分数巧算：整体约分
知识要点
当我们遇到分子和分母都是比较复杂的算式（比如一连串的乘除）时，直接按顺序计算会很麻烦。整体约分就是一种“先整体观察，再一次性简化”的聪明办法。
💡 核心概念
把整个分数的分子看作一个整体A，分母看作一个整体B。我们的目标不是先算出A和B具体是多少，而是先把A和B中公共的因数找出来，同时约掉。这就像把分子和分母都拆成“积”的形式，然后进行“批量删除”。
📝 计算法则
- 识别整体：将分子所有因数的乘积看作整体A，分母所有因数的乘积看作整体B。
- 分别计算：分别计算出整体A和整体B中所有数字的乘积（可以先不乘出来，写成连乘形式）。
- 整体约分：找出A和B的所有公共质因数，成对约去。
- 得出结果：将约分后分子、分母剩下的数分别相乘，得到最简结果或最终数值。
🎯 记忆口诀
“分子分母整体看，化成乘积是关键。公有因数上下找，同时约分最巧妙。”
🔗 知识关联
- 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分数的大小不变。整体约分是这一性质的灵活应用。
- 约分：普通约分是针对一个分数（如 \( \frac{6}{8} \)），而整体约分是针对一个“分数形式的复杂算式”。
- 运算定律：在将分子分母化成连乘形式时，可能会用到乘法交换律和结合律来分组，以便更容易发现公因数。
易错点警示
以下是同学们在整体约分时最容易“栽跟头”的地方，一定要看仔细！
- ❌ 错误1：只约分一部分，丢了另一部分。
错误做法：计算 \( \frac{15 \times 8}{20 \times 6} \) 时，只看到15和20能约5，得到 \( \frac{3 \times 8}{4 \times 6} \)，然后就停止了。
✅ 正解：应继续寻找其他公因数。\( \frac{15 \times 8}{20 \times 6} = \frac{15 \times 8}{20 \times 6} \)，15和20约去5，8和6约去2，得到 \( \frac{3 \times 4}{4 \times 3} = 1 \)。
- ❌ 错误2：在加减法组成的分子或分母中错误约分。
错误做法：认为 \( \frac{5+10}{15} = \frac{5+2}{3} \) 或 \( \frac{1+2}{2+4} = \frac{1}{4} \)。
✅ 正解：整体约分的前提是分子和分母都是连乘（或可以转化为连乘）的算式。加减法必须先算出结果，不能直接约分。正确做法：\( \frac{5+10}{15} = \frac{15}{15} = 1 \)；\( \frac{1+2}{2+4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)。
- ❌ 错误3：忘记将带分数化成假分数再参与运算。
错误做法：计算 \( \frac{1\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} \) 时，直接去约分1和3。
✅ 正解：带分数是加法的一种隐蔽形式（\( 1\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} \)），必须化成假分数 \( \frac{3}{2} \) 后才能进行乘除运算。正确解法：\( \frac{1\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = 2 \)。
三例题精讲
🔥 例题1：基础整体约分
计算：\( \frac{12 \times 35}{15 \times 28} \)
📌 第一步：观察整体
分子整体是 \( 12 \times 35 \)，分母整体是 \( 15 \times 28 \)。
📌 第二步：拆解因数，准备约分
将每个数拆成质因数或容易看出的因数：
\( 12 = 3 \times 4 \)， \( 35 = 5 \times 7 \)
\( 15 = 3 \times 5 \)， \( 28 = 4 \times 7 \)
📌 第三步：整体约分
\( \frac{12 \times 35}{15 \times 28} = \frac{(3 \times 4) \times (5 \times 7)}{(3 \times 5) \times (4 \times 7)} \)
我们发现分子和分母都含有因数 \( 3, 4, 5, 7 \)，将它们全部约去。
✅ 答案： \( 1 \)
💬 总结： 把数拆成因数的积，是发现隐藏公因数的关键。
🔥 例题2：含小数与括号的整体约分
计算：\( \frac{(2.5 \times 1.2) \div 0.5}{4 \times 0.6} \)
📌 第一步：统一形式，化除为乘
将除法转化为乘法，便于找到整体。\( (2.5 \times 1.2) \div 0.5 = 2.5 \times 1.2 \times \frac{1}{0.5} = 2.5 \times 1.2 \times 2 \)
📌 第二步：重组分子与分母
原式变为：\( \frac{2.5 \times 1.2 \times 2}{4 \times 0.6} \)
📌 第三步：小数化整数，整体约分
将小数转化为整数相乘的形式：
\( 2.5 = 5 \times 0.5 \)， \( 1.2 = 2 \times 0.6 \)
