定义新运算：逆运算

知识要点

💡 核心概念

“定义新运算”就像发明一个数学小游戏，我们为符号（比如 ★、※、◎）制定一套全新的计算规则。而“逆运算”就是这个游戏的“倒带”或“撤销”键。已知新运算的结果和其中一个数，利用逆运算可以找回另一个未知的数。这和解方程的思想非常相似，是逆向思维的训练。

📝 计算法则

解决逆运算问题，通常遵循以下步骤：

1. 识别规则：仔细读懂题目中定义的新运算规则。
2. 表示未知：用符号（如 \(\bigodot^{-1}\)）表示该新运算的逆运算。如果 \(a \bigodot b = c\)，那么 \(a = c \bigodot^{-1} b\) 或 \(b = a \bigodot^{-1} c\)，具体看求哪个。
3. 建立方程并求解：根据规则和已知结果，列出一个等式（方程），然后像解方程一样，一步步逆向推导出未知数。

🎯 记忆口诀

新运算，有法则；求未知，逆着来。结果已知当答案，倒推过程像解谜。

🔗 知识关联

• 四则运算的逆运算：加法逆运算是减法 (\(a + b = c \rightarrow a = c - b\))，乘法逆运算是除法 (\(a \times b = c \rightarrow a = c \div b\))。这是逆运算思想的基础。
• 解方程：利用等式的性质，进行移项和运算，目标就是求出未知数。逆运算是解简易方程的核心方法。

易错点警示

❌ 错误1：混淆运算顺序

[错误做法]：定义 \(a ★ b = a \times b - a\)，求 \(x ★ 4 = 20\) 中的 \(x\)。错误地计算：\(x = 20 - 4 \times 4\)。

✅ 正解：根据定义，方程应为 \(x \times 4 - x = 20\)，即 \(3x = 20\)，解得 \(x = \frac{20}{3}\)。

❌ 错误2：逆运算符号使用不当

[错误做法]：已知 \(m ※ n = 2m + n\)，且 \(5 ※ y = 13\)，错误地写成 \(y = 13 ※ 5\)。

✅ 正解：正确理解是“5和y进行※运算得到13”。列方程：\(2 \times 5 + y = 13\)，解得 \(y = 3\)。这里“逆运算”的步骤是解方程，而不是发明另一个新符号去直接算。

❌ 错误3：不遵循逆运算步骤，直接混合计算

[错误做法]：定义 \(a ◎ b = (a + b) \div 2\)，已知 \(x ◎ 6 = 5\)，错误地计算 \(x = (5 + 6) \div 2\)。

✅ 正解：根据定义列方程：\((x + 6) \div 2 = 5\)。逆运算第一步：两边同时乘以2，得 \(x + 6 = 10\)；第二步：两边同时减去6，得 \(x = 4\)。

三例题精讲

🔥 例题1

定义新运算：\(a \bigodot b = a \times b + a\)。已知 \(3 \bigodot x = 15\)，求 \(x\) 的值。

📌 第一步：理解规则

运算规则是：前数 \( \times \) 后数 \(+\) 前数。

📌 第二步：代入列式

根据规则，\(3 \bigodot x\) 就等于 \(3 \times x + 3\)。所以得到方程：\(3 \times x + 3 = 15\)。

📌 第三步：逆向求解

这是一个简易方程。先处理加法：\(3x = 15 - 3\)，得 \(3x = 12\)。再处理乘法：\(x = 12 \div 3\)。

✅ 答案：\(x = 4\)

💬 总结：把新运算符号替换成它定义的算式，就变成了熟悉的方程问题。

🔥 例题2

规定 \(a ◆ b = (a - b) \times 2\)。如果 \(y ◆ (4 ◆ 2) = 6\)，求 \(y\)。

📌 第一步：先算括号内

新运算也可能有优先级。先计算 \(4 ◆ 2 = (4 - 2) \times 2 = 2 \times 2 = 4\)。

📌 第二步：化简原式

原式变为 \(y ◆ 4 = 6\)。

📌 第三步：列方程求解

根据规则：\((y - 4) \times 2 = 6\)。逆运算：两边先除以2：\(y - 4 = 3\)；再加4：\(y = 7\)。

✅ 答案：\(y = 7\)

💬 总结：遇到复合运算，遵循“先括号内，后括号外”的顺序，化繁为简。

🔥 例题3

对于两个数 \(m\) 和 \(n\)，定义运算 \(m \# n = 4 \times m - n \div 2\)。已知 \(5 \# a = 18\)，求 \(a\)。

📌 第一步：代入规则列方程

将 \(m=5, n=a\) 代入规则：\(4 \times 5 - a \div 2 = 18\)。即 \(20 - a \div 2 = 18\)。

📌 第二步：将 \(a \div 2\) 视为整体

方程 \(20 - \Box = 18\)，易知 \(\Box = 2\)。所以 \(a \div 2 = 2\)。

📌 第三步：求解未知数

\(a = 2 \times 2 = 4\)。

✅ 答案：\(a = 4\)

