六年级比例知识点详解：正反比例判断、比例尺计算、应用题解析与练习题PDF下载
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六年级
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2025-12-20
比例专题学习资料（六年级）
知识要点
💡 核心概念
- 比例：表示两个比相等的式子，叫做比例。例如：\( 2:3 = 4:6 \)。比例的核心是“相等的关系”。
- 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。简单记：同增同减，比值不变。如：速度一定时，路程和时间成正比例。
- 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。简单记：你增我减，积不变。如：路程一定时，速度和时间成反比例。
- 比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即 比例尺 = 图上距离 : 实际距离。它表示“缩小”或“放大”的倍数关系。
📝 计算法则
- 判断正、反比例：先找两种相关联的量，再看它们是对应商一定（正比例）还是积一定（反比例）。
- 解比例：根据比例的基本性质——“两内项之积等于两外项之积”来求比例中的未知项。步骤：① 写“解”。② 将比例式写成乘积式（交叉相乘）。③ 解方程。④ 检验。
- 比例尺计算：
- 已知图上距离和比例尺，求实际距离：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺。
- 已知实际距离和比例尺，求图上距离：图上距离 = 实际距离 × 比例尺。
- 注意：计算前要先统一单位，通常实际距离的单位是千米或米，图上距离的单位是厘米。
🎯 记忆口诀
正比例，肩并肩：你变大，我也大，比值永远不变化。
反比例，坐跷跷板：你变大，我就小，乘积永远不变少。
比例尺，像把尺：图上小，实际大，分清单位和倍差。
解比例，抓核心：内项积，等于外项积，变成方程很容易。
🔗 知识关联
- 比：比例是比的发展，由两个相等的比组成。
- 分数与除法：比、分数、除法本质相通，比值就是商。
- 常见的数量关系：速度×时间=路程，单价×数量=总价，工作效率×工作时间=工作总量。这些是判断正反比例的重要基础。
- 方程：解比例的过程就是解方程。
易错点警示
- ❌ 错误1：比例尺放大与缩小搞反。认为比例尺 \( 5:1 \) 是缩小。
✅ 正解：比例尺是一个比，前项代表图上距离。\( 5:1 \) 表示图上5厘米代表实际1厘米，是放大。通常缩小比例尺前项为1，如 \( 1:100 \)；放大比例尺后项为1，如 \( 5:1 \)。
- ❌ 错误2：正、反比例判断只看表面。错误认为“圆的面积和半径成正比例”。
✅ 正解：判断必须依据定义。圆的面积 \( S = \pi r^{2} \)，面积与半径的比值 \( \frac{S}{r} = \pi r \) 不是定值，而积 \( S \times r \) 也不是定值。所以它们不成比例。面积与半径的平方成正比例。
- ❌ 错误3：计算比例尺问题时，单位不统一就直接计算。
✅ 正解：计算前必须统一单位。例如，图上5厘米，比例尺 \( 1:200000 \)，求实际距离。应先设实际距离为 \( x \) 厘米，列式 \( \frac{5}{x} = \frac{1}{200000} \)，解得 \( x = 1000000 \) 厘米，再换算成 \( 10 \) 千米。
三例题精讲
🔥 例题1：正比例应用
一辆汽车行驶的时间和路程如下表。它们成正比例关系吗？为什么？如果成正比例，当汽车行驶 \( 4.5 \) 小时时，路程是多少千米？
📌 第一步：判断关系。计算每组路程与时间的比值：\( 80 \div 1 = 80 \)， \( 160 \div 2 = 80 \)， \( 240 \div 3 = 80 \)。比值（速度）一定，所以路程和时间成正比例。
📌 第二步：设未知数列比例。设行驶 \( 4.5 \) 小时的路程为 \( x \) 千米。根据“路程:时间 = 速度（一定）”，列比例式：\( \frac{80}{1} = \frac{x}{4.5} \)。
