鸟头模型：倍数应用

知识要点

💡 核心概念：鸟头模型，也叫共角模型。如果两个三角形有一个角相等（“共角”）或者互补，那么这两个三角形的面积比，就等于这个角两边长度乘积的比。简单来说，就是“面积之比 = 邻边乘积之比”。

📝 计算法则：

1. 第一步：找到两个三角形中那个相等或互补的角。
2. 第二步：分别找出这两个三角形中，夹住这个角的两条边。
3. 第三步：计算两个三角形各自的“邻边乘积”。
4. 第四步：它们的面积比就等于这两个乘积的比。公式为：\( \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ADE}} = \frac{AB \times AC}{AD \times AE} \)。

🎯 记忆口诀：共角三角形，面积比，看两边，相乘之比记心间。

🔗 知识关联：这个知识建立在“三角形面积公式（\( S=\frac{1}{2}ah \)）”和“比与比例”的基础上。它本质上是将面积比转化成了更容易计算的线段长度倍数关系。

易错点警示

1. ❌ 错误1：找错“共角”。只看图形接近，没确认两个角是否真正相等或互补。
   ✅ 正解：必须严格根据已知条件（如平行、公共角、角度计算）判断角的关系。
2. ❌ 错误2：写反比例。弄不清楚哪个三角形的面积做分子，哪个做分母。
   ✅ 正解：分子分母对应一致。公式 \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{(边1 \times 边2)_1}{(边1 \times 边2)_2} \)，左边分子是哪个三角形，右边分子就应该是它的两边。
3. ❌ 错误3：直接使用边长比，忘记是“乘积之比”。
   ✅ 正解：鸟头模型的核心是“乘积比”，不是“单边比”。如果两条边都扩大2倍，面积是扩大 \( 2 \times 2 = 4 \) 倍，而不是2倍。

三例题精讲

🔥 例题1：如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，且 \( AD = \frac{1}{3}AB \)，E是AC上一点，且 \( AE = \frac{1}{4}AC \)。三角形ADE的面积为5平方厘米，求三角形ABC的面积。

A

D

B

C

E

📌 第一步：观察图形，\( \triangle ADE \) 与 \( \triangle ABC \) 共享 \( \angle A \)，符合鸟头模型。

📌 第二步：找出夹 \( \angle A \) 的两边比例。已知 \( AD = \frac{1}{3}AB \)，即 \( \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3} \)。已知 \( AE = \frac{1}{4}AC \)，即 \( \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4} \)。

📌 第三步：应用鸟头模型公式：

\( \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{AD \times AE}{AB \times AC} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \)。

✅ 答案：因为 \( S_{\triangle ADE} = 5 \)，所以 \( S_{\triangle ABC} = 5 \div \frac{1}{12} = 5 \times 12 = 60 \)（平方厘米）。

💬 总结：找到共角是关键，将面积比转化为已知线段长度比的乘积。

🔥 例题2：如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，\( BE:EC = 3:2 \)。F是CD边上一点，\( CF:FD = 1:4 \)。连接AE、AF、EF。若三角形AEF的面积为30，求平行四边形ABCD的面积。

D

C

B

A

E

F

📌 第一步：连接AC。观察 \( \triangle AEF \) 在 \( \triangle AEC \) 中，而 \( \triangle AEC \) 在 \( \triangle ABC \) 中。我们需要建立联系。

📌 第二步：先看 \( \triangle AEF \) 和 \( \triangle AEC \)。它们以A为顶点，底边EF和EC在一条直线上，高相同。所以面积比等于底边比：\( \frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle AEC}} = \frac{EF}{EC} \)。已知 \( CF:FD=1:4 \)，在平行四边形中，AB平行于CD，所以 \( \triangle ECF \sim \triangle EAB \)，但直接求EF与EC比复杂。换思路：利用鸟头模型看 \( \triangle AEF \) 和 \( \triangle ADC \) 的关系？不共角。最直接的方法是使用“整体减空白”。

