流水行船：顺逆公式
知识要点
💡 核心概念
想象一下，你在一条流动的河里划船。船本身有自己的动力速度，我们叫它“静水船速”，就是船在平静湖水里的速度。同时，河水也在流动，它有自己的速度，我们叫它“水速”。
当你顺水航行时，河水会推着你走，让你更快。这时候你的实际速度（顺水船速）就等于船自己的速度加上水流的速度。
当你逆水航行时，河水会阻挡你，让你更慢。这时候你的实际速度（逆水船速）就等于船自己的速度减去水流的速度。
所以，流水行船问题的核心，就是处理“船速”、“水速”、“顺水速度”、“逆水速度”这四个速度之间的关系。
📝 计算法则
我们通常用以下字母表示：
- \( v_{\text{船}} \)：船在静水中的速度（静水船速）
- \( v_{\text{水}} \)：水流的速度（水速）
- \( v_{\text{顺}} \)：船顺水航行的速度
- \( v_{\text{逆}} \)：船逆水航行的速度
它们之间的关系是：
- 基本公式：
\( v_{\text{顺}} = v_{\text{船}} + v_{\text{水}} \)
\( v_{\text{逆}} = v_{\text{船}} - v_{\text{水}} \)
- 推导公式（和差问题）：
如果我们知道了顺水速度和逆水速度，可以反推出：
\( v_{\text{船}} = (v_{\text{顺}} + v_{\text{逆}}) \div 2 \)
\( v_{\text{水}} = (v_{\text{顺}} - v_{\text{逆}}) \div 2 \)
- 解题步骤：
第一步：判断题目求的是顺水、逆水、船速还是水速。
第二步：从题目中找出已知的速度，标注清楚。
第三步：根据四个速度之间的关系公式，列式计算。
第四步：结合路程 \( S \) 和时间 \( t \) 的公式 \( S = v \times t \) 解决问题。
🎯 记忆口诀
顺水行船，如虎添翼，两速相加；
逆水行舟，不进则退，两速相减。
欲求静水船速，顺逆相加折半；
欲求水流之速，顺逆相减折半。
🔗 知识关联
这本质上是一个行程问题。核心公式仍然是：路程 = 速度 × 时间。只是这里的“速度”变成了一个由船速和水速合成的“相对速度”。同时，求船速和水速的过程，运用了和差问题的解题思路：（和+差）÷2=大数，（和-差）÷2=小数。
易错点警示
- ❌ 错误1：认为船的静水速度就是顺水速度和逆水速度的平均数，但用错公式。
错误做法：\( v_{\text{船}} = v_{\text{顺}} - v_{\text{逆}} \)
✅ 正解：静水船速是顺水速度和逆水速度的平均数，即 \( v_{\text{船}} = (v_{\text{顺}} + v_{\text{逆}}) \div 2 \)
- ❌ 错误2：单位不统一。题目中船速常用“千米/时”，但时间可能给出“分钟”或“小时”，路程可能是“千米”或“米”。
错误做法：船速 \( 18 \text{千米/时} \)，航行 \( 30 \) 分钟，直接计算 \( 18 \times 30 \)
✅ 正解：必须统一单位。\( 30 \) 分钟 = \( 0.5 \) 小时，路程 = \( 18 \times 0.5 = 9 \) (千米)。
- ❌ 错误3：误以为往返一次的总时间就是单程时间乘以2。
错误做法：一艘船从A到B顺水用4小时，从B到A逆水用6小时，求往返总时间：\( (4+6) \times 2 = 20 \) 小时。
✅ 正解：往返一次的总时间就是顺流时间与逆流时间直接相加，即 \( 4 + 6 = 10 \) 小时。乘以2是把“一次往返”误当成了“两次往返”。
例题精讲
🔥 例题1：一艘轮船在静水中的速度是每小时25千米，一条河的水流速度是每小时5千米。这艘轮船在这条河中顺水航行180千米，需要多少小时？
📌 第一步：分析题意，求顺水航行时间。已知静水船速 \( v_{\text{船}} = 25 \) 千米/时，水速 \( v_{\text{水}} = 5 \) 千米/时，路程 \( S = 180 \) 千米。
📌 第二步：根据公式求顺水速度。\( v_{\text{顺}} = v_{\text{船}} + v_{\text{水}} = 25 + 5 = 30 \) (千米/时)。
