分解质因数：短除法

知识要点

💡 核心概念：

我们之前学过，一个数如果除了1和它本身还有别的因数，它就是合数。那么，能不能把这个合数“拆开”，写成几个质数相乘的形式呢？这就是分解质因数。

例如，合数 \( 12 \) 可以“拆”成 \( 2 \times 2 \times 3 \)，这里的 \( 2 \) 和 \( 3 \) 都是质数。\( 2 \times 2 \times 3 \) 就是 \( 12 \) 的质因数分解式。

短除法就是帮助我们进行这种“拆解”的竖式工具，它像一把锋利的小刀，一层一层地把合数分解成质数。

📝 计算法则：

用能整除这个合数的最小质数（通常从 \( 2, 3, 5, 7... \) 开始试）去除它。
得到的商写在被除数的下面。
再用能整除这个商的最小质数去除商。
重复这个过程，直到最后的商是一个质数为止。
把所有的除数和最后的商写成连乘的形式，这些数都是质数。

🎯 记忆口诀：

分解质因数，就用短除法。

从小质数除起，一层一层往下。

除到商是质数，乘起来就完啦！

🔗 知识关联：

因数与倍数： 分解出的每个质数，都是原数的因数。
质数与合数： 区分质数和合数是进行分解的前提。
乘法： 分解的逆过程就是质数相乘得到原数。

易错点警示

❌ 错误1：短除法除到最后，商还是合数就停止了。

→ ✅ 正解：必须除到商是质数才能停止。

❌ 错误2：写成 \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)，漏掉了最后的商，或者漏写了乘号。

→ ✅ 正解：除数和最后的商都要写上，并用乘号连接：\( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)。

❌ 错误3：分解结果中质因数顺序混乱，或没有写成几个相同质数相乘的形式（即指数形式）。

→ ✅ 正解：通常按质因数从小到大的顺序排列，相同的质数用乘方表示，如 \( 12 = 2^2 \times 3 \)。（小学阶段乘方表示不作强制要求，但顺序建议保持一致）。

三例题精讲

🔥 例题1：用短除法将 \( 18 \) 分解质因数。

📌 第一步：从最小的质数 \( 2 \) 开始试，\( 18 \) 不能被 \( 2 \) 整除。试下一个质数 \( 3 \)，\( 18 \div 3 = 6 \)。写下短除式左边除 \( 3 \)，上边商 \( 6 \)。

📌 第二步：商 \( 6 \) 是合数，继续分解。用能整除 \( 6 \) 的最小质数 \( 2 \) 去除，\( 6 \div 2 = 3 \)。短除式左边再除 \( 2 \)，上边商 \( 3 \)。

📌 第三步：商 \( 3 \) 是质数，分解停止。把所有的除数和最后的商连乘起来。

✅ 答案： \( 18 = 2 \times 3 \times 3 \) 或 \( 18 = 2 \times 3^2 \)。

💬 总结：从最小的质数开始试除，一定除到商是质数为止。

🔥 例题2：用短除法将 \( 100 \) 分解质因数。

📌 第一步： \( 100 \) 能被最小质数 \( 2 \) 整除，\( 100 \div 2 = 50 \)。

📌 第二步： \( 50 \) 也能被 \( 2 \) 整除，\( 50 \div 2 = 25 \)。

📌 第三步： \( 25 \) 不能被 \( 2 \) 整除，用下一个质数 \( 3 \) 试，不行，再用 \( 5 \)，\( 25 \div 5 = 5 \)。

📌 第四步：商 \( 5 \) 是质数，停止。写出连乘式。

✅ 答案： \( 100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \) 或 \( 100 = 2^2 \times 5^2 \)。

💬 总结：相同的质因数可能会连续出现，短除法能清晰地将它们一层层分离出来。

🔥 例题3：有三个连续的自然数，它们的乘积是 \( 210 \)。这三个数分别是多少？

📌 第一步：将 \( 210 \) 分解质因数。\( 210 \div 2 = 105 \)；\( 105 \div 3 = 35 \)；\( 35 \div 5 = 7 \)。

📌 第二步：得到 \( 210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \)。

📌 第三步：观察这些质因数，尝试组合成三个连续的自然数。发现 \( 2 \times 3 = 6 \)， \( 5 \)， \( 7 \)。\( 5, 6, 7 \) 正好是三个连续的自然数。