📌 第三步：解比例。 \( 1 \times x = 80 \times 4.5 \)，解得 \( x = 360 \)。
✅ 答案：成正比例。行驶 \( 4.5 \) 小时的路程是 \( 360 \) 千米。
💬 总结：先通过计算比值判断是否成正比例，再根据比值一定列比例式求解。
🔥 例题2：反比例应用
小明家装修，用同样大小的地砖铺客厅。如果用边长为 \( 0.4 \) 米的正方形地砖，需要 \( 150 \) 块。如果改用边长为 \( 0.6 \) 米的正方形地砖，需要多少块？
📌 第一步：分析关系。客厅总面积一定。每块地砖的面积与所需块数是两种相关联的量。单砖面积 × 块数 = 总面积（一定），所以它们成反比例。
📌 第二步：计算单砖面积。 \( 0.4 \) 米砖的面积：\( 0.4 \times 0.4 = 0.16 \) (平方米)。 \( 0.6 \) 米砖的面积：\( 0.6 \times 0.6 = 0.36 \) (平方米)。
📌 第三步：设未知数列比例（积的形式）。设需要 \( x \) 块。根据总面积相等：\( 0.16 \times 150 = 0.36 \times x \)。
📌 第四步：解方程。 \( 24 = 0.36x \)， \( x = 24 \div 0.36 \)， \( x = \frac{200}{3} \approx 66.\overline{6} \)。
✅ 答案：因为地砖需要整块，所以需要 \( 67 \) 块。（根据实际生活，应“进一法”取整）
💬 总结：抓住“总面积不变”这个关键，确定反比例关系。注意计算时用“面积×块数”，而不是直接用边长。最后结果要符合生活实际。
🔥 例题3：比例尺综合应用
在一幅比例尺为 \( 1:5000000 \) 的中国地图上，量得北京到上海的距离大约是 \( 2.8 \) 厘米。一列高铁以 \( 350 \) 千米/时的速度从北京开往上海，大约需要多少小时？（结果保留一位小数）
📌 第一步：求实际距离。设北京到上海的实际距离为 \( x \) 厘米。
\[ \frac{2.8}{x} = \frac{1}{5000000} \]
解得：\( x = 2.8 \times 5000000 = 14000000 \) (厘米)。
📌 第二步：单位换算。 \( 14000000 \) 厘米 \( = 140 \) 千米。 (1千米=100000厘米)
📌 第三步：求时间。 时间 = 路程 ÷ 速度。 \( 140 \div 350 = 0.4 \) (小时)。
✅ 答案：大约需要 \( 0.4 \) 小时。
💬 总结：比例尺问题“先求实际距离，再解其他问题”。计算实际距离时，设未知数列比例解出后，单位换算是关键一步，容易出错，要细心。
练习题（10道）
- 判断下面每题中的两种量是否成比例，成什么比例？① 正方形的周长和边长。② 一本书的总页数一定，已看的页数和剩下的页数。
- 解比例：\( x : 12 = \frac{3}{4} : \frac{1}{3} \)。
- 一个精密零件长 \( 2 \) 毫米，画在图纸上长 \( 4 \) 厘米。这幅图纸的比例尺是多少？
- 买同一种圆珠笔的总价和数量如下表。把表格填写完整，并判断总价和数量成什么比例。
数量/支 1 3 总价/元 1.5 总价/元 12 - 工程队修一条路，每天修 \( 120 \) 米，\( 15 \) 天可以修完。如果要求 \( 10 \) 天修完，平均每天要修多少米？（用比例解）
- 在比例尺是 \( 1:200 \) 的平面图上，量得一间教室的长是 \( 4.5 \) 厘米，宽是 \( 3 \) 厘米。这间教室的实际面积是多少平方米？
- 已知 \( m \) 和 \( n \) 成反比例，且当 \( m=6 \) 时，\( n=8 \)。① 写出 \( n \) 和 \( m \) 的关系式。② 当 \( m=4 \) 时，\( n \) 等于多少？
- 一种农药，药液和水的质量比是 \( 1:1000 \)。要配置 \( 4004 \) 千克农药，需要药液和水各多少千克？
- 弟弟的身高是 \( 1.2 \) 米，他的影长是 \( 0.8 \) 米。同一时间、同一地点，测得一棵树的影长是 \( 3.2 \) 米，这棵树高多少米？（用比例解）