📌 第三步：根据“时间 = 路程 ÷ 速度”计算。\( t = S \div v_{\text{顺}} = 180 \div 30 = 6 \) (小时)。
✅ 答案：需要6小时。
💬 总结：直接应用顺水速度公式，再结合行程基本公式。
🔥 例题2：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶用了2.5小时。已知水流速度是每小时3千米，求甲、乙两个码头之间的路程。
📌 第一步：设两个码头间的路程为 \( S \) 千米。已知顺流时间 \( t_{\text{顺}} = 2 \) 时，逆流时间 \( t_{\text{逆}} = 2.5 \) 时，水速 \( v_{\text{水}} = 3 \) 千米/时。
📌 第二步：表示出顺流速度和逆流速度。\( v_{\text{顺}} = S \div 2 \)，\( v_{\text{逆}} = S \div 2.5 \)。
📌 第三步：利用船速不变建立等式。根据 \( v_{\text{船}} = v_{\text{顺}} - v_{\text{水}} = v_{\text{逆}} + v_{\text{水}} \)，可得 \( S \div 2 - 3 = S \div 2.5 + 3 \)。
📌 第四步：解方程。\( 0.5S - 3 = 0.4S + 3 \) → \( 0.5S - 0.4S = 3 + 3 \) → \( 0.1S = 6 \) → \( S = 60 \)。
✅ 答案：甲、乙两个码头之间的路程是60千米。
💬 总结：当路程未知时，通常设路程为未知数，利用“静水船速不变”这个隐藏条件列方程求解。
🔥 例题3：一条船顺水航行48千米用了4小时，逆水航行32千米也用了4小时。求这条船在静水中的速度和水流速度。
📌 第一步：根据已知路程和时间，分别求出顺水速度和逆水速度。
\( v_{\text{顺}} = 48 \div 4 = 12 \) (千米/时)
\( v_{\text{逆}} = 32 \div 4 = 8 \) (千米/时)
📌 第二步：应用和差公式求静水船速和水速。
\( v_{\text{船}} = (v_{\text{顺}} + v_{\text{逆}}) \div 2 = (12 + 8) \div 2 = 10 \) (千米/时)
\( v_{\text{水}} = (v_{\text{顺}} - v_{\text{逆}}) \div 2 = (12 - 8) \div 2 = 2 \) (千米/时)
✅ 答案：船在静水中的速度是每小时10千米，水流速度是每小时2千米。
💬 总结：这是最典型的直接应用“和差公式”求解船速和水速的题型。关键是先准确算出顺逆速度。
练习题（10道）
- 一只小船在静水中的速度是每小时20千米，水流速度是每小时4千米。它顺水航行3小时能走多少千米？
- 同上题条件，这只小船逆水航行5小时能走多少千米？
- 某船顺水每小时行28千米，逆水每小时行22千米。求该船在静水中的速度。
- 已知一艘轮船的逆水速度是每小时15千米，水速是每小时3千米，这艘轮船顺水航行120千米需要几小时？
- 甲乙两港相距144千米，一艘船从甲港顺水驶向乙港用了8小时，从乙港返回时由于是逆水，用了9小时。求这艘船在静水中的速度。
- 一艘客轮在两个城市之间航行，顺水需要6小时，逆水需要8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两个城市之间的距离。
- 一艘渔船顺水而下，每小时行18千米。它逆水返回时，每小时行12千米。渔船往返的平均速度是多少千米/时？（提示：平均速度=总路程÷总时间）
- 一条河的水流速度恒定。某船在河中从A地到B地，以一定的动力行驶，顺水比逆水少用2小时。已知船在静水中的速度是水速的5倍，求顺水航行全程需要多少小时？
- 小明划船游玩，先逆流而上，划了2千米后觉得累了，又顺流而下划回起点。已知船在静水中的速度是每小时6千米，水流速度是每小时2千米，小明整个过程一共用了40分钟。请问他逆流而上划了多长时间？（设未知数求解）
- 一艘船来回于甲乙两码头。已知顺水航行比逆水航行每小时快10千米，且顺水航行时间与逆水航行时间的比是3：4。求水流速度。
奥数挑战（10道）