📌 第三步：设 \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}S_{平行四边形} \)。在 \( \triangle ABC \) 中，\( BE:EC=3:2 \)，所以 \( \frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{BE}{BC} = \frac{3}{5} \)，\( S_{\triangle ABE} = \frac{3}{5}S_{\triangle ABC} \)。同理，\( S_{\triangle AEC} = \frac{2}{5}S_{\triangle ABC} \)。

在 \( \triangle ADC \) 中，\( CF:FD=1:4 \)，所以 \( \frac{S_{\triangle ACF}}{S_{\triangle ADC}} = \frac{CF}{CD} = \frac{1}{5} \)，\( S_{\triangle ACF} = \frac{1}{5}S_{\triangle ADC} \)。又因为 \( DF:FC=4:1 \)，所以 \( \frac{S_{\triangle ADF}}{S_{\triangle ADC}} = \frac{4}{5} \)。

📌 第四步： \( S_{\triangle AEF} = S_{平行四边形} - S_{\triangle ABE} - S_{\triangle ADF} - S_{\triangle ECF} \)。但 \( S_{\triangle ECF} \) 未知。观察 \( \triangle ECF \) 在 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle ADC \) 中都不好算。再次利用鸟头模型：观察 \( \triangle ECF \) 和 \( \triangle ABC \)。 \( \angle C \) 是公共角。\( \frac{S_{\triangle ECF}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{CE \times CF}{CB \times CA} \)。已知 \( \frac{CE}{CB} = \frac{2}{5} \)， \( \frac{CF}{CA} \)？注意CA不是三角形ABC夹 \( \angle C \) 的边，夹 \( \angle C \) 的边是CB和CD（或平行四边形的边）。在 \( \triangle ABC \) 中，夹 \( \angle C \) 的边是CB和CA？不对，角C是角ACB，夹边是CA和CB。所以 \( \frac{CF}{CA} \) 不成立，因为CF不是CA的一部分。此路不通。

📌 第五步：更优方法：连接AC后，三角形AEC的面积可求（占 \( \triangle ABC \) 的 \( \frac{2}{5} \)）。在三角形AEC中，F在AC上？不对，F在CD上。连接AC后，F在AC的连线上吗？不在。所以连接AC不能直接帮我们。经典解法是连接AC和DE。

📌 第六步：连接AC、DE。设平行四边形总面积为 \( S \)。

因为 \( BE:EC=3:2 \)，所以 \( S_{\triangle ABE} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2}S = \frac{3}{10}S \)。

因为 \( CF:FD=1:4 \)，所以 \( S_{\triangle ADF} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2}S = \frac{4}{10}S = \frac{2}{5}S \)。

关键在于 \( S_{\triangle ECF} \)。观察 \( \triangle ECF \) 和 \( \triangle ECD \)，它们等高（从C到DE的垂线），底边比 \( EF:ED \) 未知。但观察 \( \triangle ECF \) 和 \( \triangle ABF \)？不相似。我们用鸟头模型：看 \( \triangle ECF \) 和 \( \triangle BCD \)。它们有公共角 \( \angle C \)。在 \( \triangle BCD \) 中，夹 \( \angle C \) 的边是CB和CD。在 \( \triangle ECF \) 中，夹 \( \angle C \) 的边是CE和CF。

所以 \( \frac{S_{\triangle ECF}}{S_{\triangle BCD}} = \frac{CE \times CF}{CB \times CD} = (\frac{2}{5}) \times (\frac{1}{5}) = \frac{2}{25} \)。

因为 \( S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}S \)，所以 \( S_{\triangle ECF} = \frac{2}{25} \times \frac{1}{2}S = \frac{1}{25}S \)。

📌 第七步：计算空白部分总面积：

空白面积 = \( S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ADF} + S_{\triangle ECF} = \frac{3}{10}S + \frac{2}{5}S + \frac{1}{25}S \)。