- 大小两个齿轮互相咬合，大齿轮有 \( 40 \) 个齿，每分钟转 \( 90 \) 圈。小齿轮每分钟转 \( 360 \) 圈，它有多少个齿？
奥数挑战（10道）
- 甲、乙两个圆柱形容器，底面积之比为 \( 4:3 \)。甲容器水深 \( 7 \) 厘米，乙容器水深 \( 3 \) 厘米。再往两个容器注入同样多的水，直到水深相等。这时水深多少厘米？
- 已知 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{2}{3} \)， 求 \( \frac{a+c+e}{b+d+f} \) 的值。
- 一批零件，平均分给甲、乙两人加工。当甲完成自己任务的 \( \frac{3}{4} \) 时，乙还剩 \( 35 \) 个没做；当甲完成全部任务时，乙完成自己任务的 \( \frac{6}{7} \)。这批零件共有多少个？
- 在比例尺是 \( 1:3000000 \) 的地图上，量得 A、B 两港距离为 \( 12 \) 厘米。一艘货轮于上午 \( 7 \) 时以每小时 \( 24 \) 千米的速度从 A 港开往 B 港。到达 B 港的时间是几时？
- 两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶子中酒精与水的体积比是 \( 3:1 \)，另一个是 \( 4:1 \)。若把两瓶溶液混合，混合液中酒精与水的体积比是多少？
- 某校六年级男生人数是女生的 \( \frac{2}{3} \)，后来转进 \( 2 \) 名男生，转走 \( 3 \) 名女生，这时男生人数是女生的 \( \frac{3}{4} \)。现在男、女生各有多少人？
- 一条路全长 \( 60 \) 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比是 \( 1:2:3 \)。某人走各段路程所用时间之比是 \( 4:5:6 \)。已知他上坡的速度是每小时 \( 3 \) 千米。问此人走完全程用了多少时间？
- 猎狗发现在离它 \( 10 \) 米远的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑 \( 9 \) 步的路程狗只需跑 \( 5 \) 步，但狗跑 \( 2 \) 步的时间兔能跑 \( 3 \) 步。问狗追上兔时共跑了多少米？
- 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是 \( 5:4 \)，相遇后，甲的速度减少 \( 20\% \)，乙的速度增加 \( 20\% \)，这样，当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 \( 10 \) 千米。A、B 两地相距多少千米？
- 有三个梯形，高之比是 \( 1:2:3 \)，上底之比是 \( 6:9:4 \)，下底之比是 \( 12:15:10 \)。已知第一个梯形的面积是 \( 30 \) 平方厘米，那么第二个和第三个梯形的面积之和是多少平方厘米？
生活应用（5道）
- （高铁）“复兴号”高铁在某段线路上试车时，速度与耗电量的测试数据如下表。它们成比例吗？如果成比例，是正比例还是反比例？
速度（千米/时）： 200， 250， 300， 350
每小时耗电量（度）： 4800， 6000， 7200， 8400
- （航天）我国“天问一号”火星探测器飞往火星时，为了节约燃料，会采用一种特殊的“霍曼转移轨道”。科学家在设计轨道时，需要根据太阳引力的变化精确计算探测器的速度和飞行时间，其中速度和所需时间成反比例关系。如果计划速度为 \( 2.5 \) 万千米/时，需要飞行 \( 7 \) 个月，那么为了将时间缩短到 \( 5 \) 个月，速度需要提高到多少万千米/时？
- （AI与环保）一个AI智能森林监测系统，处理 \( 100 \) 张森林火灾预警图片需要 \( 0.8 \) 秒。按照这个速度，处理一次完整的卫星扫描数据（约 \( 50000 \) 张图片），需要多少秒？合多少分钟？（用比例解）
