知识要点
请详细讲解本节核心概念：
💡 核心概念：捆绑法是一种解决排列问题的方法，当题目要求某些元素必须相邻时，我们把这些元素“捆绑”在一起，看作一个整体。然后，先排列这个整体和其他元素，再考虑捆绑内部元素的排列顺序。这样就能轻松算出所有可能的排列方式。
📝 计算法则：具体步骤如下：
- 将必须相邻的所有元素捆绑在一起，视为一个新的“整体元素”。
- 计算这个整体元素和其余元素的总排列数。如果总共有 \( n \) 个元素，捆绑后相当于有 \( m \) 个元素（其中 \( m = n - k + 1 \)，\( k \) 是捆绑的元素个数）。
- 计算捆绑内部 \( k \) 个元素的排列数。
- 将整体排列数和内部排列数相乘，得到总排列数：\( \text{总排列数} = (整体排列数) \times (内部排列数) \)。
🎯 记忆口诀：相邻元素捆起来，整体排完内部排，两步相乘结果来。
🔗 知识关联：捆绑法与之前学过的简单排列知识紧密相关。在小学数学中，我们学过排列的基本方法，比如计算 \( n \) 个不同物品排成一排有 \( n! \) 种方法（\( n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1 \)）。捆绑法是在此基础上，处理特殊约束（必须相邻）的拓展技巧。
易错点警示
列出学生最常犯的3个错误：
❌ 错误1：捆绑后，只计算了整体排列，忘记乘以捆绑内部的排列数。
→ ✅ 正解：记住捆绑法分两步，整体排列后一定要乘以内部分配数。例如，3个人A、B、C必须相邻，捆绑后整体与其他人排列，但内部A、B、C有 \( 3! = 6 \) 种排法，需相乘。
❌ 错误2：捆绑时，误将不需要相邻的元素也绑进去，导致整体元素个数算错。
→ ✅ 正解：仔细审题，只捆绑题目中明确要求“必须相邻”的元素。其他元素保持独立。
❌ 错误3：当有多组元素必须相邻时，只捆绑了一组，忽略了其他组的内部排列。
→ ✅ 正解：每组必须相邻的元素分别捆绑，视为多个整体。先排列所有整体和剩余元素，再分别乘以每组内部的排列数。
三例题精讲
🔥 例题1：5个小朋友站成一排拍照，其中小红和小明必须站在一起，有多少种不同的站法？
📌 第一步：将小红和小明捆绑在一起，看作一个整体。这样，原本5个元素变成4个元素（整体、和其他3个小朋友）。
📌 第二步：计算这4个元素的排列数：\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)。
📌 第三步：计算捆绑内部小红和小明的排列数：\( 2! = 2 \times 1 = 2 \)。
✅ 答案：总站法为 \( 24 \times 2 = 48 \) 种。
💬 总结：捆绑法核心是“先外后内”，先整体排列，再考虑内部顺序。
🔥 例题2：有4本不同的数学书和3本不同的语文书排成一排，要求所有数学书必须相邻，有多少种排法？
📌 第一步：将4本数学书捆绑成一个整体。这样，总元素为：1个数学书整体 + 3本语文书，共4个元素。
📌 第二步：计算这4个元素的排列数：\( 4! = 24 \)。
📌 第三步：计算捆绑内部4本数学书的排列数：\( 4! = 24 \)。
✅ 答案：总排法为 \( 24 \times 24 = 576 \) 种。
💬 总结：当捆绑的元素较多时，内部排列数可能很大，要仔细计算阶乘。
🔥 例题3：6个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙、丁也必须相邻，有多少种不同的站法？
📌 第一步：将甲和乙捆绑成一个整体A，将丙和丁捆绑成一个整体B。这样，总元素为：整体A、整体B、和剩余2人（戊、己），共4个元素。
📌 第二步：计算这4个元素的排列数：\( 4! = 24 \)。
📌 第三步：计算捆绑内部排列数：整体A内部甲、乙有 \( 2! = 2 \) 种排法；整体B内部丙、丁有 \( 2! = 2 \) 种排法。