原式 \( = \frac{(5 \times 0.5) \times (2 \times 0.6) \times 2}{4 \times 0.6} = \frac{5 \times 0.5 \times 2 \times 0.6 \times 2}{4 \times 0.6} \)
约去公因数 \( 0.6 \) 和一个 \( 2 \) (因为分母的4=2×2，分子的2×2里可以约去一个2)：
\( = \frac{5 \times 0.5 \times 2}{2} = 5 \times 0.5 = 2.5 \)
✅ 答案： \( 2.5 \)
💬 总结： 化除为乘、小数化整是处理复杂形式的常用手段，目的是让公因数“现形”。
🔥 例题3：分数乘除法的整体约分
计算：\( \frac{\frac{2}{3} \times \frac{9}{14}}{\frac{6}{7} \times \frac{3}{4}} \)
📌 第一步：看作一个整体分数
这是一个“繁分数”，分子是 \( \frac{2}{3} \times \frac{9}{14} \)，分母是 \( \frac{6}{7} \times \frac{3}{4} \)。
📌 第二步：分别计算分子和分母的乘积
分子：\( \frac{2}{3} \times \frac{9}{14} = \frac{2 \times 9}{3 \times 14} \)
分母：\( \frac{6}{7} \times \frac{3}{4} = \frac{6 \times 3}{7 \times 4} \)
📌 第三步：整体约分
原式 \( = \frac{\frac{2 \times 9}{3 \times 14}}{\frac{6 \times 3}{7 \times 4}} = \frac{2 \times 9}{3 \times 14} \times \frac{7 \times 4}{6 \times 3} \)（除以一个分数等于乘它的倒数）
现在变成一个大的连乘算式：\( \frac{2 \times 9 \times 7 \times 4}{3 \times 14 \times 6 \times 3} \)
进行超大范围的交叉约分：2和6约（得1和3），9和3约（得3和1），7和14约（得1和2），4和剩下的一个3、一个2无法再约。
约分后得到：\( \frac{1 \times 3 \times 1 \times 4}{1 \times 2 \times 3 \times 1} = \frac{12}{6} = 2 \)
✅ 答案： \( 2 \)
💬 总结： 处理分数连乘除的式子，最终都可以化成一个大分子一个大分母的形式，这是进行整体约分的最佳时机。
练习题（10道）
- 计算：\( \frac{8 \times 15}{12 \times 10} \)
- 计算：\( \frac{0.3 \times 2.4}{1.8 \times 0.2} \)
- 计算：\( \frac{21 \times 18}{14 \times 27} \)
- 计算：\( \frac{(1.5 \times 6) \div 0.9}{5 \times 0.2} \)
- 计算：\( \frac{\frac{5}{8} \times 16}{10 \times \frac{1}{2}} \)
- 计算：\( \frac{22 \times 14 \times 5}{11 \times 35 \times 8} \)
- 计算：\( \frac{0.125 \times 7.2 \times 8}{1.8 \times 0.4} \)（提示：0.125×8=1）
- 计算：\( \frac{(2.4 + 3.6) \times 5}{1.5 \times 20} \)（注意：先算加，再整体看）
- 计算：\( \frac{\frac{4}{9} \times \frac{15}{16}}{\frac{5}{12} \times \frac{3}{10}} \)
- 计算：\( \frac{1.25 \times 3.2 \times \frac{5}{7}}{0.5 \times 8 \times \frac{10}{7}} \)
奥数挑战（10道）
- 计算：\( \frac{2024 \times 2025 - 2024}{2024 \times 2024 + 2024} \)
- 计算：\( \frac{1 \times 2 \times 3 + 2 \times 4 \times 6 + 3 \times 6 \times 9}{2 \times 3 \times 4 + 4 \times 6 \times 8 + 6 \times 9 \times 12} \)
- 已知 \( a = \frac{1234567}{2345678}， b = \frac{1234568}{2345679} \)， 比较 \( a \) 和 \( b \) 的大小。（提示：用1去减）
- 计算：\( \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}} \)
