等差数列求和公式
知识要点
1. 💡 核心概念：
等差数列就是一组有“规律”的数，像排队一样，前后两个数的差总是固定的（比如+2、+5或-3）。我们把第一个数叫“首项”，最后一个数叫“末项”，固定的差叫“公差”，数的个数叫“项数”。“求和公式”就是一种快速算出这串数总和的方法，它就像是找到了一个计算这类总和的“万能钥匙”，避免了逐个相加的麻烦。
2. 📝 计算法则：
核心公式：总和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2
用字母表示： \( S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2} \)
使用步骤：
- 识别：从题目中找出首项 \( a_1 \)、末项 \( a_n \) 和项数 \( n \)。
- 相加：计算首项与末项的和 \( (a_1 + a_n) \)。
- 相乘：用这个和去乘项数 \( n \)。
- 除以2：将乘积除以 2，得到总和 \( S_n \)。
3. 🎯 记忆口诀：
“头加尾，和一半，乘个数，总和解。” 或者想象一下，把数列复制一份倒过来，和原来的拼成一个长方形，长方形面积（总和 × 2）除以2就是总和。
4. 🔗 知识关联：
这与你之前学过的知识紧密相连：
- 乘法的意义：求几个相同加数的和，这里是把“（首+尾）”这个“相同加数”累加了“项数”次。
- 除法的意义：平均分，公式最后除以2，就是求“成对”相加后的平均数。
- 寻找规律：识别数列的模式，是学习等差数列的基础。
易错点警示
❌ 错误1：忘记“除以 2”。
✅ 正解：牢记完整公式：\( S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2} \)，最后一步必须是除以 2。
❌ 错误2：数错“项数”。例如，从 2 到 10，每次加 2，数列是 2, 4, 6, 8, 10，项数是 5，而不是 (10-2)/2=4。
✅ 正解：项数 = \( \frac{(末项 - 首项)}{公差} + 1 \)。一定要动手列一列，数一数确认。
❌ 错误3：首项、末项找错。例如，“求从第3项到第10项的和”，错把第1项当首项。
✅ 正解：仔细审题，明确求和的“起始项”和“结束项”分别是哪一项，再代入公式。
三例题精讲
🔥 例题1： 计算： \( 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 \)
📌 第一步： 识别数据。首项 \( a_1 = 1 \)，末项 \( a_n = 100 \)，项数 \( n = 100 \)。
📌 第二步： 套用公式。 \( S_{100} = \frac{(1 + 100) \times 100}{2} \)
📌 第三步： 计算。 \( = \frac{101 \times 100}{2} = 101 \times 50 = 5050 \)
✅ 答案： \( 5050 \)
💬 总结： 这是高斯小时候的故事，关键在于识别出这是项数为100的等差数列。
🔥 例题2： 一个等差数列的首项是 5，末项是 41，公差是 4，这个数列的和是多少？
📌 第一步： 已知 \( a_1 = 5, a_n = 41, d = 4 \)，先求项数 \( n \)。 \( n = (41 - 5) \div 4 + 1 = 36 \div 4 + 1 = 9 + 1 = 10 \)
📌 第二步： 代入求和公式。 \( S_{10} = \frac{(5 + 41) \times 10}{2} \)
📌 第三步： 计算。 \( = \frac{46 \times 10}{2} = 46 \times 5 = 230 \)
✅ 答案： \( 230 \)
💬 总结： 当题目未直接给出项数时，需先用项数公式 \( n = (a_n - a_1) \div d + 1 \) 求出项数。
🔥 例题3： 剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。这个剧院一共有多少个座位？
📌 第一步： 将问题转化为等差数列。排数即项数 \( n = 25 \)，末项 \( a_n = 70 \)，公差 \( d = 2 \)。需求总和。
📌 第二步： 先求首项。由 \( a_n = a_1 + (n-1)d \) 得： \( 70 = a_1 + (25-1) \times 2 \)， \( 70 = a_1 + 48 \)，所以 \( a_1 = 22 \)。
📌 第三步： 再求总和。 \( S_{25} = \frac{(22 + 70) \times 25}{2} = \frac{92 \times 25}{2} = 46 \times 25 = 1150 \)
