鸡兔同笼问题——巧用分组法

知识要点

💡 核心概念：分组法，也叫“打包法”，是一种非常形象的解题思路。我们不把鸡和兔分开看，而是把它们按一定规则“打包”成若干个小组。让每个小组里鸡和兔的腿数之和都一样，这样，只要知道总腿数，就能马上算出一共有多少组，然后就能算出鸡和兔各有多少只了。

📝 计算法则：

1. 分析条件：明确题目给出的总头数（即动物总数）和总腿数。
2. 尝试分组：寻找一个合理的分组方式。最常见的分组是“将1只鸡和1只兔分成一组”，那么每组有 \( 1+1=2 \) 个头， \( 2+4=6 \) 条腿。
3. 计算组数：用总腿数除以每组腿数，看是否能整除。即：组数 \( = \) 总腿数 \( \div \) 每组腿数。
4. 检验与调整：如果整除，那么组数就是兔子的数量（因为每组含1只兔），鸡的数量也出来了。如果不能整除，说明分组方式不对，需要调整（例如，将2只鸡和1只兔分成一组，每组 \( 2+1=3 \) 个头， \( 2\times2+4=8 \) 条腿）。
5. 求解答案：根据组数和每组中包含的鸡、兔数量，计算最终的鸡兔只数。

🎯 记忆口诀：

头和腿，要看清；打包分组来找齐。每组头腿固定好，除一除来算仔细。

🔗 知识关联：

分组法紧密联系着你已经学过的乘除法的意义（求几个几是多少）和倍数关系。它实际上是把复杂的鸡兔关系，通过分组变成简单的“每份数、份数、总数”的问题来解决。

易错点警示

1. ❌ 错误1：分组时，只算腿数忘了算头数，导致每组动物数量不明确。
   ✅ 正解：分组必须同时明确“每组有几只动物（头）”和“每组有几条腿”。例如“1鸡1兔”是2头6腿；“2鸡1兔”是3头8腿。
2. ❌ 错误2：用总腿数除以每组腿数得到组数后，直接用组数乘以2当作总头数去计算。
   ✅ 正解：算出组数后，要回归到分组方案：鸡的只数 = 每组鸡数 × 组数；兔的只数 = 每组兔数 × 组数。务必用“每组头数 × 组数”来验证是否等于总头数。
3. ❌ 错误3：找到一种分组方式后，不验证总头数是否吻合，直接当作答案。
   ✅ 正解：任何分组法得到的鸡兔数量，都必须满足两个条件：1. 头数总和等于已知数；2. 腿数总和等于已知数。一定要将答案代回原题双重检验。

三例题精讲

🔥 例题1：笼子里有鸡和兔共9只，它们的腿共有26条。鸡和兔各有几只？

📌 第一步（尝试分组）：我们尝试把1只鸡和1只兔分成一组。这样每组有 \( 1+1=2 \) 只动物（头）， \( 2+4=6 \) 条腿。

📌 第二步（计算与发现矛盾）：如果全部按这样分组，总腿数26条能分成多少组？\( 26 \div 6 = 4 \cdots 2 \)，不能整除，余2条腿。这说明动物不能刚好按“1鸡1兔”分完。

📌 第三步（调整分组）：多出的2条腿是谁的呢？鸡有2条腿。我们可以尝试把“1鸡1兔”的组合进行调整。让一个组合里的鸡多1只，就变成了“2鸡1兔”一组。这样，每组有 \( 2+1=3 \) 只动物， \( 2\times2+4=8 \) 条腿。

📌 第四步（求解）：现在用总腿数26条除以新的每组腿数8条：\( 26 \div 8 = 3 \cdots 2 \)，还是有余数？等等，我们算一下，如果全是“2鸡1兔”的组，3组共 \( 3 \times 8 = 24 \) 条腿，比26条少2条。这少的2条腿正好可以再加1只鸡（2条腿）。所以，实际上有3个“2鸡1兔”的组，再加上单独的1只鸡。