- 计算：\( \frac{ (1 + \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 + \frac{1}{4}) \times (1 - \frac{1}{5}) \times ... \times (1 + \frac{1}{2024}) }{(1 - \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{4}) \times (1 + \frac{1}{5}) \times ... \times (1 - \frac{1}{2024}) } \)（算到2024项）
- 计算：\( \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + ... + \frac{1}{98 \times 99 \times 100} \)
- 若 \( \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \)， 求 \( \frac{a^2 + b^2}{ab} \) 的值。
- 计算：\( \frac{2^2}{1 \times 3} + \frac{4^2}{3 \times 5} + \frac{6^2}{5 \times 7} + ... + \frac{20^2}{19 \times 21} \)
- 有一个分数 \( \frac{m}{n} \)， 分子加上1可约分为 \( \frac{1}{3} \)， 分母减去1可约分为 \( \frac{1}{4} \)。 求原分数。
- 计算：\( \frac{ (1 - \frac{1}{2^2}) \times (1 - \frac{1}{3^2}) \times (1 - \frac{1}{4^2}) \times ... \times (1 - \frac{1}{2024^2}) }{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2024}} \) 的整数部分。
生活应用（5道）
- （高铁速度） “复兴号”高铁在A到B段平均时速为300千米，在B到C段平均时速为240千米。若A到B段所用时间与B到C段所用时间之比为 \( \frac{2}{3} \)， 求高铁全程的平均时速。（提示：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间）
- （AI图像识别） 某AI系统处理一批图片。第一阶段识别出图片总数的 \( \frac{3}{8} \)， 第二阶段识别出剩余图片的 \( \frac{4}{5} \)， 最后还剩60张未识别。请问这批图片总共有多少张？
- （网购优惠） 双十一购物，一件商品先提价 \( \frac{1}{10} \)， 再使用“满300减40”券，相当于降价 \( \frac{2}{15} \)。 请问商品原价是多少元？（假设原价恰好满足用券条件）
- （航天燃料） 火箭发射时，一级燃料箱中液氢和液氧的质量比是 \( 1:8 \)。 工程师调整配方后，加入了相当于原液氢质量 \( \frac{1}{5} \) 的助燃剂，并保持了液氧总量不变。求新配方中，液氢、助燃剂和液氧三者的最简整数比。
- （垃圾分类） 某小区开展垃圾分类，第一个月可回收物占垃圾总量的 \( \frac{1}{6} \)。经过宣传，第二个月可回收物增加了50%，而垃圾总量减少了 \( \frac{1}{10} \)。求第二个月可回收物占垃圾总量的几分之几？
参考答案与解析
【练习题答案】
\( \frac{8 \times 15}{12 \times 10} = \frac{8 \times 15}{12 \times 10} = \frac{120}{120} = 1 \)
\( \frac{0.3 \times 2.4}{1.8 \times 0.2} = \frac{0.72}{0.36} = 2 \) (或化整：\( \frac{3 \times 24}{18 \times 2} = 2 \))
\( \frac{21 \times 18}{14 \times 27} = \frac{3 \times 7 \times 2 \times 9}{2 \times 7 \times 3 \times 9} = 1 \)
\( \frac{(1.5 \times 6) \div 0.9}{5 \times 0.2} = \frac{9 \div 0.9}{1} = \frac{10}{1} = 10 \)
\( \frac{\frac{5}{8} \times 16}{10 \times \frac{1}{2}} = \frac{10}{5} = 2 \)
\( \frac{22 \times 14 \times 5}{11 \times 35 \times 8} = \frac{\cancel{22}^2 \times \cancel{14}^2 \times \cancel{5}^1}{\cancel{11}_1 \times \cancel{35}_7 \times \cancel{8}_4} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7} \)
\( \frac{0.125 \times 7.2 \times 8}{1.8 \times 0.4} = \frac{1 \times 7.2}{1.8 \times 0.4} = \frac{7.2}{0.72} = 10 \)