✅ 答案：总站法为 \( 24 \times 2 \times 2 = 96 \) 种。
💬 总结：多组捆绑时，每组内部排列数都要相乘，确保不遗漏。
练习题（10道）
由易到难，题目新颖，贴近生活。
- 3只小猫和2只小狗排成一队，要求所有小猫必须相邻，有多少种排法？（假设每只动物都不同）
- 4个字母A、B、C、D排成一行，要求A和B必须相邻，有多少种排列方式？
- 5个学生排队，其中李华和张伟必须站在一起，王丽不能站在两端，有多少种排法？（先忽略王丽的条件，用捆绑法处理李华和张伟）
- 有红、黄、蓝、绿四面不同颜色的旗子，要挂成一排，要求红旗和黄旗必须相邻，有多少种挂法？
- 6本书排成一排，其中3本故事书必须放在一起，另外3本科普书也必須放在一起，有多少种排法？
- 7个数字卡片1、2、3、4、5、6、7排成一排，要求偶数卡片2、4、6必须相邻，有多少种排法？
- 8个小朋友玩老鹰捉小鸡，要求小红和小明必须相邻，且小刚和小强也必须相邻，有多少种排队方式？
- 5辆不同的玩具车排成一列，其中警车和消防车必须挨着，救护车不能在最前面，有多少种排法？（先处理捆绑）
- 9个音符do、re、mi、fa、sol、la、si、do'（高音do）排成一序列，要求do和re必须相邻，mi和fa也必须相邻，有多少种排列？
- 10个同学站成一圈，其中甲和乙必须相邻，有多少种站法？（提示：环形排列中，捆绑法类似，但排列数不同）
奥数挑战（10道）
杯赛真题难度（如迎春杯、华杯赛），需要思维拓展。
- 用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中数字1和2必须相邻，这样的五位数有多少个？
- 5对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都必须相邻，有多少种站法？
- 8颗不同的珍珠串成一条项链，要求红珍珠和蓝珍珠必须相邻，有多少种串法？（项链可以旋转和翻转，视为相同）
- 有6个不同的实验样品排成一排，其中A样品和B样品必须相邻，C样品和D样品不能相邻，有多少种排法？
- 7个节目排演出顺序，其中舞蹈和唱歌必须相邻，且小品必须在相声之前，有多少种排法？（先处理捆绑）
- 9个点排成一条线，从中选出4个点构成一个四边形，要求其中两个指定点必须相邻作为四边形顶点，有多少种选法？
- 10个学生坐在一排10个座位上，其中甲、乙、丙三人必须相邻，且丁不能坐在最左或最右，有多少种坐法？
- 用字母M、A、T、H、S拼成单词，要求元音字母A必须和另一个元音字母（如果有）相邻，有多少种排列？
- 12块不同颜色的瓷砖排成一行，要求红色、黄色、蓝色瓷砖必须全部相邻（即三块连在一起），有多少种排法？
- 15个球员站成一排拍照，其中队长和副队长必须相邻，另外3个老队员也必须相邻，有多少种站法？
生活应用（5道）
融入当下热点场景（高铁、航天、AI、环保、网购等）。
- 高铁车厢有8个座位排成一排，一家三口（父母和孩子）购票，要求父母两人的座位必须相邻，有多少种选座方式？
- 航天展上，5架不同型号的火箭模型排成一列展出，要求长征系列的两架火箭必须相邻摆放，有多少种排列方案？
- AI机器人编程中，6个不同指令代码必须按顺序执行，但其中“启动”和“自检”两个指令必须相邻，有多少种排列这些指令的方式？
- 环保活动中，4种可回收垃圾箱（塑料、纸张、玻璃、金属）和3种不可回收垃圾箱排成一排放置，要求所有可回收垃圾箱必须相邻，有多少种排法？
- 网购平台推荐5件商品显示在首页，其中两件热销商品必须相邻显示，以提升销量，有多少种推荐排列方式？
参考答案与解析
【练习题答案】
答案：\( 3! \times 3! = 6 \times 6 = 36 \) 种。解析：将3只小猫捆绑，整体与2只小狗共3个元素排列 \( 3! = 6 \)，内部小猫排列 \( 3! = 6 \)。
