六年级数学鸽巢问题（抽屉原理）10类必考难题解析与练习题下载
适用年级
六年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
知识要点
💡 核心概念：
鸽巢问题，也叫抽屉原理，听起来很深奥，但其实它讲的道理很简单：东西多，地方少，怎么放都至少有一个地方会多出东西来。
想象一下，你有4只鸽子，但只有3个鸽巢。那么，无论你怎么安排这些鸽子飞进鸽巢，都至少有一个鸽巢里会飞进2只或2只以上的鸽子。这个“至少”和“总有”就是原理的精髓。
📝 计算法则：
- 确定“物体”和“抽屉”：把要分配的东西（如鸽子、苹果、学生）叫作“物体”，把容纳东西的地方（如鸽巢、盘子、月份）叫作“抽屉”。
- 平均分：用物体总数除以抽屉个数。
- 分析余数：
- 如果有余数，那么“至少数” = 商 + 1。
- 如果没有余数，那么“至少数” = 商。
用公式表示就是：至少数 = 商 + 1（有余数时）。
🎯 记忆口诀：
物体多，抽屉少，平均分后看余数。
若有剩余加一个，至少保证有这些。
🔗 知识关联：
它与我们之前学过的 有余数的除法 和 周期规律 有紧密联系。解决问题的核心步骤就是“平均分”，然后根据余数情况得出结论。
易错点警示
❌ 错误1：计算“至少数”时，忘记考虑余数，直接用商当答案。
✅ 正解：必须判断余数。只要有余数（哪怕只是1），就说明有一个抽屉要多放1个，所以“至少数”要加1。例如：10个苹果放进3个盘子，\( 10 \div 3 = 3 \cdots 1 \)，至少有一个盘子放 \( 3 + 1 = 4 \) 个，而不是3个。
❌ 错误2：搞不清哪个是“物体数”，哪个是“抽屉数”。
✅ 正解：牢记“东西”是物体，“地方”是抽屉。问“至少有多少个东西在同一个地方”，那么“东西”的总数就是物体数，“地方”的个数就是抽屉数。
❌ 错误3：解决复杂问题时，不知道如何巧妙地构造“抽屉”。
✅ 正解：抽屉不一定是真实容器。关键是把物体按一定规则或特征进行“分组”，每一组就是一个“抽屉”。例如，把自然数按奇偶性分成“奇数抽屉”和“偶数抽屉”。
例题精讲
🔥 例题1：把5支铅笔放进2个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进几支铅笔？
📌 第一步：确定物体数和抽屉数。铅笔是“物体”，有5支；笔筒是“抽屉”，有2个。
📌 第二步：平均分。\( 5 \div 2 = 2 \cdots 1 \)。
📌 第三步：分析结果。商是2，余数是1。说明先每个笔筒平均放2支，剩下的1支无论放进哪个笔筒，都会使那个笔筒变成 \( 2 + 1 = 3 \) 支。
✅ 答案：总有一个笔筒里至少放进3支铅笔。
💬 总结：这是最基础的“至少数 = 商 + 1”的应用。
🔥 例题2：六年级一班有45名学生，他们中至少有几人在同一个月过生日？
📌 第一步：确定物体和抽屉。学生是“物体”，有45个；一年12个月是“抽屉”，有12个。
📌 第二步：平均分。\( 45 \div 12 = 3 \cdots 9 \)。
📌 第三步：分析结果。商是3，余数是9。说明先平均每月分配3个生日，剩下9个生日再分配到不同的月份，那么至少有 \( 3 + 1 = 4 \) 人在同一个月过生日。
✅ 答案：至少有4人在同一个月过生日。
💬 总结：抽屉是月份，需要生活常识。余数较大，但结论仍然是“商+1”。
🔥 例题3：一副扑克牌（去掉大小王）共52张，从中至少摸出多少张牌，才能保证至少有2张牌的花色相同？
📌 第一步：构造抽屉。扑克牌有4种花色：红桃、黑桃、梅花、方块。每种花色就是一个“抽屉”，共4个。
📌 第二步：考虑最不利情况（保证题的关键）。要保证有2张同花色，最倒霉的情况是先摸出的每张牌花色都不同。
📌 第三步：计算至少数。先摸出4张牌，恰好是4种不同花色各一张。这时再摸第5张牌，无论是什么花色，都会和前面的某一张花色相同。所以 \( 4 + 1 = 5 \) 张。
✅ 答案：至少摸出5张牌。
💬 总结：这是“抽屉数 + 1”的经典模型。关键是构造出抽屉（花色），并想清楚“最坏情况”。