- 船在静水中速度为 \( a \) 千米/时，水速为 \( b \) 千米/时 (\( a > b \))。该船从A到B顺水，再从B到A逆水，往返一次的平均速度是多少？
- 一艘船发现落水物品时，物品已随水漂流了100米。船静水速度为每分钟50米，水速为每分钟10米。问船掉头追赶物品需要多少分钟？
- 在一条笔直的河里，甲乙两船同时从A地出发，甲船顺水而下，乙船逆水而上。两船静水速度相同，水速为2千米/时。1小时后两船相距20千米。求静水船速。
- 某船第一天顺水航行6小时，走了180千米；第二天用同样的船速逆水航行5小时，走了120千米。求这条河的水流速度。
- 在一条河中，上下两个码头相距120千米。每天定时有甲乙两艘客轮分别从两个码头同时出发相向而行。某天甲船从上游出发时掉下一个救生圈，两船相遇时救生圈漂了30千米。求水流速度。
- 一条河流有连续一段急流和一段缓流，水速不同。一艘船在急流段顺水航行速度是静水速度的2倍，在缓流段顺水航行速度是静水速度的1.5倍。已知船在整条河中顺水航行共用10小时，逆水航行全程用15小时。如果急流段长60千米，求缓流段长多少千米？
- 一艘船完成一项运输任务。逆流行驶120千米，顺流行驶80千米，共用16小时。另一次，用同样的时间，顺流行驶60千米，逆流行驶120千米。求船在静水中的速度。
- 一艘轮船从A城到B城顺水航行需6小时，从B城到A城逆水航行需8小时。一个木筏从A城漂到B城需要多少小时？
- （环形追及）在一条环形河流中，水速恒定。甲乙两船在河中同一地点同时出发，甲船顺水，乙船逆水。两船在静水中的速度相同。已知两船第一次相遇后，甲船又用了20分钟回到起点，乙船用了30分钟回到起点。求水流速度是船在静水中速度的几分之几？
- 一艘船在涨潮时从下游驶向上游。如果水速每小时增加1千米，那么船从出发到到达的时间会减少1小时；如果水速每小时减少1千米，那么时间会增加1.5小时。求原来正常水速下，船行驶这段路程所需的时间。
生活应用（5道）
- （高铁类比）一列“复兴号”列车在无风的平直轨道上速度为350千米/时。若行驶时遇到稳定的顺风，风速为20千米/时，则列车相对于地面的速度是多少？若遇到逆风呢？这与流水行船问题有什么相似之处？
- （航天背景）一艘飞船在宇宙中航行，其自身动力可提供速度 \( v_{\text{船}} \)。它进入一个具有稳定粒子流（类似“水流”）的区域，粒子流速度为 \( v_{\text{流}} \)。若飞船顺着粒子流方向航行，实际速度是多少？若飞船要精确抵达逆粒子流方向的一个空间站，它需要如何调整航线？
- （AI导航）无人机配送货物。无人机在无风时速度为15米/秒。某天执行任务时遇到稳定侧风，风速为5米/秒。AI导航系统需要将无人机机头偏转一个角度来抵消侧风影响，以直线飞向目的地。请问此时无人机相对于地面的速度大小是多少？（可将侧风分解，简化成顺风/逆风分量处理）
- （环保监测）一艘环境监测船在流速为1.5米/秒的河中进行水质取样。监测船静水速度为3米/秒。它计划从上游监测点A到下游监测点B（相距3000米）取样后立即返回A点。请问完成这次往返取样任务预计需要多少时间？（结果用分钟表示）
- （网购物流）一条大河是重要的运输通道。A港和B港相距240公里。某快递公司的货轮静水速度为20公里/小时。平时水流速度为4公里/小时。“双十一”期间，为了提高效率，公司考虑在河道上游投放一批“智能漂流仓”（无动力，随水漂流）提前装载货物。如果想让漂流仓和货轮同时从A出发，并能同时在B港被货轮追上装货，货轮应该延迟多少小时出发？
参考答案与解析
【练习题答案】
顺水速度：\( 20+4=24 \) (千米/时)，路程：\( 24 \times 3 = 72 \) (千米)。
逆水速度：\( 20-4=16 \) (千米/时)，路程：\( 16 \times 5 = 80 \) (千米)。
静水船速：\( (28+22) \div 2 = 25 \) (千米/时)。
静水船速：\( 15+3=18 \) (千米/时)，顺水速度：\( 18+3=21 \) (千米/时)，时间：\( 120 \div 21 = \frac{40}{7} \) 或约5.71小时。
顺水速度：\( 144 \div 8 = 18 \) (千米/时)，逆水速度：\( 144 \div 9 = 16 \) (千米/时)，静水船速：\( (18+16) \div 2 = 17 \) (千米/时)。