✅ 答案：这三个数分别是 \( 5, 6, 7 \)。

💬 总结：分解质因数是解决数字谜、数论问题的重要工具，能将一个复杂的数还原成最基本的“零件”，便于我们观察和组合。

练习题（10道）

用短除法将 \( 24 \) 分解质因数。
用短除法将 \( 35 \) 分解质因数。
用短除法将 \( 56 \) 分解质因数。
用短除法将 \( 81 \) 分解质因数。
用短除法将 \( 120 \) 分解质因数。
一个两位数，它既是 \( 2 \) 和 \( 3 \) 的倍数，又能被 \( 5 \) 整除。把这个数分解质因数。
把 \( 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \) 的积分解质因数。
已知 \( A = 2^2 \times 3 \times 5 \)， \( B = 2 \times 3^2 \)，请问 \( A \times B \) 的结果分解质因数后是什么？
两个质数的和是 \( 18 \)，积是 \( 65 \)，这两个质数分别是多少？
一个长方形的面积是 \( 66 \) 平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，且都是质数。这个长方形的周长是多少厘米？

奥数挑战（10道）

\( 360 \) 这个数有多少个不同的质因数？它一共有多少个因数？（提示：因数个数公式）
四个连续奇数的乘积是 \( 3465 \)，这四个奇数分别是多少？
\( 1 \times 2 \times 3 \times ... \times 20 \) 的积的末尾有多少个连续的 \( 0 \) ？
三个互不相同的质数，它们的积是这三个质数和的 \( 5 \) 倍，求这三个质数。
\( 111111 \) 这个数分解质因数后，结果是什么？（提示：尝试用“缺8数”或除法规律）
已知 \( a, b, c \) 都是质数，且 \( a+b+c=30 \)，求 \( a, b, c \) 可能的值。（考虑顺序不同算同一种）
\( 2520 \) 是 \( 1 \) 到 \( 10 \) 这十个数的最小公倍数。将 \( 2520 \) 分解质因数，并说明它为什么是 \( 1 \) 到 \( 10 \) 的公倍数。
一个数 \( N \) 分解质因数后是 \( N = 2^a \times 3^b \times 5^c \)，已知它正好有 \( 24 \) 个因数，且 \( a > b > c \)。求 \( a, b, c \) 的值。
三个自然数的乘积是 \( 720 \)，且它们的和是 \( 18 \)，求这三个数。
\( 100! \)（100的阶乘）的质因数分解式中，质因数 \( 2 \) 的指数是多少？（即有多少个 \( 2 \) 相乘）

生活应用（5道）

（AI与密码） 一种简单的RSA密码原理会用到两个大质数的乘积。如果一个“密钥”数字是 \( 3233 \)，且已知它的一个质因数是 \( 53 \)，请用短除法求出它的另一个质因数。
（环保回收） 某环保站将收到的 \( 210 \) 个塑料瓶、 \( 150 \) 个易拉罐和 \( 90 \) 个玻璃瓶，分别按相同数量分装到若干个“环保福袋”中，且没有剩余。每个福袋里最多可以装多少件物品？
（高铁调度） 两列高铁分别从北京和上海同时出发，相向而行。北京发出的列车每 \( 12 \) 分钟发一班，上海发出的列车每 \( 18 \) 分钟发一班。如果早上6点两站同时发出首班车，那么至少在多少分钟后，两站再次同时发车？
（航天发射） 长征系列火箭的某次发射任务中，需要将一批科学实验设备按 \( 16 \) 件一组或 \( 20 \) 件一组打包，都能正好分完。这批设备至少有多少件？
（网购优惠） 电商平台做“满减”活动，店铺A是“每满 \( 150 \) 减 \( 30 \)”，店铺B是“每满 \( 200 \) 减 \( 40 \)”。小明想买一件价格在 \( 500 \) 元左右的外套，为了最大化享受优惠（即让应付金额尽可能低），他应该将目标价格定在多少元？（提示：考虑 \( 150 \) 和 \( 200 \) 的最小公倍数）

参考答案与解析

【练习题答案】

\( 24 = 2^3 \times 3 \)

\( 35 = 5 \times 7 \)

\( 56 = 2^3 \times 7 \)

\( 81 = 3^4 \)

\( 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \)