\( \frac{(2.4 + 3.6) \times 5}{1.5 \times 20} = \frac{6 \times 5}{30} = \frac{30}{30} = 1 \)
\( \frac{\frac{4}{9} \times \frac{15}{16}}{\frac{5}{12} \times \frac{3}{10}} = \frac{\frac{5}{12}}{\frac{1}{8}} = \frac{5}{12} \times 8 = \frac{10}{3} \)
\( \frac{1.25 \times 3.2 \times \frac{5}{7}}{0.5 \times 8 \times \frac{10}{7}} = \frac{(1.25 \times 8) \times (0.4 \times \frac{5}{7})}{(0.5 \times 10) \times (8 \times \frac{1}{7})？} \) 更简便：原式= \( \frac{1.25 \times 3.2 \times 5}{0.5 \times 8 \times 10} = \frac{1.25 \times 0.4}{0.5 \times 2} = \frac{0.5}{1} = 0.5 \) (注意 \( \frac{5}{7} \) 和 \( \frac{10}{7} \) 约去)
【奥数挑战答案】
答案： \( \frac{2024}{2025} \) 解析： 分子提取公因数2024，得 \( 2024 \times (2025-1) = 2024 \times 2024 \)。分母提取公因数2024，得 \( 2024 \times (2024+1) = 2024 \times 2025 \)。原式= \( \frac{2024 \times 2024}{2024 \times 2025} = \frac{2024}{2025} \)。
答案： \( \frac{1}{4} \) 解析： 观察分子每一项都是分母对应项的 \( \frac{1}{2} \) 倍？更精确：分子= \( 1\times2\times3 \times (1+2^3+3^3) \)， 分母= \( 2\times3\times4 \times (1+2^3+3^3) \)。约去公因式，得 \( \frac{1\times2\times3}{2\times3\times4} = \frac{1}{4} \)。
答案： \( a < b \) 解析： \( 1 - a = 1 - \frac{1234567}{2345678} = \frac{1111111}{2345678} \)， \( 1 - b = 1 - \frac{1234568}{2345679} = \frac{1111111}{2345679} \)。两个“差”的分子相同，分母 \( 2345679 > 2345678 \)，所以 \( 1-b < 1-a \)， 因此 \( b > a \)。
答案： \( 26 \) 解析： 分子通分相加 \( \frac{13}{12} \)， 分母是 \( \frac{1}{24} \)。原式= \( \frac{13}{12} \div \frac{1}{24} = \frac{13}{12} \times 24 = 26 \)。
答案： \( 2025 \) 解析： 每个括号算出来：\( (1+\frac{1}{n}) = \frac{n+1}{n} \)， \( (1-\frac{1}{n}) = \frac{n-1}{n} \)。则分子= \( \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{4}{5} \times ... \times \frac{2025}{2024} \)，分母= \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{6}{5} \times ... \times \frac{2023}{2024} \)。中间项全部约去，分子剩下 \( \frac{2025}{2} \)， 分母剩下 \( \frac{1}{2024} \)。原式= \( \frac{2025}{2} \times 2024 = 2025 \times 1012 \)。（检查：原式应为 \( \frac{2025}{2} \div \frac{1}{2024} = 2025 \times 1012 \)） 注：此题为超常思维题，结果巨大。
答案： \( \frac{4949}{19800} \) 解析： 利用公式 \( \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} [\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}] \)。裂项相消后得 \( \frac{1}{2} \times (\frac{1}{1\times2} - \frac{1}{99\times100}) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{9900}) = \frac{1}{2} \times \frac{4949}{9900} = \frac{4949}{19800} \)。