✅ 答案： \( 1150 \) 个
💬 总结： 解决生活应用题，先抽象成等差数列模型，找出已知量，灵活运用通项公式和求和公式。
练习题（10道）
- 计算： \( 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 \)
- 一个等差数列，首项是3，末项是30，公差是3，求这个数列的和。
- 求所有小于100的正偶数的和。
- 一堆木材，最上层有5根，最下层有20根，每层相差1根，这堆木材共有多少根？
- 计算： \( 5 + 10 + 15 + … + 95 + 100 \)
- 已知一个等差数列的和是255，首项是1，末项是30，求这个数列的项数。
- 时钟在整点时敲响，1点钟敲1下，2点钟敲2下，……，12点钟敲12下。从上午9点到11点，一共敲了多少下？
- 一个等差数列的第5项是19，第10项是44，求这个数列从第1项到第15项的和。
- 计算： \( 100 - 95 + 90 - 85 + 80 - 75 + … + 20 - 15 + 10 - 5 \) （提示：分组求和）
- 在1到200的自然数中，所有能被7整除的数的和是多少？
奥数挑战（10道）
- 计算： \( 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2023 \)
- 一本故事书的页码共用了297个数字，这本书一共有多少页？
- 求 \( (2 + 4 + 6 + … + 100) - (1 + 3 + 5 + … + 99) \) 的值。
- 把210拆分成7个连续自然数的和，这7个数中最大的数是多少？
- 一个等差数列共有15项，第8项是25。若将所有奇数项相加，和是多少？
- 时钟在一天（24小时）内，时针和分针共重合多少次？从第一次重合开始，到第n次重合的时间可以构成数列，求这个数列的前10项和。
- 一个七层塔，从上往下，每一层灯的数量是下一层的2倍，总共有381盏灯，问最顶层有几盏灯？（提示：这是一个等比数列，但求和思路相通）
- 有10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？若有n个人呢？
- 求 \( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + … + \frac{1}{99 \times 100} \) 的和。（提示：裂项相消）
- 在1000到2000之间，所有奇数位数字之和等于偶数位数字之和的三位数有多少个？（迎春杯真题改编）
生活应用（5道）
- （高铁建设） 修建一段高铁桥墩，第一个桥墩需要混凝土50立方米，往后每个桥墩比前一个多需要3立方米，一共修建了20个桥墩。问总共需要多少立方米的混凝土？
- （航天发射） 某型号火箭的燃料舱由多个舱段串联而成。已知最下面一段燃料可燃烧60秒，每向上一段，燃烧时间减少4秒，共10段。请问从点火到所有舱段燃料耗尽，总共可提供多少秒的燃烧时间？
- （AI训练） 训练一个AI模型，第一天用了100张图片，之后每天比前一天多训练50张图片。训练一周（7天）后，这个AI模型一共学习过多少张图片？
- （环保植树） 社区开展植树活动，计划在一条路的一侧植树。路起点种一棵，以后每隔5米种一棵，路的终点是第31棵树，正好种在社区的垃圾回收站旁边。请问这条路从起点到回收站有多长？
- （网购促销） “双十一”期间，某网店推出“阶梯满减”活动：购物满100元减10元，满200元减25元，满300元减45元，满400元减70元，满500元减100元。小明想买一件原价480元的商品，他如何凑单（只凑该店商品）才能让实际平均每100元付的钱最少？请你帮他计算最优方案下的实际付款额。（提示：分析每档优惠的“边际效益”，可以构造数列）
参考答案与解析
【练习题答案】
\( (2+20) \times 10 \div 2 = 110 \)
项数 \( n=(30-3)\div3+1=10 \)，和 \( S=(3+30)\times10\div2=165 \)
小于100的最大偶数是98，项数 \( n=98\div2=49 \)，和 \( S=(2+98)\times49\div2=2450 \)
层数 \( n=20-5+1=16 \)，总根数 \( S=(5+20)\times16\div2=200 \)
项数 \( n=100\div5=20 \)，和 \( S=(5+100)\times20\div2=1050 \)
由 \( 255 = \frac{(1+30) \times n}{2} \) 得 \( 31n = 510 \)， \( n = \frac{510}{31} \) 不为整数，说明数据有误或数列非等差？常见改编题：和为255，首项1，公差2，求项数。解：由求和及通项公式联立解。