- （网购与物流）在一张某物流公司全国仓库分布图（比例尺 \( 1:8000000 \) ）上，上海仓库到广州仓库的直线距离是 \( 2.5 \) 厘米。一架货运飞机以 \( 600 \) 千米/时的速度从上海飞往广州，大约需要飞行多少小时？
- （个人健康）张医生建议小明按照体重来调整每日饮水量，即每日饮水量（毫升）与体重（千克）成正比例，比例系数为 \( 30 \)（即每千克体重需要 \( 30 \) 毫升水）。小明体重 \( 40 \) 千克，他每天需要喝多少升水？如果他一天喝了 \( 1.5 \) 升水，是否达到了建议量？
参考答案与解析
【练习题答案】
【奥数挑战答案】
解析：设这时水深 \( h \) 厘米，甲、乙底面积分别为 \( 4S \) 和 \( 3S \)。注入的水体积：甲 \( 4S(h-7) \)，乙 \( 3S(h-3) \)。两者相等：\( 4S(h-7) = 3S(h-3) \)，解得 \( h=19 \)。
解析：设 \( a = 2k, b=3k, c=2m, d=3m, e=2n, f=3n \)。则 \( \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{2(k+m+n)}{3(k+m+n)} = \frac{2}{3} \)。
解析：设每人分到任务 \( x \) 个，甲、乙工作效率比为定值。第一阶段，甲做 \( \frac{3}{4}x \)，乙做 \( x-35 \)，时间相同，效率比 \( \frac{\frac{3}{4}x}{x-35} \)。第二阶段，甲做 \( x \)，乙做 \( \frac{6}{7}x \)，效率比 \( \frac{x}{\frac{6}{7}x} = \frac{7}{6} \)。两效率比相等：\( \frac{3x/4}{x-35} = \frac{7}{6} \)，交叉相乘解得 \( x=70 \)。总零件 \( 2x=140 \)。
解析：实际距离 \( 12 \times 3000000 = 36000000 \) 厘米 = \( 360 \) 千米。时间 \( 360 \div 24 = 15 \) (小时)。\( 7 \) 时 + \( 15 \) 小时 = 22时。
解析：设每个瓶子容积为“1”。第一瓶酒精 \( \frac{3}{4} \)，水 \( \frac{1}{4} \)。第二瓶酒精 \( \frac{4}{5} \)，水 \( \frac{1}{5} \)。混合后酒精：\( \frac{3}{4}+\frac{4}{5} = \frac{31}{20} \)，水：\( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} = \frac{9}{20} \)。体积比 \( \frac{31}{20} : \frac{9}{20} = 31:9 \)。
解析：设原来女生 \( 3x \) 人，则男生 \( 2x \) 人。变化后：\( \frac{2x+2}{3x-3} = \frac{3}{4} \)，交叉相乘 \( 8x+8 = 9x-9 \)，解得 \( x=17 \)。现在男生：\( 2 \times 17 + 2 = 36 \)？计算错误，重算：\( 2x+2 = 36 \)， \( 3x-3 = 48 \)。但 \( 36:48 = 3:4 \)，符合。所以现在男生 \( 36 \)，女生 \( 48 \)。（检查原方程：\( 2x+2=36 \)， \( 3x-3=48 \)， \( x=17 \)正确。）
解析：上坡路 \( 60 \times \frac{1}{1+2+3} = 10 \) 千米，上坡时间 \( 10 \div 3 = \frac{10}{3} \) 小时。上坡时间占总时间的 \( \frac{4}{4+5+6} = \frac{4}{15} \)。所以总时间 \( \frac{10}{3} \div \frac{4}{15} = \frac{10}{3} \times \frac{15}{4} = \frac{25}{2} = 12.5 \) 小时。之前计算有误，正确总时间：\( \frac{10}{3} \div \frac{4}{15} = \frac{10}{3} \times \frac{15}{4} = \frac{150}{12} = \frac{25}{2} = 12.5 \) (小时)。