通分： \( = \frac{15}{50}S + \frac{20}{50}S + \frac{2}{50}S = \frac{37}{50}S \)。

所以，阴影 \( S_{\triangle AEF} = S - \frac{37}{50}S = \frac{13}{50}S \)。

已知 \( S_{\triangle AEF} = 30 \)，所以 \( \frac{13}{50}S = 30 \)， \( S = 30 \times \frac{50}{13} = \frac{1500}{13} \)。

✅ 答案：平行四边形ABCD的面积为 \( \frac{1500}{13} \) 平方单位。

💬 总结：在复杂图形中，多次、灵活运用鸟头模型是解题关键。本题使用了两次：一次用于整个三角形，一次用于内部小三角形。

🔥 例题3：如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的点，且 \( BD:DC=2:3 \)，\( AE:EC=1:2 \)，\( AF:FB=3:1 \)。连接AD、BE、CF，三条线段交于点O。已知三角形ABC的面积为120平方厘米，求三角形AOF的面积。

（注：本题需结合等高模型与鸟头模型）

B

C

A

D

E

F

O

📌 第一步：本题求三角形AOF面积，它位于三角形ABE中。先求三角形ABE的面积。在三角形ABC中，\( AE:EC=1:2 \)，所以 \( S_{\triangle ABE} = \frac{AE}{AC} \times S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3} \times 120 = 40 \)。

📌 第二步：现在问题转化为：在三角形ABE中，F在AB上（\( AF:FB=3:1 \)），O是BE和AF的交点，求 \( S_{\triangle AOF} \)。连接OE，则三角形AOF在三角形AEF中。

📌 第三步：在三角形ABE中，应用鸟头模型（共角模型扩展）或梅涅劳斯定理。更简单的方法是利用“燕尾模型”或“设而不求”。设 \( S_{\triangle AOF} = x \)。我们需要建立方程。

📌 第四步：连接CO并延长交AB于H（事实上F就是H，因为CF过O）。已知三条线交于一点O，可以用面积比例关系。一种常用技巧是设 \( S_{\triangle BOD} = a \)， \( S_{\triangle COD} = b \) 等，但较复杂。对于小学，更直接的方法是使用“一次鸟头模型”和“等高模型”结合。

📌 第五步：观察三角形AOF和三角形ABE，它们不直接共角。利用O是重心吗？不一定是，因为比例不对称。我们已知 \( AF:FB=3:1 \)，所以 \( \frac{S_{\triangle AOF}}{S_{\triangle BOF}} = \frac{AF}{FB} = \frac{3}{1} \)（等高）。设 \( S_{\triangle BOF} = y \)，则 \( S_{\triangle AOF} = 3y \)。

在三角形BFC中，D在BC上（\( BD:DC=2:3 \)），O在CF上。由鸟头模型（或燕尾）：\( \frac{S_{\triangle BOD}}{S_{\triangle COD}} = \frac{BD}{DC} = \frac{2}{3} \)。

同时，在三角形ABD和三角形ADC中，也有关系。这样设多个未知数列方程可解，但对小学生太难。

📌 第六步：选用一种适合小学奥数的方法：面积比定理（塞瓦定理面积形式）。对于点O，有：

\( \frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1 \)（线段比乘积为1）。代入已知：\( \frac{3}{1} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{1} = 4 \neq 1 \)。说明我记错了定理形式，塞瓦定理是：在三角形ABC中，若AD、BE、CF三线共点，则 \( \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 \)。检查已知：\( AF:FB=3:1 \) 即 \( \frac{AF}{FB}=\frac{3}{1} \)，\( BD:DC=2:3 \) 即 \( \frac{BD}{DC}=\frac{2}{3} \)，\( AE:EC=1:2 \) 即 \( \frac{AE}{EC}=\frac{1}{2} \)，所以 \( \frac{CE}{EA} = \frac{2}{1} \)。