练习题（10道）
- 把6个苹果放进5个盘子，总有一个盘子里至少放几个苹果？
- 把13只小鸟关进5个笼子，总有一个笼子里至少关几只小鸟？
- 六年级二班有38人，至少有多少人的属相是相同的？（属相有12种）
- 口袋里有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球各4个，至少取出几个球，才能保证取出的球中有2个颜色相同？
- 从1至10这10个自然数中，至少选出几个数，才能保证其中有两个数的和是11？
- 学校图书室有故事书、科技书、漫画书三类图书，每个同学可以借2本不同类型的书。至少需要多少名同学来借书，才能保证有两人借的书类型完全相同？
- 在长100米的小路一旁植树，至少要植多少棵树，才能保证至少有2棵树之间的距离不超过10米？（两端都植）
- 一副扑克牌（去掉大小王），至少摸出多少张，才能保证有3张牌是同一花色的？
- 一个布袋里有黑、白、灰三种颜色的袜子各10只。如果闭上眼睛拿袜子，至少拿多少只才能保证配成2双同色的袜子？（一双袜子指2只颜色相同的袜子）
- 任意给出4个不同的自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。为什么？请说明理由。
奥数挑战（10道）
- 在一条100米长的直跑道边，从头到尾每隔101米插一面彩旗，至少需要多少面彩旗才能保证至少有2面彩旗之间的距离小于10米？
- 从1， 2， 3， ...， 49， 50这50个数中，至少取出多少个数，才能保证取出的数中一定有一个数是另一个数的倍数？
- 一个盒子中有红、蓝、白三种颜色的球各若干个。至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有5个颜色相同？
- 有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，黑暗中至少取多少只袜子，才能保证能配成3双袜子？（一双即2只同色）
- 在边长为1的正方形内任意放入9个点，求证：其中至少存在3个点，以它们为顶点的三角形面积不超过 \( \frac{1}{8} \)。
- 从1到100这100个自然数中，至少选出几个数，才能保证其中必有两个数的差等于5？
- 某次数学竞赛有100名学生参加，试卷共有5道题。阅卷后发现，对于任意2名学生，至少有一道题两人都做错了。请问：至少有多少名学生的答题情况是完全相同的？
- 在 \( 3 \times 3 \) 的方格表中，任意填入 \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \) 各一次。求证：无论怎么填，总有两行或两列的数字之和相同。
- 口袋中有10个黑球，8个白球，7个红球。闭上眼睛，至少从中取出多少个球，才能保证取出的球中白球不少于2个，红球不少于3个？
- 求证：在任意6个人中，要么有3个人彼此都认识，要么有3个人彼此都不认识。
生活应用（5道）
- （高铁）一列“复兴号”高铁有16节车厢，每节车厢定员100人。春运期间，某趟车共售出1601张车票。请问：至少有一节车厢的乘客人数不少于多少人？
- （航天）中国空间站的一个实验舱计划在30天内完成100项太空实验。为了确保实验进度，证明：不管怎么安排，都一定有连续的几天（包括1天）内，他们至少完成了11项实验。
- （AI与数据）一个AI人脸识别系统将人脸特征归类到1024种“特征抽屉”中。如果一个城市有1300万人使用了这个系统，请问：至少有多少人的面部特征被归入了同一个“特征抽屉”？
- （环保）一个城市一年（365天）的空气质量监测数据中，空气质量指数（AQI）为“优良”的天数共有290天。请问：在这一年中，一定存在连续的若干天（至少1天），其中恰好有8天的空气质量是“优良”的吗？为什么？
- （网购）“双十一”期间，某电商平台有5种满减优惠券。已知当天有超过1000万名用户每人领取了2张不同的优惠券。试说明：至少有多少名用户领取的优惠券组合是完全相同的？