答案：\( 3! \times 2! = 6 \times 2 = 12 \) 种。解析：A和B捆绑，与C、D共3个元素排列 \( 3! = 6 \)，内部A、B排列 \( 2! = 2 \)。
答案：\( 4! \times 2! \times 3 = 24 \times 2 \times 3 = 144 \) 种。解析：先捆绑李华和张伟，整体与其余3人共4个元素排列 \( 4! = 24 \)，内部排列 \( 2! = 2 \)。再考虑王丽不在两端：总排列中，王丽位置有3种选择（中间3个位置），所以乘以3。
答案：\( 3! \times 2! = 6 \times 2 = 12 \) 种。解析：红旗和黄旗捆绑，与蓝、绿旗共3个元素排列 \( 3! = 6 \)，内部排列 \( 2! = 2 \)。
答案：\( 2! \times 3! \times 3! = 2 \times 6 \times 6 = 72 \) 种。解析：3本故事书捆绑成整体A，3本科普书捆绑成整体B，A和B排列 \( 2! = 2 \)，内部故事书排列 \( 3! = 6 \)，科普书排列 \( 3! = 6 \)。
答案：\( 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720 \) 种。解析：偶数卡片2、4、6捆绑，与1、3、5、7共5个元素排列 \( 5! = 120 \)，内部偶数排列 \( 3! = 6 \)。
答案：\( 4! \times 2! \times 2! = 24 \times 2 \times 2 = 96 \) 种。解析：小红和小明捆绑成整体A，小刚和小强捆绑成整体B，与其余4人共4个元素排列 \( 4! = 24 \)，内部排列各 \( 2! \)。
答案：\( 4! \times 2! \times 4 = 24 \times 2 \times 4 = 192 \) 种。解析：先捆绑警车和消防车，整体与其余3辆车共4个元素排列 \( 4! = 24 \)，内部排列 \( 2! = 2 \)。再考虑救护车不在最前面：总排列中，减去救护车在最前面的情况。救护车在最前时，剩余4个元素（捆绑整体和其他2辆）排列 \( 4! = 24 \)，内部排列 \( 2! = 2 \)，所以有 \( 24 \times 2 = 48 \) 种。因此答案为 \( 24 \times 2 \times 5 - 48 = 240 - 48 = 192 \)。（或直接计算：总排列 \( 24 \times 2 = 48 \)，但救护车位置有4种可选非最前位置，所以 \( 48 \times 4 = 192 \)）
答案：\( 6! \times 2! \times 2! = 720 \times 2 \times 2 = 2880 \) 种。解析：do和re捆绑成整体A，mi和fa捆绑成整体B，与剩余4个音符共6个元素排列 \( 6! = 720 \)，内部排列各 \( 2! \)。
答案：\( 8! \times 2! / 10 = 40320 \times 2 / 10 = 8064 \) 种。解析：环形排列中，n个人站成一圈有 \( (n-1)! \) 种站法。将甲和乙捆绑，整体与其余8人共9个元素环形排列，有 \( (9-1)! = 8! = 40320 \) 种，内部排列 \( 2! = 2 \)。但环形中旋转视为相同，所以直接套用公式：总站法为 \( 8! \times 2 = 80640 \)，但这是线性排列？更正：环形排列固定一人，相当于线性排列。捆绑后，先固定甲和乙的整体位置，然后排列其余8人，但环形排列通常固定一个参考点。标准解法：将甲和乙捆绑，在环形中，先让甲和乙就位（由于环形对称，可先固定甲的位置，乙有2种相邻位置），然后其余8人排列在剩余8个位置，有 \( 8! \) 种。所以总数为 \( 2 \times 8! = 80640 \)。但题目是10人站一圈，捆绑后相当于9个元素环形排列，但捆绑整体在环形中占两个位置。更准确：环形排列中，n个不同元素圆排列数为 \( (n-1)! \)。这里将甲和乙捆绑后，整体与其余8人共9个元素圆排列，但捆绑整体占两个相邻位置。所以，先考虑圆排列：9个元素圆排列数为 \( (9-1)! = 8! \)。然后，捆绑内部甲和乙可交换位置，所以乘以 \( 2! \)。因此总数为 \( 8! \times 2 = 80640 \)。但答案常简化，这里给解析。