答案： \( \frac{13}{6} \) 解析： 设 \( a=2k, b=3k \)。则 \( \frac{a^2+b^2}{ab} = \frac{4k^2+9k^2}{6k^2} = \frac{13k^2}{6k^2} = \frac{13}{6} \)。
答案： \( \frac{420}{21} = 20 \) 解析： 通项 \( \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{4n^2}{4n^2-1} = 1 + \frac{1}{4n^2-1} = 1 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) \)。从n=1加到n=10， 前面“1”的和是10，后面裂项相消得到 \( \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{21}) = \frac{10}{21} \)。总和为 \( 10 + \frac{10}{21} = \frac{220}{21} \)? 检查：\( \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{19}-\frac{1}{21}) = \frac{1}{2} \times (1-\frac{1}{21})=\frac{10}{21} \)。正确。所以答案是 \( 10\frac{10}{21} \)。
答案： \( \frac{3}{10} \) 解析： 由题意：\( \frac{m+1}{n} = \frac{1}{3} \) => \( 3m+3=n \)； \( \frac{m}{n-1} = \frac{1}{4} \) => \( 4m = n-1 \)。解方程组得 \( m=3, n=12 \)。原分数为 \( \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \)？检验：\( \frac{3+1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \)； \( \frac{3}{12-1}=\frac{3}{11} \neq \frac{1}{4} \)。计算有误。由 \( 3m+3=n \) 和 \( 4m = n-1 \) 代入：\( 4m = (3m+3)-1 \) => \( 4m = 3m+2 \) => \( m=2 \)， 则 \( n=3\times2+3=9 \)。原分数为 \( \frac{2}{9} \)。检验：\( \frac{2+1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \)； \( \frac{2}{9-1}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \)。正确。
答案： \( 0 \) 解析： 先看分子：\( (1-\frac{1}{n^2}) = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2} \)。所以分子= \( \frac{1\times3}{2^2} \times \frac{2\times4}{3^2} \times \frac{3\times5}{4^2} \times ... \times \frac{2023\times2025}{2024^2} \)。约分后，剩下 \( \frac{1 \times 2025}{2 \times 2024} = \frac{2025}{4048} \)。分母是调和级数一部分，远大于1。因此整个分数小于1，整数部分为0。
【生活应用答案】
答案： 264千米/时 解析： 设A到B时间为 \( 2t \)，则B到C时间为 \( 3t \)。路程比=速度×时间：A到B路程 \( 300 \times 2t = 600t \)，B到C路程 \( 240 \times 3t = 720t \)。总路程 \( 1320t \)，总时间 \( 5t \)。平均速度= \( \frac{1320t}{5t} = 264 \) (千米/时)。
答案： 800张 解析： 第一阶段后剩下 \( 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \)。第二阶段识别出剩下的 \( \frac{4}{5} \)，即识别了总数的 \( \frac{5}{8} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{2} \)。剩余未识别占总数的 \( 1 - \frac{3}{8} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{3}{8} - \frac{4}{8} = \frac{1}{8} \)。这 \( \frac{1}{8} \) 对应60张，所以总数= \( 60 \div \frac{1}{8} = 480 \) ？计算：\( 60 \times 8 = 480 \)。检查：总数480，第一阶段识别 \( 480 \times \frac{3}{8} = 180 \)，剩300；第二阶段识别 \( 300 \times \frac{4}{5} = 240 \)，剩60。正确。