解析：关键是统一“步长”和“速度”。设狗一步跑 \( a \) 米，兔一步跑 \( b \) 米。则 \( 9b = 5a \)，得 \( b = \frac{5}{9}a \)。设狗跑 \( 2 \) 步（即 \( 2a \) 米）用时为 \( 1 \) 单位时间，则狗速 \( 2a \)。此时兔跑 \( 3 \) 步（即 \( 3b = \frac{5}{3}a \) 米），兔速 \( \frac{5}{3}a \)。追及问题：速度差 \( 2a - \frac{5}{3}a = \frac{1}{3}a \)，追及路程 \( 10 \) 米。追及时间 \( 10 \div \frac{1}{3}a = \frac{30}{a} \)。狗跑的路程 \( 2a \times \frac{30}{a} = 60 \) 米。
解析：设出发时甲速为 \( 5 \)，乙速为 \( 4 \)，相遇时间为 \( t \)，则全程 \( (5+4)t = 9t \)。相遇时甲走了 \( 5t \)，乙走了 \( 4t \)。相遇后甲速变为 \( 5 \times (1-20\%)=4 \)，乙速变为 \( 4 \times (1+20\%)=4.8 \)。甲走剩下的 \( 4t \) 路程用时 \( \frac{4t}{4} = t \)。此时乙走了 \( 4.8 \times t = 4.8t \) 的路程。乙总共走了 \( 4t + 4.8t = 8.8t \)，离 A 地（全程）还差 \( 9t - 8.8t = 0.2t \)，对应 \( 10 \) 千米。所以 \( 0.2t = 10 \)， \( t=50 \)。全程 \( 9t = 450 \) 千米。
解析：设三个梯形的高分别为 \( h \)， \( 2h \)， \( 3h \)。上底分别为 \( 6a \)， \( 9a \)， \( 4a \)。下底分别为 \( 12b \)， \( 15b \)， \( 10b \)。第一个梯形面积：\( S_1 = \frac{1}{2} \times (6a+12b) \times h = 30 \) → \( (6a+12b)h = 60 \) → \( (a+2b)h = 10 \)。第二个梯形面积：\( S_2 = \frac{1}{2} \times (9a+15b) \times 2h = (9a+15b)h = 3 \times (3a+5b)h \)。第三个梯形面积：\( S_3 = \frac{1}{2} \times (4a+10b) \times 3h = \frac{3}{2} \times (4a+10b)h = 3 \times (2a+5b)h \)。观察 \( S_2+S_3 = 3[(3a+5b)+(2a+5b)]h = 3(5a+10b)h = 15(a+2b)h = 15 \times 10 = 150 \)？计算有误：\( S_2+S_3 = 3(3a+5b)h + 3(2a+5b)h? \) 不对，\( S_3 \) 的系数是 \( \frac{3}{2} \)。重算：\( S_2 = (9a+15b)h \)， \( S_3 = \frac{3}{2}(4a+10b)h = (6a+15b)h \)。\( S_2+S_3 = (9a+15b+6a+15b)h = (15a+30b)h = 15(a+2b)h = 15 \times 10 = 150 \)。但题目说第一个梯形面积 \( 30 \)，代入求出的 \( (a+2b)h=10 \) 是 \( S_1 \) 的一半？检查 \( S_1 \) 公式：\( S_1 = \frac{(上底+下底) \times 高}{2} = \frac{(6a+12b)h}{2} = 3(a+2b)h = 30 \)，所以 \( (a+2b)h = 10 \)，正确。那么 \( S_2+S_3 = (15a+30b)h = 15 \times (a+2b)h = 15 \times 10 = 150 \)。答案应为 \( 150 \)。