乘积：\( \frac{3}{1} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{1} = 4 \)。不等于1，说明我给出的数据可能不满足三线共点？题目说“三条线段交于点O”，那么数据必须满足塞瓦定理。所以我的数据有矛盾。为了教学，我调整数据使其满足定理：设 \( AF:FB=3:1 \)，\( BD:DC=1:2 \)，\( CE:EA=2:1 \)（这样乘积 \( \frac{3}{1} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = 3 \)，仍不为1）。再调整：设 \( AF:FB=2:1 \)，\( BD:DC=2:3 \)，\( CE:EA=3:4 \)？计算麻烦。我们改用经典数据：\( BD:DC=1:2 \)，\( CE:EA=1:2 \)，\( AF:FB=2:1 \)。

则塞瓦乘积：\( \frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)，仍不为1。可见构造数据需谨慎。

为简化教学，我们使用满足塞瓦定理的经典比例：设 \( BD:DC=1:1 \)（即D为BC中点），\( CE:EA=1:1 \)（E为AC中点），\( AF:FB=1:1 \)（F为AB中点）。则O为重心。此时 \( S_{\triangle AOF} \) 易求。但这样失去练习鸟头模型的意义。

因此，我们换一种无需塞瓦定理的简单鸟头模型题作为例题3。

🔥 例题3（调整后）：如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，\( AE:EC=2:1 \)。F是AD上一点，\( AF:FD=3:1 \)。连接BF并延长交AC于G。已知三角形ABC的面积为48平方厘米，求三角形AFG的面积。

B

C

A

D

E

F

G

📌 第一步：观察所求三角形AFG。它位于三角形ABD中吗？不，它在三角形ADC中？G在AC上，F在AD上，所以三角形AFG在三角形ADC中。

📌 第二步：先求三角形ADC的面积。因为D是BC中点，所以 \( S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 48 = 24 \)。

📌 第三步：在三角形ADC中，G在AC上，F在AD上。三角形AFG和三角形ADC共享 \( \angle CAD \)，符合鸟头模型。

📌 第四步：找出夹 \( \angle CAD \) 的两边比例。

已知 \( AF:FD=3:1 \)，所以 \( \frac{AF}{AD} = \frac{3}{4} \)。

已知 \( AE:EC=2:1 \)，所以 \( \frac{AE}{AC} = \frac{2}{3} \)。但G是BF延长线与AC的交点，G的位置未知。我们需要先求出 \( AG:AC \) 的比值。

📌 第五步：过D作DH平行于AC，交BG于H。因为D是BC中点，所以DH是三角形BCG的中位线？不，DH // AC，所以H是BG的中点？在三角形BCG中，D是BC中点，DH // CG，所以H是BG的中点。因此，在三角形ABG中，F是AD上一点，且连接BHF共线？需要仔细分析。

更标准的方法：在三角形ABD中，过F作AC的平行线交BC于M？较繁。使用梅涅劳斯定理：在三角形ACD中，截线B-F-G。直线BFG截三角形ACD于B、F、G三点（B在CD延长线上）。根据梅涅劳斯定理：

\( \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} \cdot \frac{AG}{GC} = 1 \)。

已知 \( CB:BD=2:1 \)（因为D是中点，所以BC=2BD，CB=2BD），\( DF:FA=1:3 \)（因为AF:FD=3:1）。

代入：\( \frac{2}{1} \times \frac{1}{3} \times \frac{AG}{GC} = 1 \)。

所以 \( \frac{2}{3} \times \frac{AG}{GC} = 1 \)， \( \frac{AG}{GC} = \frac{3}{2} \)。

所以 \( \frac{AG}{AC} = \frac{3}{5} \)。

📌 第六步：现在，在三角形ADC中应用鸟头模型（共角A）：

\( \frac{S_{\triangle AFG}}{S_{\triangle ADC}} = \frac{AF \times AG}{AD \times AC} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20} \)。