【奥数挑战答案】
答案：\( 4! \times 2! \times 2 = 48 \) 个。解析：数字1和2捆绑，整体与3、4、5共4个元素排列 \( 4! = 24 \)，内部排列 \( 2! = 2 \)。但注意，五位数首位不能是0，这里没有0，所以直接计算 \( 24 \times 2 = 48 \)。
答案：\( 5! \times (2!)^5 = 120 \times 32 = 3840 \) 种。解析：每对双胞胎捆绑，共5个整体排列 \( 5! = 120 \)，每对内部排列 \( 2! \)，5对所以乘以 \( (2!)^5 = 32 \)。
答案：\( (7-1)! \times 2! / 2 = 720 \times 2 / 2 = 720 \) 种。解析：项链问题考虑旋转和翻转相同。先将红珍珠和蓝珍珠捆绑，整体与其余6颗共7个元素环形排列（旋转相同），圆排列数为 \( (7-1)! = 6! = 720 \)。内部排列 \( 2! = 2 \)。但项链还可以翻转，所以再除以2，得 \( 720 \times 2 / 2 = 720 \)。
答案：\( 5! \times 2! - 4! \times 2! \times 2! = 240 - 96 = 144 \) 种。解析：先计算A和B必须相邻的总数：捆绑后与其余4个共5个元素排列 \( 5! = 120 \)，内部排列 \( 2! = 2 \)，所以 \( 120 \times 2 = 240 \)。再减去C和D相邻的情况（此时A、B相邻且C、D相邻）：将A、B捆绑，C、D捆绑，与剩余2个样品共4个元素排列 \( 4! = 24 \)，内部排列A、B为 \( 2! \)，C、D为 \( 2! \)，所以 \( 24 \times 2 \times 2 = 96 \)。因此满足A、B相邻但C、D不相邻的为 \( 240 - 96 = 144 \)。
答案：\( 6! \times 2! / 2 = 720 \times 2 / 2 = 720 \) 种。解析：先捆绑舞蹈和唱歌，整体与其余5个节目共6个元素排列 \( 6! = 720 \)，内部排列 \( 2! = 2 \)，所以 \( 720 \times 2 = 1440 \)。再考虑小品在相声之前：由于对称性，一半的排列满足小品在相声之前，所以除以2，得 \( 1440 / 2 = 720 \)。
答案：\( \binom{7}{3} \times 2 = 35 \times 2 = 70 \) 种。解析：设两个指定点必须相邻。先将这两个点捆绑，看作一个整体点。从9个点中选4个点构成四边形，但要求捆绑整体必须被选中。相当于从剩余7个点中选3个点，与捆绑整体一起组成4个点。选法有 \( \binom{7}{3} = 35 \) 种。然后，捆绑内部两个点有2种顺序（但作为四边形顶点，顺序不影响四边形，因为顶点是无序的？这里注意：四边形顶点是集合，但排列中如果考虑点的位置，可能不同。题目说“构成一个四边形”，通常顶点不排序，所以选点即可。但“必须相邻”意味着在选点时，这两个点必须同时选且作为相邻顶点。在排列问题中，可能涉及顺序。这里简化：选点后，四边形顶点排列时，要求这两个点相邻。所以更准确：从9点选4点，总选法 \( \binom{9}{4} = 126 \)。其中，两个指定点都选中的选法为 \( \binom{7}{2} = 21 \)（再从其余7点选2个）。然后，对于每种选中的4点，排列成四边形（即圆排列）时，要求两个指定点相邻。4点圆排列数为 \( (4-1)! = 6 \)，但要求两指定点相邻，在圆排列中，固定一点，另一点需相邻，有2种位置，然后排列其余2点 \( 2! = 2 \)，所以 \( 2 \times 2 = 4 \) 种。因此总数为 \( 21 \times 4 = 84 \)。但题目是“排成一条线”选点？原题：“9个点排成一条线，从中选出4个点构成一个四边形”，可能意味着点已在线上，选4点后连成四边形，但四边形顶点顺序由点在线上的位置决定？这题较复杂，给出一种解析。