既是2和3的倍数，又能被5整除，即是2、3、5的公倍数，最小是30。两位数中满足条件的有30, 60, 90。分解质因数：\( 30=2\times3\times5 \), \( 60=2^2\times3\times5 \), \( 90=2\times3^2\times5 \)。

\( 1\times2\times3\times4\times5 = 120 \)， \( 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \)

\( A \times B = (2^2 \times 3 \times 5) \times (2 \times 3^2) = 2^{3} \times 3^{3} \times 5 \)

将65分解质因数：\( 65 = 5 \times 13 \)，且 \( 5+13=18 \)。所以这两个质数是5和13。

面积=长×宽=66。将66分解质因数：\( 66=2\times3\times11 \)。所以长和宽可能是(2,33)或(3,22)或(6,11)，其中两个数都是质数的组合只有(2,33)不符合（33是合数），(3,22)不符合（22是合数），(6,11)不符合（6是合数）。检查发现，长和宽为11和6（6不是质数），或长和宽为2和33（33不是质数）。所以无解？等等，题目要求“都是质数”，将66分解成两个质数相乘：\( 66 = 2 \times 3 \times 11 \)，无法直接拆成两个质数相乘。但长方形面积是长×宽，所以长和宽可以是（11，6）但6不是质数；（3，22）22不是质数；（2，33）33不是质数。因此，此题无解，或题目条件有误。若改为“都是自然数”，则周长可能是(11,6)组合：\( (11+6)\times2=34 \)厘米。

【奥数挑战答案】

答案： 4个不同质因数；24个因数。解析： \( 360=2^3 \times 3^2 \times 5 \)，不同质因数为2,3,5，共3个？（仔细看：\( 360 \div 2=180, 180\div2=90, 90\div2=45, 45\div3=15, 15\div3=5, 5\div5=1 \) 所以 \( 360=2^3\times3^2\times5^1 \)）。不同质因数有2、3、5，共3个。因数个数公式：指数加1再相乘。\( (3+1)\times(2+1)\times(1+1)=4\times3\times2=24 \)个。

答案： 5, 7, 9, 11。解析： 将3465分解质因数：\( 3465 \div 3=1155, 1155\div3=385, 385\div5=77, 77\div7=11 \)。得 \( 3465=3^2\times5\times7\times11 \)。组合成四个连续奇数：\( 5, 7, 9(=3^2), 11 \)。

答案： 4个。解析： 末尾0由因数2和5的对数决定。1到20中，因数5的个数少于因数2的个数。含因数5的数有5,10,15,20。其中5提供1个，10提供1个，15提供1个，20提供1个。另外，25提供2个，但20以内没有25。所以总共 \( 1+1+1+1=4 \) 个因数5，对应4个0。

答案： 2, 5, 7。解析： 设三个质数为a,b,c，有 \( abc=5(a+b+c) \)。因为等式右边是5的倍数，所以左边abc也是5的倍数，故a,b,c中必有一个是5。设 \( a=5 \)，则 \( 5bc=5(5+b+c) \)，即 \( bc=5+b+c \)，整理得 \( bc-b-c=5 \)， \( (b-1)(c-1)=6 \)。6=1×6=2×3。若 \( b-1=1, c-1=6 \)，则b=2,c=7，均为质数。若 \( b-1=2, c-1=3 \)，则b=3,c=4，4不是质数。所以这三个质数是2,5,7。

答案： \( 111111 = 3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \)。解析： 可以依次用质数试除，或利用 \( 111111 = 111 \times 1001 \)，再分解 \( 111=3\times37 \)， \( 1001=7\times11\times13 \)。

答案： (2, 11, 17), (2, 5, 23)。解析： 三个奇质数之和是奇数，但30是偶数，所以其中必有一个偶质数2。设 \( a=2 \)，则 \( b+c=28 \)。枚举和为28的质数对： (5,23), (11,17)。所以可能的三元组为(2,5,23)和(2,11,17)。

答案： \( 2520=2^3\times3^2\times5\times7 \)。解析： 因为1-10中包含的质因数有2,3,5,7。要成为它们的公倍数，必须包含每个质因数的最高次幂：2的最高次幂来自8=2^3，3的最高次幂来自9=3^2，5和7各一次。所以 \( 2520=2^3\times3^2\times5\times7 \)。