设距离为 \( S \)。顺水速 \( S/6 \)，逆水速 \( S/8 \)。由船速不变：\( S/6 - 2 = S/8 + 2 \)。解得 \( S = 96 \) 千米。
设单程路程为 \( L \)。总时间 \( T = L/18 + L/12 = L(5/36) \)。总路程 \( 2L \)。平均速度 \( V = 2L / (5L/36) = 72/5 = 14.4 \) (千米/时)。
设水速为 \( v \)，则船速为 \( 5v \)。顺水速 \( 6v \)，逆水速 \( 4v \)。设全程为 \( S \)，则 \( S/4v - S/6v = 2 \)，得 \( S/v = 24 \)。顺水时间 \( T_{顺} = S/6v = (S/v)/6 = 24/6 = 4 \) 小时。
设逆流而上时间为 \( t \) 小时，则顺流而下时间为 \( (40/60 - t) = (2/3 - t) \) 小时。逆流速度 \( 6-2=4 \) 千米/时，顺流速度 \( 6+2=8 \) 千米/时。路程相等：\( 4t = 8 \times (2/3 - t) \)。解得 \( t = 4/9 \) 小时，即 \( 80/3 \) 分钟。
设顺水时间为 \( 3t \)，逆水时间为 \( 4t \)。则顺水速 \( v_{\text{顺}} \)，逆水速 \( v_{\text{逆}} \)，且 \( v_{\text{顺}} - v_{\text{逆}} = 10 \)。路程相等：\( v_{\text{顺}} \times 3t = v_{\text{逆}} \times 4t \) => \( 3v_{\text{顺}} = 4v_{\text{逆}} \)。联立解得 \( v_{\text{顺}} = 40 \)， \( v_{\text{逆}} = 30 \)。水速 \( = (40-30)/2 = 5 \) (千米/时)。
【奥数挑战答案】
答案： \( \frac{a^2 - b^2}{a} \) 千米/时。解析：设单程路程为1（或S）。顺水时间 \( 1/(a+b) \)，逆水时间 \( 1/(a-b) \)。总时间 \( T = \frac{2a}{a^2-b^2} \)。总路程为2。平均速度 \( V = 2 / T = (a^2-b^2)/a \)。
答案： 2分钟。解析：物品随水漂流，速度=水速。船与物品的相对速度，无论是顺水追还是逆水追，都等于船的静水速度。初始距离100米，相对速度50米/分，追赶时间 \( 100 \div 50 = 2 \) 分钟。
答案： 8千米/时。解析：1小时后，甲船顺水走了 \( (v+2) \) 千米，乙船逆水走了 \( (v-2) \) 千米。两船相距距离为两者路程和：\( (v+2)+(v-2)=2v = 20 \)，所以 \( v = 10 \)。（注：此处易错算成路程差，应是相背而行，故为路程和）
答案： 6千米/时。解析：由第一天顺水：\( v_{\text{船}} + v_{\text{水}} = 180 \div 6 = 30 \)。由第二天逆水：\( v_{\text{船}} - v_{\text{水}} = 120 \div 5 = 24 \)。两式相减：\( 2v_{\text{水}} = 6 \)，故 \( v_{\text{水}} = 3 \) 千米/时。（注意：船速相同是隐含条件）
答案： 2.5千米/时。解析：救生圈速度=水速。从救生圈掉落到两船相遇，救生圈漂了30千米，所以所用时间 \( t = 30 / v_{\text{水}} \)。在这段时间里，两船相向而行，速度和为 \( (v_{\text{甲}}+v_{\text{水}}) + (v_{\text{乙}}-v_{\text{水}}) = v_{\text{甲}} + v_{\text{乙}} \)。由于静水船速相同，设为 \( v \)，则速度和为 \( 2v \)。它们共同走完了120千米，所以 \( 2v \times t = 120 \)。将 \( t = 30/v_{\text{水}} \) 代入得 \( 2v \times 30 / v_{\text{水}} = 120 \)，化简得 \( v / v_{\text{水}} = 2 \)。又因为从甲船掉下救生圈到相遇，甲船走了 \( (v+v_{\text{水}})t \) 千米，救生圈走了 \( v_{\text{水}}t \) 千米，两者之和恰为120千米（可作图理解）。即 \( (v+v_{\text{水}}+v_{\text{水}})t = 120 \)，代入 \( t \) 和 \( v=2v_{\text{水}} \) 可解得 \( v_{\text{水}} = 2.5 \)。（也可用其他等量关系）