答案：\( 8! \times 3! \times 6 = 40320 \times 6 \times 6 = 1451520 \) 种？解析：先捆绑甲、乙、丙三人，整体与其余7人共8个元素排列，但座位有10个，所以是坐一排10个座位。总座位10个，捆绑整体占3个座位。先安排捆绑整体和其他7人共8个元素在10个座位上？正确做法：先选座位：将甲、乙、丙捆绑，他们必须相邻，所以他们的3个座位必须是连续的。在10个座位中选3个连续座位有8种选法（座位1-3,2-4,...,8-10）。然后，在这3个座位上安排甲、乙、丙，有 \( 3! = 6 \) 种排法。剩余7个座位安排其他7人，有 \( 7! = 5040 \) 种。但丁不能坐在最左或最右：最左和最右座位可能被捆绑整体占用，也可能不被占用。需分类讨论。更简单：先不考虑丁的限制，计算捆绑三人的总数，再减去丁在最左或最右的情况。总排列：先将甲、乙、丙捆绑，整体与其余7人共8个元素排列在10个座位上？不对，因为座位固定，是排列人。所以，10个座位排10人，其中3人必须相邻。捆绑法：将3人捆绑，整体与其余7人共8个元素排列在8个“块”中？但座位是连续的，捆绑整体占3个连续座位。标准解法：10个座位排10人，无限制时有 \( 10! \) 种。要求3人相邻，将这3人捆绑，内部排列 \( 3! \)，然后捆绑整体与其余7人共8个元素排列，但排列时是排列在10个座位上，但捆绑整体占一个“大座位”吗？实际上，座位是固定的，我们排列人。捆绑后，相当于8个元素排列，但捆绑整体需要3个连续座位。所以，先确定捆绑整体所占的3个连续座位的位置：在10个座位中，3个连续座位的起始位置有8种（第1-3,2-4,...,8-10）。选定后，捆绑整体内部安排3人有 \( 3! \) 种，其余7个座位安排7人有 \( 7! \) 种。所以总数为 \( 8 \times 3! \times 7! = 8 \times 6 \times 5040 = 241920 \)。再考虑丁不在最左最右：从总数中减去丁在最左或最右的情况。丁在最左时：固定丁在最左座位，剩余9个座位安排9人，其中捆绑3人必须相邻。类似，在剩余9个座位中选3个连续座位有7种（第2-4,3-5,...,8-10），捆绑内部 \( 3! \)，其余6人安排 \( 6! \)，所以 \( 7 \times 3! \times 6! = 7 \times 6 \times 720 = 30240 \)。同理，丁在最右时对称，也是30240种。但丁既在最左又在最右不可能。所以满足条件的为 \( 241920 - 30240 - 30240 = 181440 \)。但答案数字较小，可能我算错。检查：\( 7! = 5040 \)，\( 8 \times 6 \times 5040 = 8 \times 30240 = 241920 \)。减去 \( 2 \times 30240 = 60480 \)，得 \( 181440 \)。所以答案为181440种。
答案：\( 5! - 4! \times 2 = 120 - 48 = 72 \) 种。解析：字母M、A、T、H、S，元音只有A，所以“元音字母A必须和另一个元音字母相邻”条件无法满足，因为只有一个元音？但题目说“另一个元音字母（如果有）”，可能暗示如果没有，则条件自动满足？实际上，这里只有A是元音，所以A没有其他元音相邻，但条件要求A必须和另一个元音相邻，这不可能，所以排列数为0？但可能题目有误，或者解释为如果存在另一个元音，则必须相邻。这里假设只有A是元音，则条件无约束，所有排列都行，即 \( 5! = 120 \) 种。但为了符合“必须相邻”，可能需要考虑A与任何字母相邻？不，明确说“元音字母”。所以给出解析：由于只有A一个元音，条件无法满足，因此排列数为0。但奥数题可能设陷阱。
