S_{\triangle BOC}=9\)， \(S_{\triangle COD}=6\)。求 \(S_{\triangle DOA}\)。
3. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\) 在 \(BC\) 上，且 \(BD=DE=EC\)；\(F\) 是 \(AC\) 中点；\(G\) 是 \(AD\) 与 \(BF\) 的交点。若 \(S_{\triangle ABC}=60\)， 求 \(S_{\triangle BEG}\)。
4. 如图，正六边形 \(ABCDEF\) 面积为 \(60\)， 连接 \(AC\)、\(CE\)、\(EA\)， 求中间小正六边形的面积。
5. \(\triangle ABC\) 中，\(P\)、\(Q\) 是 \(BC\) 边三等分点，\(R\) 在 \(AC\) 上，\(AR:RC=2:1\)， \(S\) 在 \(AB\) 上，\(AS:SB=1:2\)。设 \(AP\) 与 \(RS\) 交于 \(X\)， \(AQ\) 与 \(RS\) 交于 \(Y\)。若 \(S_{\triangle ABC}=1\)， 求 \(S_{四边形PQYX}\)。
6. 在平行四边形 \(ABCD\) 中，\(E\)、\(F\) 分别在 \(AB\)、\(BC\) 上，\(AE:EB=3:1\)， \(BF:FC=2:1\)。连接 \(DE\)、\(DF\)， 与对角线 \(AC\) 分别交于 \(M\)、\(N\)。已知平行四边形面积为 \(96\)， 求 \(S_{\triangle DMN}\)。
7. 如图，直角梯形 \(ABCD\) 中，\(AD \parallel BC\)， \(\angle ABC=90^\circ\)， \(AD=2\)， \(BC=5\)， \(AB=4\)。\(E\) 在 \(CD\) 上，且 \(S_{\triangle ADE}=S_{\triangle BCE}\)。求 \(DE:EC\)。
8. \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 在 \(BC\) 上，\(E\) 在 \(AD\) 上。已知 \(S_{\triangle ABE}=30\)， \(S_{\triangle BED}=20\)， \(S_{\triangle ADC}=40\)， 求 \(S_{\triangle EDC}\)。
9. 正方形 \(PQRS\) 内有一点 \(O\)， 连接 \(O\) 与四个顶点，将正方形分成四个小三角形，面积分别为 \(3\)， \(5\)， \(8\)， \(x\)。求 \(x\)。
10. (综合挑战) 在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\)、\(F\) 分别在 \(BC\)、\(CA\)、\(AB\) 上，且 \(BD=2DC\)， \(CE=2EA\)， \(AF=2FB\)。连接 \(AD\)、\(BE\)、\(CF\)， 两两相交于 \(P\)、\(Q\)、\(R\)。已知 \(S_{\triangle PQR}=2\)， 求 \(S_{\triangle ABC}\)。

生活应用（5道）

1. (高铁设计) 复兴号高铁车厢的窗户侧面可视区域可以近似看作一个梯形。为了研究采光，工程师将其分割成一个长方形和两个三角形。已知梯形总面积是 \(4800\) cm²， 上下底比为 \(2:3\)。长方形区域占了梯形面积的一部分，其宽与梯形高之比为 \(3:5\)。若从梯形左上角顶点向长方形右下角顶点连线，形成一个三角形采光区，这个三角形的面积是多少？
2. (航天太阳能板) 一个空间站的三角形太阳能帆板 \(ABC\) 在工作时，需要监测其不同区域的发电效率。在边 \(AB\) 和 \(AC\) 上分别有监测点 \(D\) 和 \(E\)，其中 \(AD:DB=3:1\)， \(AE:EC=2:1\)。如果整个帆板的发电功率与其面积成正比，且总发电功率为 \(240\) 瓦，那么监测区域 \(\triangle ADE\) 的发电功率是多少瓦？
3. (AI图像识别) 在训练一个AI识别三角形物体的算法时，需要生成大量不同形状的三角形数据。设定一个基础三角形面积为 \(S\)。每次随机在两边上取点，第一边按 \(m:n\) 分割，第二边按 \(p:q\) 分割，连接这两点与原点构成一个新三角形。请问新三角形面积与基础三角形面积的比值是多少？（用 \(m, n, p, q\) 表示）
4. (环保绿化) 一块三角形的社区绿化地 \(ABC\)，社区计划在 \(AB\) 边靠近路口的三分之一处（点\(D\)）和 \(AC\) 边靠近小区的四分之一处（点\(E\)）种两棵标志性树。连接 \(DE\)， 将绿化地分成两部分。如果靠近路口的 \(\triangle ADE\) 部分用来种植花卉，已知整个绿化地面积为 \(1200\) 平方米，那么花卉种植区的面积是多少？
5. (网购包装) 一个三角形的减震泡沫填充件，用于保护易碎商品。为了节省材料，设计师在填充件内部挖掉了一个小三角形区域。大三角形的两条边分别长 \(30\) cm 和 \(40\) cm，夹角为 \(90^\circ\)。挖去的小三角形共享这个直角，它的两条直角边分别长 \(6\) cm 和 \(8\) cm。原来大三角形填充件的重量是 \(150\) 克，请问挖空后剩下的泡沫重量是多少克？（假设材质均匀，重量与面积成正比）