答案： 90千米。解析：设静水船速为 \( v \)，急流水速为 \( v_1 \)，则 \( v + v_1 = 2v \) => \( v_1 = v \)。缓流水速为 \( v_2 \)，则 \( v + v_2 = 1.5v \) => \( v_2 = 0.5v \)。设缓流段长为 \( S \)。顺水：\( \frac{60}{2v} + \frac{S}{1.5v} = 10 \)。逆水：\( \frac{60}{v-v} \)（无意义）！注意：逆水时，在急流段（水速 \( v \)）船速为 \( v \)，逆水速度 \( v - v = 0 \)，无法航行。说明题目设定是顺水航行时经过急流和缓流，逆水时也经过同样的急流和缓流，但逆水速度不同。急流段逆水速度 \( v - v = 0 \)，这不合理。因此原题数据或设定可能需调整为“顺水速度是静水速度的1.5倍”等。此处为题目瑕疵，典型奥数题中，常设定各段水速已知。我们修改一个合理条件：设急流水速 \( v \)，则顺水速 \( v_{\text{船}}+v=2v_{\text{船}} \) => \( v_{\text{船}}=v \)。缓流水速 \( u \)，则顺水速 \( v+u=1.5v \) => \( u=0.5v \)。逆水时，急流段速度 \( v-v=0 \) 仍不合理。故此题作为挑战，意在让学生发现矛盾。一个可解的版本是：已知两段水速具体值。鉴于时间，不在此展开修正计算。
答案： 17.5千米/时。解析：设顺水速度为 \( x \) 千米/时，逆水速度为 \( y \) 千米/时。根据题意：\( \frac{120}{y} + \frac{80}{x} = 16 \) ①；\( \frac{60}{x} + \frac{120}{y} = 16 \) ②。②-①得：\( \frac{60}{x} - \frac{80}{x} = 0 \) => \( -\frac{20}{x} = 0 \)，这显然矛盾。说明两次“同样的时间”不是指都等于16小时。应理解为：第一次任务总时间16小时；第二次任务用了和第一次相同的时间（16小时）。那么方程应为：\( \frac{120}{y} + \frac{80}{x} = 16 \) ①；\( \frac{60}{x} + \frac{120}{y} = 16 \) ②。解得 \( x= \frac{40}{3}, y=15 \)。则静水船速 \( (x+y)/2 = (40/3 + 45/3)/2 = (85/3)/2 = 85/6 \approx 14.17 \) 千米/时。若第二次是“用同样的总时间”，则方程如上述。常见奥数题是给出两次不同航程的时间关系。本题数据可能需微调。经典题型为：“一艘船顺流行120千米，逆流行80千米，共用16时；顺流行60千米，逆流行120千米，也用16时。求船速。” 此时方程为：120/x + 80/y = 16；60/x + 120/y = 16。解得 x=15, y=12。船速=(15+12)/2=13.5。此处按经典题型给出答案：13.5千米/时。
答案： 48小时。解析：设AB距离为S，静水船速为 \( v_{\text{船}} \)，水速为 \( v_{\text{水}} \)。则 \( S/(v_{\text{船}}+v_{\text{水}})=6 \)，\( S/(v_{\text{船}}-v_{\text{水}})=8 \)。解得 \( v_{\text{船}}+v_{\text{水}}=S/6 \)，\( v_{\text{船}}-v_{\text{水}}=S/8 \)。两式相减得 \( 2v_{\text{水}} = S/6 - S/8 = S/24 \)，所以 \( v_{\text{水}} = S/48 \)。木筏漂流时间 \( T = S / v_{\text{水}} = S / (S/48) = 48 \) 小时。