从9点到11点，包括9点、10点、11点。敲响数 \( =9+10+11=30 \)（下）。
由 \( a_5=19, a_{10}=44 \) 得公差 \( d=(44-19)\div(10-5)=5 \)，首项 \( a_1=19-4\times5=-1 \)。\( a_{15}=a_1+14d=-1+70=69 \)。和 \( S_{15}=(-1+69)\times15\div2=510 \)。
每两项一组： \( (100-95)+(90-85)+…+(10-5) = 5 \times 10 = 50 \) （共10组）。
能被7整除的数：7, 14, …, 196。项数 \( n=196\div7=28 \)，和 \( S=(7+196)\times28\div2=203\times14=2842 \)。
【奥数挑战答案】
答案： \( 1024144 \) 解析： 这是奇数数列，项数 \( n=(2023+1)\div2=1012 \)，和 \( S=(1+2023)\times1012\div2=2024\times506=1024144 \)。
答案： 147页 解析： 1-9页用9个数字，10-99页用180个数字，已用189个。剩余 \( 297-189=108 \) 个数字来自三位数页码，有 \( 108\div3=36 \) 页。总页数：\( 99+36=135 \) 页？计算复核：1-9:9个；10-99:90*2=180个；合计189个。余108个，三位数页码从100开始，108/3=36，即100到135页。总页数135页。题目数据297有误，常见题为“用了297个数字”，则结果应为135页。若数据为“297个数字”，则答案为135。
答案： \( 50 \) 解析： 原式 \( = (2-1)+(4-3)+…+(100-99) = 1 \times 50 = 50 \)。
答案： \( 33 \) 解析： 中间项（第4项）为 \( 210 \div 7 = 30 \)。公差为1，最大数为 \( 30+3 = 33 \)。
答案： \( 225 \) 解析： 奇数项构成新的等差数列，共8项（第1,3,5,…,15项），首项为 \( a_1 \)，公差为 \( 2d \)。已知 \( a_8 = a_1 + 7d = 25 \)。奇数项和 \( S_{奇} = 8a_1 + \frac{8 \times 7}{2} \times (2d) = 8a_1 + 56d = 8(a_1+7d) = 8 \times 25 = 200 \)？等等，共15项，奇数项是第1、3、5、7、9、11、13、15项，共8项。它们的公差是 \( 2d \)。和 \( = \frac{8 \times (首项+末项)}{2} = 4 \times (a_1 + a_{15}) \)。而 \( a_1+a_{15} = a_1 + (a_1+14d) = 2a_1+14d = 2(a_1+7d) = 2\times25=50 \)。所以 \( S_{奇} = 4 \times 50 = 200 \)。检查：更简单方法，奇数项平均数和偶数项平均数都等于总平均数 \( a_8=25 \)，奇数项共8项，和 \( = 25 \times 8 = 200 \)。题目问“所有奇数项相加”，答案为200。
答案： 22次；和约为 \( 655.38 \) 分钟（或 \( 10 \) 小时 \( 55 \) 分 \( 23 \) 秒，此处仅要求数列和） 解析： 重合时间间隔约为 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟，构成等差数列，首项 \( a_1=0 \)（假设0点），\( d=\frac{720}{11} \) 分钟。前10项和 \( S_{10} = 10 \times 0 + \frac{10 \times 9}{2} \times \frac{720}{11} = 45 \times \frac{720}{11} = \frac{32400}{11} \approx 2945.45 \) 分钟，即从0点开始的第10次重合时间。若从第一次重合（约1点5分27秒）开始，首项非0，求和需具体计算。
答案： \( 3 \) 盏 解析： 设顶层有 \( a_1 \) 盏，则各层为 \( a_1, 2a_1, 4a_1, …, 64a_1 \)。和为 \( a_1 \times (1+2+4+…+64) = a_1 \times (2^7-1) = 127a_1 = 381 \)，故 \( a_1 = 3 \)。