📌 第七步：计算：\( S_{\triangle AFG} = S_{\triangle ADC} \times \frac{9}{20} = 24 \times \frac{9}{20} = \frac{216}{20} = 10.8 \)。

✅ 答案：三角形AFG的面积为10.8平方厘米。

💬 总结：在复杂图形中，有时需要结合平行线、中点、梅涅劳斯定理（或其面积形式）先求出所需线段比，再代入鸟头模型公式。

练习题（10道）

1. 如图，在三角形ABC中，D、E分别在AB、AC上，且 \( AD=\frac{1}{2}DB \)，\( AE=2EC \)。已知三角形ADE的面积为6平方厘米，求三角形ABC的面积。
2. 三角形PQR中，M是PQ上一点，\( PM:MQ=2:3 \)，N是PR上一点，\( PN:NR=4:1 \)。三角形PMN的面积为16平方厘米，求三角形PQR的面积。
3. 如图，在长方形ABCD中，E是AD中点，F是CD上一点，\( CF:FD=1:2 \)。连接BE、BF、EF。若三角形BEF的面积为15平方厘米，求长方形ABCD的面积。
4. 已知三角形ABC的面积为90。点D在BC上，\( BD=2DC \)。点E在AC上，\( AE=3EC \)。求四边形ABDE的面积。
5. 如图，三角形ABC中，D、E分别是AB、AC边上的三等分点（即 \( AD:DB=1:2 \)，\( AE:EC=2:1 \)）。已知四边形DECB的面积为50，求三角形ABC的面积。
6. 平行四边形EFGH中，点M在EH上，\( EM:MH=1:2 \)，点N在FG上，\( FN:NG=3:1 \)。连接FM、HN，交于点O。若平行四边形面积为120，求三角形MON的面积。
7. 如图，在三角形XYZ中，P是XY中点，Q是YZ上一点，\( YQ:QZ=1:3 \)，R是XZ上一点，\( XR:RZ=2:1 \)。连接PQ、PR。若三角形PQR的面积为10，求三角形XYZ的面积。
8. 三角形LMN中，点O在LN上，\( LO:ON=3:2 \)，点P在MN上，\( MP:PN=1:1 \)。直线OP与LM的延长线交于点Q。已知三角形LMN面积为75，求三角形LOQ的面积。
9. 如图，正方形ABCD边长为12厘米。E是BC中点，F是CD上一点，且DF=2FC。连接AE、AF、EF。求三角形AEF的面积。
10. 在梯形ABCD（AD平行于BC）中，\( AD:BC=2:5 \)。E是AB上一点，\( AE:EB=3:4 \)。F是CD上一点，\( CF:FD=1:2 \)。连接DE、BF，交于点G。若梯形面积为98，求三角形BGC的面积。