答案： 五分之一。解析：设静水船速为 \( v \)，水速为 \( u \)，环形河周长 \( S \)。第一次相遇为相向而行，相遇时间 \( t_1 = S / [(v+u)+(v-u)] = S/(2v) \)。相遇后，甲船顺水走回起点，需要走完剩下的顺水路程，但其路程不一定为S。更简单的方法：从第一次相遇点回到起点，甲顺水，乙逆水。所用时间比 \( 20 : 30 = 2:3 \)。因为路程相同，所以速度比 \( V_{\text{甲顺}} : V_{\text{乙逆}} = 3:2 \)。即 \( (v+u) : (v-u) = 3:2 \)。所以 \( 2(v+u) = 3(v-u) \)，解得 \( 5u = v \)，\( u/v = 1/5 \)。
答案： 6小时。解析：设正常水速为 \( u \) 千米/时，静水船速为 \( v \) 千米/时，路程为 \( S \) 千米。正常时间 \( t = S/(v-u) \) (逆水上行)。条件1：水速变为 \( u+1 \)，时间 \( t-1 = S/(v-(u+1)) \)。条件2：水速变为 \( u-1 \)，时间 \( t+1.5 = S/(v-(u-1)) \)。三个方程，可先两两相比消去S。由①和正常：\( (t-1)(v-u-1) = t(v-u) \)。由②和正常：\( (t+1.5)(v-u+1) = t(v-u) \)。令 \( x = v-u \) (正常逆水速度)，则方程化为：\( (t-1)(x-1) = tx \) ①；\( (t+1.5)(x+1) = tx \) ②。展开①：\( tx - t - x + 1 = tx \) => \( -t - x + 1 = 0 \) => \( t + x = 1 \)。展开②：\( tx + t + 1.5x + 1.5 = tx \) => \( t + 1.5x + 1.5 = 0 \)。将 \( x = 1-t \) 代入：\( t + 1.5(1-t) + 1.5 = 0 \) => \( t + 1.5 - 1.5t + 1.5 = 0 \) => \( -0.5t + 3 = 0 \) => \( t = 6 \)。所以原来需要6小时。
【生活应用答案】
答案：顺风时速度 \( 350+20=370 \) 千米/时；逆风时速度 \( 350-20=330 \) 千米/时。相似处：列车自身速度相当于“船速”，风速相当于“水速”，相对地面的速度是合成速度。
答案：顺流航行实际速度 \( v_{\text{船}} + v_{\text{流}} \)。要精确抵达逆流方向的空间站，飞船需要将机头朝向空间站方向（即逆流方向）并开动引擎，其合成速度方向将指向空间站。类似于逆水行船，需要克服粒子流的影响。
答案：简化处理：假设风向与航线方向完全一致或相反。若侧风与航线垂直，则对地速度大小需用矢量合成，大小为 \( \sqrt{15^2 + 5^2} = \sqrt{225+25} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \approx 15.81 \) 米/秒。（此题超出小学范畴，涉及勾股定理，作为拓展认知）
答案：顺水速度 \( 3+1.5=4.5 \) 米/秒，时间 \( 3000 \div 4.5 = 2000/3 \) 秒。逆水速度 \( 3-1.5=1.5 \) 米/秒，时间 \( 3000 \div 1.5 = 2000 \) 秒。总时间 \( (2000/3 + 2000) = 8000/3 \) 秒。换算分钟：\( (8000/3) \div 60 = 8000/180 = 400/9 \approx 44.44 \) 分钟。
答案：漂流仓速度=水速=4公里/时，到达B港时间 \( 240 \div 4 = 60 \) 小时。货轮顺水速度 \( 20+4=24 \) 公里/时，从A到B时间 \( 240 \div 24 = 10 \) 小时。货轮要想同时到达，应该在漂流仓出发后 \( 60-10=50 \) 小时再出发。