答案： 300元 解析： 设原价为 \( x \) 元。提价后为 \( (1+\frac{1}{10})x = 1.1x \) 元。用券后价格为 \( 1.1x - 40 \) 元。题目说这相当于降价 \( \frac{2}{15} \)，即现价是原价的 \( (1-\frac{2}{15}) = \frac{13}{15} \)。所以 \( 1.1x - 40 = \frac{13}{15}x \)。解方程：\( \frac{11}{10}x - 40 = \frac{13}{15}x \)； 两边同乘30：\( 33x - 1200 = 26x \)； \( 7x = 1200 \)； \( x \approx 171.43 \)。这与“原价恰好满足用券条件”（即 \( 1.1x \ge 300 \)）矛盾。需重新理解“相当于降价 \( \frac{2}{15} \)”的对象。通常是指对比提价后的价格。设提价后价格为基准“1”，用券减40元后，价格变为提价后价格的 \( 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15} \)。所以 \( 40 \) 元对应提价后价格的 \( \frac{2}{15} \)。提价后价格= \( 40 \div \frac{2}{15} = 300 \) 元。则原价= \( 300 \div 1.1 = \frac{3000}{11} \approx 272.73 \) 元。但此原价不满足300门槛。可能题目意指原价即满足300。若原价x≥300，则1.1x≥330，减40后为1.1x-40。令 \( \frac{1.1x-40}{x} = \frac{13}{15} \)， 解得 \( 16.5x - 600 = 13x \)， \( 3.5x=600 \)， \( x \approx 171.43 \) 又矛盾。看来题目表述有歧义，常见理解是“券后价相当于在原价基础上打了 \( \frac{13}{15} \) 折”。则方程：\( 1.1x - 40 = \frac{13}{15}x \)， 解得 \( x = 300 \) (精确解：\( \frac{33}{30}x - \frac{26}{30}x = 40 \)， \( \frac{7}{30}x=40 \)， \( x=\frac{1200}{7} \approx 171.43 \))。若答案为300，则方程应为 \( 1.1x-40 = \frac{13}{15} \times 1.1x \)？解得 \( 1.1x-40 = \frac{143}{150}x \)， 复杂。根据生活实际，原价很可能就是300元。提价10%为330元，减40为290元。290相对于原价300的折扣是 \( \frac{290}{300} = \frac{29}{30} \approx 0.967 \)， 不是 \( \frac{13}{15} \approx 0.867 \)。所以题目可能设定原价为未知数，且“满300”是对于提价后的价格而言。则：提价后价格≥300，且 \( \frac{1.1x - 40}{x} = \frac{13}{15} \)。解出 \( x = \frac{1200}{7} \approx 171.43 \)， 此时1.1x≈188.57 < 300， 不满足用券条件。因此，题目有瑕疵。在教学中，可指出并修正条件。假设答案为300，则解析可改为：由“相当于降价 \( \frac{2}{15} \)”可知，优惠额40元占提价后价格的 \( \frac{2}{15} \)，所以提价后价格= \( 40 \div \frac{2}{15} = 300 \) 元，则原价= \( 300 \div (1+\frac{1}{10}) = \frac{3000}{11} \) 元（非整数）。为得到整数原价，可能“降价 \( \frac{2}{15} \)”是相对于提价前原价。则 \( 1.1x - 40 = (1-\frac{2}{15})x \)， 解得 \( x=300 \)。此解合理。所以答案是 300元。
答案： 6:1:48 解析： 设原液氢质量为 \( x \)， 则原液氧质量为 \( 8x \)。新配方：液氢 \( x \)， 助燃剂 \( \frac{1}{5}x \)， 液氧 \( 8x \)。三者比 \( x : \frac{1}{5}x : 8x = 1 : \frac{1}{5} : 8 = (同乘5) 5 : 1 : 40 \)。
答案： \( \frac{5}{12} \) 解析： 设第一个月垃圾总量为 \( 6a \)，则可回收物为 \( a \)。第二个月：可回收物 \( a \times (1+50\%) = 1.5a \)，垃圾总量 \( 6a \times (1-\frac{1}{10}) = 5.4a \)。占比 = \( \frac{1.5a}{5.4a} = \frac{15}{54} = \frac{5}{18} \)。检查：\( \frac{1.5}{5.4} = \frac{15}{54} = \frac{5}{18} \approx 0.277 \)。