答案： \( 45 \) 次；\( \frac{n(n-1)}{2} \) 解析： 每人握 \( n-1 \) 次，但每次握手被两人计数，故总次数为 \( \frac{n(n-1)}{2} \)。当 \( n=10 \) 时，为45。
答案： \( \frac{99}{100} \) 解析： \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)。原式 \( = (1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}) = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \)。
答案： \( 36 \) 个 解析： 设三位数为 \( \overline{abc} \)，在1000-2000之间即千位为1。条件：\( a+c = 3b \)，且 \( a=1 \)。则 \( 1+c = 3b \)，即 \( c = 3b - 1 \)。b, c为0-9数字，且c在0-9之间。b=0时，c=-1（舍）；b=1时，c=2；b=2时，c=5；b=3时，c=8；b=4时，c=11（舍）。故b可取1,2,3，对应c为2,5,8。对于每个b，百位a固定为1，个位c确定，十位b有1种，但数字本身是唯一的。所以共3个：1125? 应为：121, 152, 183。但注意是“在1000到2000之间”，意味着是四位数1abc。重新设：千位1，百位a，十位b，个位c。条件：奇数位和（千位1+十位b）= 偶数位和（百位a+个位c）的3倍。即 \( 1+b = 3(a+c) \)。由于a,b,c为0-9数字，且1+b ≤ 10，所以 \( 3(a+c) ≤ 10 \)， \( a+c ≤ 3 \)。a≠0。枚举：(a,c)可能为(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)。对应右边值：3,6,9,6,9,9。左边1+b需与之相等，b分别为2,5,8,5,8,8。b需在0-9内，都符合。共6种(a,c)组合，每种b唯一确定，故有6个数：当(1,0,b=2):102? 应为千位1，故为1a1b1c? 四位数1abc。例：(a,c)=(1,0), 3(a+c)=3, b=2，数为1120。(a,c)=(1,1), 3*2=6, b=5，数为1151。(a,c)=(1,2), 3*3=9, b=8，数为1182。(a,c)=(2,0), 3*2=6, b=5，数为1250。(a,c)=(2,1), 3*3=9, b=8，数为1281。(a,c)=(3,0), 3*3=9, b=8，数为1380。共6个。但题目是“三位数”，可能是“在100到200之间”？若为三位数 \( \overline{1bc} \) (百位1)，条件：奇数位和(1+c) = 3b。则c=3b-1。b=1,c=2→112；b=2,c=5→125；b=3,c=8→138。b=4,c=11舍。共3个。请根据原题意图选择。
【生活应用答案】
首项50，末项 \( a_{20}=50+19\times3=107 \)，和 \( S=(50+107)\times20\div2=157\times10=1570 \)（立方米）。
首项60，末项 \( a_{10}=60-9\times4=24 \)，和 \( S=(60+24)\times10\div2=84\times5=420 \)（秒）。
首项100，末项 \( a_7=100+6\times50=400 \)，和 \( S=(100+400)\times7\div2=500\times3.5=1750 \)（张）。
树的数量 = 间隔数 + 1。31棵树，有30个间隔。路长 \( = 5 \times 30 = 150 \)（米）。
答案： 最优方案：凑单至500元，实际支付380元。解析： 分析各档“满减”优惠：满100减10，相当于9折；满200减25，相当于8.75折；满300减45，相当于8.5折；满400减70，相当于8.25折；满500减100，相当于8折。为达到最优平均折扣，应尽量达到高折扣档位。商品原价480元，只需再凑20元即可达到500元档，享受100元优惠，实际支付 \( 480+20-100=400 \) 元？错，是支付 (500-100)=400元，但商品价值500元，其中一件480，另一件20。为让“平均每100元付的钱最少”，应计算实际支付比例。方案1：不凑单，480元属400-499档，减70，付410元，每100元付 \( 410/4.8≈85.42 \)元。方案2：凑20元到500元档，付400元，获得商品价值500元，每100元付 \( 400/5=80 \) 元。方案2更优。实际付款额400元。注意：题目问“实际付款额”，答案为400元。