因此，鸡的数量为：\( 3\times2 + 1 = 7 \) (只)。兔的数量为：\( 3\times1 = 3 \) (只)。

✅ 答案：鸡7只，兔3只。

💬 总结：分组法是一个“试凑-调整”的过程。从一种合理的分组开始，通过计算总腿数的余缺情况，来调整每组的构成，直到符合所有条件。

🔥 例题2：动物园里，鹤和乌龟共有12只，它们的脚共有38只。鹤和乌龟各有多少只？（鹤有2只脚，乌龟有4只脚）

📌 第一步：尝试“1鹤1龟”分组，每组 \( 2+4=6 \) 只脚。

📌 第二步：\( 38 \div 6 = 6 \cdots 2 \)，余2只脚。说明需要增加鹤的数量来消耗多出的脚。调整为“2鹤1龟”分组，每组脚数：\( 2\times2+4=8 \) 只。

📌 第三步：计算：若全是“2鹤1龟”组，6组需 \( 6\times8=48 \) 只脚，太多了。我们需要减少组数。观察发现，余2只脚，正好是1只鹤的脚数。所以，我们可以设想有 \( 6 \) 个“1鹤1龟”组（共12只脚×6？不对，我们重新理清）。

更直接的方法：假设有x个“2鹤1龟”组和y只单独的鹤。则总脚数方程为：\( 8x + 2y = 38 \)，总头数方程为：\( 3x + y = 12 \)。将第二式变形 \( y = 12 - 3x \) 代入第一式：\( 8x + 2(12-3x) = 38 \)，解得 \( 8x + 24 - 6x = 38 \)， \( 2x = 14 \)， \( x=7 \)。咦，这算出 \( 3*7=21 \) 只动物了，超过12只。说明此路不通。我们换个经典分组。

经典解法：让所有动物都抬起2只脚（或者都砍掉一半的脚？开玩笑）。所有动物都抬起2只脚，共抬起 \( 12\times2=24 \) 只脚。地上还剩 \( 38-24=14 \) 只脚。这剩下的脚都是乌龟的（因为鹤的2只脚都抬起来了），每只乌龟还剩2只脚在地上。所以乌龟有 \( 14 \div 2 = 7 \) 只。鹤有 \( 12-7=5 \) 只。

✅ 答案：鹤5只，乌龟7只。

💬 总结：分组法不是万能的，有时“抬脚法”（假设法）更直接。但我们可以用分组思想理解“抬脚法”：相当于把所有动物分成“每组1只”，然后每只动物都去掉2条腿，剩下的腿数除以2就是乌龟数。

🔥 例题3：鸡兔同笼，鸡比兔多3只，但腿数共28条。问鸡兔各几只？

📌 第一步（处理“多”的部分）：鸡比兔多3只，我们先把这3只鸡拿出来单独放着。剩下的鸡和兔就一样多了。

📌 第二步（对剩下动物分组）：剩下的鸡和兔数量相等，正好可以按“1鸡1兔”配对分组。每组有 \( 2+4=6 \) 条腿。

📌 第三步（计算）：先算那3只单独的鸡的腿数：\( 3 \times 2 = 6 \) 条。那么剩下鸡兔的腿总共有 \( 28 - 6 = 22 \) 条。这22条腿是若干组“1鸡1兔”的腿。所以组数为 \( 22 \div 6 = 3 \cdots 4 \) ，不能整除？说明有问题。哦，对了，22除以6不能整除成整数组，但我们的分组是“1鸡1兔”，头数相等，剩下动物的腿数必须是6的倍数才行。这里22不是6的倍数，说明第一步的思路需要调整。

调整思路：设兔有 \( n \) 只，则鸡有 \( n+3 \) 只。列方程：\( 2(n+3) + 4n = 28 \)。解得 \( 2n+6+4n=28 \)， \( 6n=22 \)， \( n=11/3 \)，不是整数，说明题目数据可能出错了？我们检查一个合理的数据：比如，鸡比兔多3只，腿共30条。则方程：\( 2(n+3)+4n=30 \)， \( 6n+6=30 \)， \( n=4 \)。则兔4只，鸡7只。验证：腿 \( 4\times4+7\times2=16+14=30 \)，正确。

那么用分组法解这个修改后的问题(腿30条)：拿出多的3只鸡，腿为 \( 3\times2=6 \) 条。剩下动物腿共 \( 30-6=24 \) 条，且鸡兔数量相等。按“1鸡1兔”分组，每组6条腿，正好有 \( 24 \div 6 = 4 \) 组。所以兔有4只，鸡有 \( 4+3=7 \) 只。