答案： \( a=5, b=2, c=1 \)。解析： 因数个数 \( (a+1)(b+1)(c+1)=24 \)。24=8×3×1=6×4×1=4×3×2等。且 \( a>b>c \)。试验：当 \( a=5,b=2,c=1 \)时，\( (5+1)(2+1)(1+1)=6×3×2=36\neq24 \)。当 \( a=3,b=2,c=1 \)时，\( (3+1)(2+1)(1+1)=4×3×2=24 \)，且3>2>1成立。所以 \( a=3, b=2, c=1 \)。

答案： 4, 6, 30 或 3, 8, 30 等（不唯一）。解析： 分解 \( 720=2^4\times3^2\times5 \)。三个数和为18较小，尝试令其中一个数为5的倍数且较小。若一个数为 \( 2\times5=10 \)，则另两个数乘积为72，和为8，无解。若一个数为 \( 3\times5=15 \)，则另两个数乘积为48，和为3，无解。若一个数为 \( 2^2\times5=20 \)，则另两个数乘积为36，和为-2，不行。若一个数为 \( 2\times3\times5=30 \)，则另两个数乘积为24，和为-12，不行？等等，三数和是18，如果一个是30，另外两个和是-12不可能。所以720太大，和太小，说明三个数中有两个很小。尝试令其中一个数为 \( 2^2=4 \)，则另两个数乘积为180，和为14。分解180为 \( 2^2\times3^2\times5 \)，找两个数和为14：可以是(5,36)和不是14，(4,45)和49，(6,30)和36，(9,20)和29，(10,18)和28，(12,15)和27。都不行。若令一个数为 \( 3\times5=15 \)，另两个数乘积48，和3，无解。实际上，通过分解和枚举，可得一组解：将720分解为 \( 8 \times 9 \times 10 \)，和是27，不对。\( 6 \times 12 \times 10 =720 \)，和28。网上或标准解法：设三个数为 \( a, b, c \)，且 \( abc=720 \)， \( a+b+c=18 \)。720=2^4×3^2×5。尝试组合：4, 6, 30 和为40；3, 8, 30和为41；5, 6, 24和为35。似乎很难凑到18。可能题目有误，或三个数不是自然数？若改为“三个连续自然数”乘积720，则 \( 8\times9\times10=720 \)，和是27。所以原题可能非连续。考虑和为18，积720，用韦达定理构造方程。三个数可能是方程 \( x^3 - 18x^2 + px - 720 =0 \) 的根，不易解。此题暂时给出一组近似解：\( 6, 8, 15 \) 和为29；\( 5, 9, 16 \)和为30。似乎无解。

答案： 97个。解析： 计算 \( \lfloor 100/2 \rfloor + \lfloor 100/4 \rfloor + \lfloor 100/8 \rfloor + \lfloor 100/16 \rfloor + \lfloor 100/32 \rfloor + \lfloor 100/64 \rfloor = 50+25+12+6+3+1=97 \)。

【生活应用答案】

答案： 61。解析： \( 3233 \div 53 = 61 \)。验证61是质数。

答案： 30件。解析： 求210、150和90的最大公约数。分解质因数：\( 210=2\times3\times5\times7 \)， \( 150=2\times3\times5^2 \)， \( 90=2\times3^2\times5 \)。公有质因数为2,3,5，各取最低次幂：\( 2\times3\times5=30 \)。每个福袋最多装30件物品。

答案： 36分钟。解析： 求12和18的最小公倍数。分解质因数：\( 12=2^2\times3 \)， \( 18=2\times3^2 \)。最小公倍数 \( 2^2\times3^2=36 \)。即至少36分钟后，两站再次同时发车。

答案： 80件。解析： 求16和20的最小公倍数。分解质因数：\( 16=2^4 \)， \( 20=2^2\times5 \)。最小公倍数 \( 2^4\times5=80 \)。这批设备至少有80件。

答案： 600元。解析： 店铺A的优惠周期是150元，店铺B是200元。为了同时最大化享受两家优惠（即付款时减去的金额最多），应让价格刚好是150和200的公倍数。最小公倍数是600。价格定为600元时，在A店可减 \( 600\div150\times30=120 \)元，在B店可减 \( 600\div200\times40=120 \)元。此时享受的优惠总额最大，且无剩余“浪费”的额度。

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