奥数挑战（10道）

1. （迎春杯改编）如图，三角形ABC面积为1。点D、E、F分别在BC、CA、AB上，且 \( BD:DC=2:1 \)，\( CE:EA=3:2 \)，\( AF:FB=1:4 \)。AD与BE交于点X，BE与CF交于点Y，CF与AD交于点Z。求三角形XYZ的面积。
2. （华杯赛真题风格）在三角形ABC中，\( BD=DE=EC \)，\( CF=FG=GA \)，\( AH=HI=IB \)。连接线段DG、EH、FI，它们两两相交于J、K、L，构成三角形JKL。若三角形ABC面积为108，求三角形JKL的面积。
3. 如图，五边形ABCDE中，M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DE的中点，R、S、T分别是MN、NP、PQ的中点。若五边形ABCDE的面积为160，求三角形RST的面积。
4. 三角形PQR中，S、T、U分别是QR、RP、PQ边上的点，且 \( QS:SR=3:2 \)，\( RT:TP=4:1 \)，\( PU:UQ=2:3 \)。直线PS、QT、RU两两相交形成一个小三角形。若三角形PQR面积为100，求内部小三角形的面积。
5. （走美杯真题）在面积为30的四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的三等分点（靠近顶点的分点）。连接EH、FG，将四边形分成四个小四边形。求中间那个小四边形的面积。
6. 如图，三角形ABC被其三条内角平分线分成六个小三角形。已知其中四个小三角形的面积如图所示（单位：平方厘米），求三角形ABC的面积。
7. （希望杯训练题）在三角形ABC中，点D、E在BC上，\( BD:DE:EC=1:2:1 \)。点F、G在AC上，\( AF:FG:GC=2:1:1 \)。点H、I在AB上，\( AH:HI:IB=1:1:2 \)。连接AD、BE、CF，它们两两相交于J、K、L。求三角形JKL与三角形ABC的面积比。
8. 平行四边形MNPQ中，点R在MN上，\( MR:RN=1:3 \)，点S在NP上，\( NS:SP=2:1 \)，点T在PQ上，\( PT:TQ=3:2 \)，点U在QM上，\( QU:UM=1:4 \)。连接RT和SU，它们将平行四边形分成四块。求其中最大一块与最小一块的面积比。
9. 如图，在三角形XYZ中，\( XV:VY=1:2 \)，\( YW:WZ=2:3 \)，\( ZU:UX=3:1 \)。连接UW、VX、YZ，三线共点于O。求 \( \frac{S_{\triangle UWO}}{S_{\triangle XYZ}} \)。
10. （CMO少儿组改编）正六边形ABCDEF的面积为72。连接AC、CE、EA，形成一个大三角形。再在这个大三角形中，连接其各边上的三等分点，形成一个更小的正六边形。求这个小正六边形的面积。

生活应用（5道）

1. （高铁设计）高铁某段路基的横截面是一个梯形ABCD（AD平行于BC）。工程师需要在截面内规划一个三角形区域加固（如图，AEF）。已知 \( BE:EC=3:2 \)（B、C是下底两端），\( DF:FC=1:1 \)。通过测量，梯形总截面积为50平方米。请计算需要加固的三角形AEF区域的面积。
2. （航天太阳能板）一块三角形的航天器太阳能板ABC发生了部分损坏，损坏区域是三角形ADF（D在AB上，F在AC上）。维修机器人从B点出发，沿BC边移动到E点（\( BE:EC=1:3 \)），然后平行于AB移动到AC边上的F点。已知完好区域四边形DBEF的面积是损坏区域三角形ADF面积的4倍。若整块太阳能板面积为20平方米，求损坏区域的面积。
3. （AI图像分割）在AI识别图像时，需要计算一个不规则四边形图案的面积。技术人员将其放入一个大的等腰直角三角形坐标系中，图案的四个顶点分别在大三角形三条边上的特定比例位置。已知大三角形面积为120平方像素，四个顶点分边比例分别为 \( 1:2 \)， \( 1:1 \)， \( 2:1 \)， \( 3:1 \)（按顺序）。请利用鸟头模型思想，估算这个四边形图案的面积。
4. （环保绿化）某社区有一块三角形绿地ABC，计划在AB边修建一条小路AD（\( AD:DB=2:3 \)），在AC边修建一条小路AE（\( AE:EC=3:1 \)）。小路ADE将绿地分出一块三角形区域作为花圃。已知绿地ABC总面积为800平方米，求花圃ADE的面积。如果每平方米花圃种植10株花卉，共需采购多少株？
5. （网购包装）一个三角形的定制礼品盒（三角形PQR），需要在内部卡纸（三角形PST）上印刷图案。卡纸顶点S在PQ上（\( PS:SQ=3:2 \)），顶点T在PR上（\( PT:TR=4:1 \)）。已知礼品盒表面积（三角形PQR面积）为150平方厘米。请计算卡纸三角形PST的面积。如果印刷成本是每平方厘米0.02元，这块卡纸的印刷成本是多少？