💬 总结：当方程较复杂时，可以把含有未知数的部分看作一个整体，先求出这个整体，再求未知数。

练习题（10道）

1. 定义 \(a ⊕ b = a + 2b\)。已知 \(4 ⊕ x = 14\)，求 \(x\)。
2. 规定 \(x ▼ y = x \times y - y\)。若 \(6 ▼ m = 30\)，求 \(m\)。
3. 运算 \(p △ q = (p + q) \div 3\)。已知 \(k △ 9 = 5\)，求 \(k\)。
4. 对于 \(a, b\)，有 \(a ☆ b = b^2 - a\) （\(b^2\)表示 \(b \times b\)）。若 \(3 ☆ t = 13\)，求 \(t\)。
5. 设 \(m ♡ n = 5 \times m + 3 \times n\)。已知 \(2 ♡ d = 19\)，求 \(d\)。
6. 定义新运算：\(a ∞ b = a \div b + 1\)。已知 \(12 ∞ y = 3\)，求 \(y\)。
7. 规定 \(f ◎ g = (f - 1) \times (g + 2)\)。已知 \(5 ◎ z = 24\)，求 \(z\)。
8. 运算 \(u ∇ v = 2u - 3v\)。已知 \(h ∇ 4 = -2\)，求 \(h\)。
9. 设 \(j □ k = j \times k + j + k\)。已知 \(e □ 3 = 23\)，求 \(e\)。
10. 定义 \(s ※ t\) 表示 \(s\) 和 \(t\) 的平均数（即和的一半）。已知 \(7 ※ c = 10\)，求 \(c\)。

奥数挑战（10道）

1. 规定 \(x * y = \frac{x+y}{x-y} \) (\(x \ne y\))。已知 \(3 * a = 2\)，求 \(a\)。
2. 定义运算 \(a \& b = a \times b - |a - b|\) （\(| |\) 表示绝对值）。已知 \(5 \& m = 19\)，求 \(m\) 所有可能的值。
3. 对于不相等的两个数 \(p, q\)，\(p \$ q\) 表示它们中较大的数除以较小的数的余数。已知 \(11 \$ k = 2\)，求 \(k\) 所有可能的值。
4. 设 \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数（如 \([3.2]=3\)），定义 \(\{x\} = x - [x]\)。已知 \(\{a\} + [a] = 4.7\)，求 \(a\)。
5. 规定正整数 \(a ∘ b\) 表示从 \(a\) 开始的 \(b\) 个连续自然数的和。已知 \(x ∘ 5 = 50\)，求 \(x\)。
6. 定义 \(\) 表示 \(m\) 和 \(n\) 的最小公倍数与最大公因数的差。已知 \(<12, k> = 30\)，求 \(k\)。
7. 运算 \(A ⊛ B = A^2 - B^2\)。已知 \((c ⊛ 3) ⊛ 4 = 0\)，求 \(c\) 所有可能的值。
8. 规定 \(a ! b = \frac{a \times (a+1) \times ... \times b}{b-a+1}\) （\(a \le b\)）。已知 \(3 ! n = 60\)，求 \(n\)。
9. 对于数字 \(abcd\)（代表一个四位数），定义 \(F(abcd) = a+b+c+d\)。已知 \(F(m) + F(n) = F(m+n)\)，且 \(m\) 和 \(n\) 都是两位数，求 \(m+n\) 的最大值。
10. 定义数列生成运算：\(S(a, b)\) 表示首项为 \(a\)，公差为 \(b\) 的等差数列的前 \(5\) 项和。已知 \(S(x, 3) = S(2, x)\)，求 \(x\)。

生活应用（5道）

1. （高铁速度）高铁列车组的“运行效率”被定义为：实际平均速度 \(V\)（公里/小时）与计划速度 \(P\)（公里/小时）的一种新运算 \(V ★ P = |V - P| + 10\)。某次列车因故晚点，其运行效率值为 \(20\)，已知计划速度 \(P = 300\)，求这次列车的实际平均速度 \(V\)。
2. （环保回收）在智能垃圾分类中，系统定义居民投放的“混合度” \(M\) 与“准确度” \(A\) 的关系为 \(M § A = 100 - 2A\)（数值越低越好）。某次检测得到混合度 \(M = 30\)，请问这次投放的准确度 \(A\) 是多少？
3. （AI识别）一个人脸识别算法用 \(S \& T = \frac{S}{T+1} \times 100\%\) 计算两张人脸的相似度 \(S\) 相对于阈值 \(T\) 的置信度。当置信度刚好为 \(50\%\)，且相似度 \(S = 6\) 时，求此时设定的阈值 \(T\)。
4. （网购满减）某平台定义“优惠力度”计算规则为：商品原价 \(a\) 元，实付 \(b\) 元，则力度 \(L = \frac{a-b}{a} \times 10\)。小华买一件商品，感受到的优惠力度 \(L = 1.5\)，他实付了 \(85\) 元，请问这件商品原价多少元？
5. （航天发射）火箭燃料加注时，定义“安全系数” \(K\) 与燃料温度 \(t\)（摄氏度）和压力 \(p\)（兆帕）满足 \(K ♠ (t, p) = 2t - 5p\)。某次加注要求安全系数必须为 \(10\)，当时燃料温度为 \(20\) 摄氏度，请问压力 \(p\) 应控制在多少兆帕？