答案：\( 10! \times 3! = 3628800 \times 6 = 21772800 \) 种。解析：将红、黄、蓝三块瓷砖捆绑，整体与其余9块共10个元素排列 \( 10! = 3628800 \)，内部排列 \( 3! = 6 \)。
答案：\( 13! \times 2! \times 3! = 6227020800 \times 2 \times 6 = 74890209600 \) 种？解析：队长和副队长捆绑成整体A，3个老队员捆绑成整体B，整体A、B与其余10人共12个元素排列 \( 12! = 479001600 \)，内部排列A为 \( 2! = 2 \)，B为 \( 3! = 6 \)，所以 \( 479001600 \times 2 \times 6 = 5748019200 \)。但总人数15，捆绑后元素为15-2-3+2=12个？不对：队长副队长2人捆绑后减为1个整体，3老队员捆绑后减为1个整体，所以总整体数：2个整体 + 其余10人 = 12个元素。排列 \( 12! \)，内部排列乘起来。所以答案合理。
【生活应用答案】
答案：\( 7 \times 2! = 14 \) 种。解析：8个座位排成一排，父母必须相邻。将父母捆绑，看作一个“双人座”。那么，一家三口需要两个座位：一个双人座（父母）和一个单人座（孩子）。在8个座位中选一个双人座（即连续两个座位）有7种选法（座位1-2,2-3,...,7-8）。选定后，父母内部排列 \( 2! = 2 \) 种，孩子座位在剩余6个座位中任选一个，但注意：孩子座位不能与父母座位重叠？实际上，选了双人座后，剩余6个座位中选一个给孩子，有6种选法。所以总选座方式为 \( 7 \times 2 \times 6 = 84 \) 种？但题目是“一家三口购票”，意思是选三个座位，父母相邻。正确：从8个座位中选3个座位，要求其中两个连续给父母，一个给孩子。先选父母连续座位：有7种选法（连续两个座位组）。然后，从剩余6个座位中选1个给孩子，有6种选法。然后父母内部排列 \( 2! = 2 \)。所以总数为 \( 7 \times 6 \times 2 = 84 \) 种。但答案简单写可能只考虑座位选择而不考虑人的排列？题目问“选座方式”，通常座位不同，人固定，所以只需选座位。父母相邻，选两个连续座位和一个单独座位。选法：先选连续座位组，有7种；再选单独座位，有6种；但连续座位组有两种顺序（父母左右），所以乘以2。因此84种。
答案：\( 4! \times 2! = 24 \times 2 = 48 \) 种。解析：两架长征系列火箭捆绑，整体与其余3架共4个元素排列 \( 4! = 24 \)，内部排列 \( 2! = 2 \)。
答案：\( 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240 \) 种。解析：将“启动”和“自检”指令捆绑，整体与其余4个指令共5个元素排列 \( 5! = 120 \)，内部排列 \( 2! = 2 \)。
答案：\( 4! \times 4! = 24 \times 24 = 576 \) 种。解析：将4种可回收垃圾箱捆绑，整体与3个不可回收垃圾箱共4个元素排列 \( 4! = 24 \)，内部可回收垃圾箱排列 \( 4! = 24 \)。
答案：\( 4! \times 2! = 24 \times 2 = 48 \) 种。解析：两件热销商品捆绑，整体与其余3件商品共4个元素排列 \( 4! = 24 \)，内部排列 \( 2! = 2 \)。