✅ 答案（针对修改后题目）：鸡7只，兔4只。

💬 总结：当题目中出现“谁比谁多多少”时，分组法的关键第一步是把“多出来的部分”单独拿出来考虑，让剩下的部分能够成对（等量）分组。

练习题（10道）

1. 鸡兔同笼，共8个头，22条腿。鸡兔各几只？
2. 自行车和三轮车共6辆，车轮共14个。自行车和三轮车各几辆？（自行车2轮，三轮车3轮）
3. 小明用5元纸币和1元硬币共8张（枚），总计20元。5元纸币有几张？1元硬币有几枚？
4. 笼中鸭子和狗共10只，脚共28只。鸭子有几只？（鸭子2脚，狗4脚）
5. 一场比赛，2分题和3分题共10道，小明总共得了23分。他答对了几道2分题？
6. 大人和小孩共10人去吃自助餐，大人每位30元，小孩每位15元，共花费225元。大人和小孩各几人？
7. 有大小桶共7个，每个大桶装水5升，每个小桶装水2升，所有桶都装满水共装了26升。大桶有几个？
8. 鸡兔同笼，兔的数量是鸡的2倍，腿共60条。鸡兔各几只？
9. 停车场有摩托车（2轮）和小汽车（4轮）共12辆，车轮总数比车总数多28个。摩托车有几辆？
10. 鸡兔同笼，鸡比兔多4只，腿数相同。鸡兔各几只？

奥数挑战（10道）

1. 鸡、兔、鸭同笼，共10个头，28条腿。其中鸭的数量是鸡的2倍。三种动物各几只？（鸭2条腿）
2. 蜘蛛（8条腿）、蜻蜓（6条腿2对翅膀）、蝉（6条腿1对翅膀）共18只，腿共118条，翅膀共20对。蜻蜓有几只？
3. 百僧分馍：一百个和尚吃一百个馍，大和尚一人吃三个，小和尚三人吃一个。大小和尚各几人？
4. 鸡兔同笼，鸡和兔的脚数互换后，总脚数减少10只。问原来鸡兔各几只？
5. 小明参加数学竞赛，共20题。做对一题得5分，做错或不做倒扣3分。小明得了60分。他做对了几题？
6. 有鸡兔若干，若每只鸡2条腿站着，每只兔用后腿站立，则触地的腿共有50条；若全部动物都用4条腿站立，则触地腿比头数多80。鸡兔各几只？
7. 苹果每个0.8元，梨每个0.5元，小明买了两种水果共10个，付款时误将单价看反（苹果当梨价，梨当苹果价），结果付款少了0.4元。他实际买了几个苹果？
8. 鸡兔同笼，鸡的头数比兔的头数多8个，但兔的脚数比鸡的脚数多8只。鸡兔各几只？
9. 一群鸡和兔，鸡的脚数比兔的脚数少16只，鸡的只数比兔的只数少4只。鸡兔各几只？
10. 有面值2元、5元人民币共27张，合计99元。2元人民币张数是5元人民币张数的2倍。两种人民币各多少张？

生活应用（5道）

1. 【快递分拣】某快递驿站，大件包裹（每个占4个格口）和小件包裹（每个占1个格口）共放满了30个格口，包裹总数是18个。大件包裹有几个？
2. 【航天模型】学校航模小组制作“火箭模型”（使用4节电池）和“月球车模型”（使用2节电池）共10个，正好用完一盒32节的电池。两种模型各做了几个？
3. 【碳中和植树】植树节，一班同学参加植树。男生平均每人栽3棵树，女生平均每人栽2棵树，全班40人共栽了95棵树。这个班男生比女生多几人？
4. 【智能停车场】一个智能停车场，停着轿车（4轮）和摩托车（2轮）。停车场管理系统显示车辆总数为25辆，但其中一个轮胎传感器坏了，只监测到78个轮胎信号。轿车可能有多少辆？（考虑传感器坏掉一个，导致总轮胎数可能少计1个）
5. 【直播带货】某主播带货销售A、B两种商品。A商品每单利润20元，B商品每单利润15元。一天下来，两种商品共成交35单，总利润600元。这天卖出的A商品单数比B商品多多少单？