定义新运算：直接代入

大家好！今天我们一起来学习一个既有趣又需要细心的小专题——定义新运算。它就像是一个“数学魔法”，给普通的加、减、乘、除符号赋予了新的含义。我们的任务是看懂“魔法规则”，然后“直接代入”数字进行计算。

知识要点

💡 核心概念：

“定义新运算”就是题目自己规定一种新的计算规则，用特殊的符号（比如 ☆、◎、△ 等）表示。它不再是普通的加法或乘法。我们的任务就是严格遵循题目给出的新规则，把给出的数字代入到规定的位置，像做替换游戏一样，一步步算出结果。

📝 计算法则：

1. 读清规则： 仔细阅读题目中对新运算的定义，理解符号前后数字的位置关系。

2. 对标代入： 将题目要计算的算式中的数字，按照定义里的“位置”，一模一样地代入到规则表达式中。

3. 按序计算： 代入后，得到一个普通的四则运算算式，按照先乘除后加减、有括号先算括号的顺序进行计算。

4. 写出答案： 冷静地完成计算，得出最终答案。

🎯 记忆口诀：

新运算，新规则，读定义，是关键。

找位置，直接代，变普通，再计算。

🔗 知识关联：

这个知识紧密联系着我们学过的四则运算顺序和用字母表示数。它考察了你是否能够灵活运用已有的计算能力，去执行一个新的、特定的指令。

易错点警示

❌ 错误1：无视新规则，用老办法算。

→ 例如：规定 \(a △ b = a × b - a\)， 求 \(3 △ 4\)。

❌ 错误做法：想成加法 \(3+4=7\) 或想成 \(3×4=12\) 就结束。

✅ 正解：严格按照定义： \(3 △ 4 = 3 × 4 - 3 = 12 - 3 = 9\)。

❌ 错误2：代入时位置搞反。

→ 例如：规定 \(m ☆ n = 2 × m + n\)， 求 \(4 ☆ 5\)。

❌ 错误做法：\(2 × 5 + 4 = 14\) (把m和n的值代反了)。

✅ 正解：\(m\)对应\(4\)，\(n\)对应\(5\)，所以 \(4 ☆ 5 = 2 × 4 + 5 = 8 + 5 = 13\)。

❌ 错误3：运算顺序出错。

→ 例如：规定 \(x ◎ y = (x + y) × 2\)， 求 \(5 ◎ 3\)。

❌ 错误做法：\(5 + 3 × 2 = 5 + 6 = 11\) (先算了乘法)。

✅ 正解：先算括号里的和：\(5 ◎ 3 = (5 + 3) × 2 = 8 × 2 = 16\)。

三例题精讲

🔥 例题1： 定义新运算：\(a ★ b = a × b + a + b\)。 请问 \(6 ★ 2\) 等于多少？

📌 第一步： 读规则。规则是：用第一个数 \(a\) 乘以第二个数 \(b\)，再加上 \(a\)，再加上 \(b\)。

📌 第二步： 直接代入。这里 \(a=6\)， \(b=2\)。

📌 第三步： 计算。 \(6 ★ 2 = 6 × 2 + 6 + 2 = 12 + 6 + 2 = 20\)。

✅ 答案： \(20\)

💬 总结： 把数字对号入座代入表达式，然后按顺序计算。

🔥 例题2： 对于两个数 \(p\) 和 \(q\)，规定运算 \(p ▢ q = (p - q) × 4\)。 计算 \(9 ▢ 5\) 和 \((7 ▢ 3) ▢ 2\)。

📌 第一步（算 \(9 ▢ 5\)）： 直接代入： \(9 ▢ 5 = (9 - 5) × 4 = 4 × 4 = 16\)。

📌 第二步（算 \((7 ▢ 3) ▢ 2\)）： 先算括号里的 \(7 ▢ 3\)。 \(7 ▢ 3 = (7 - 3) × 4 = 4 × 4 = 16\)。

📌 第三步： 现在算式变为 \(16 ▢ 2\)。 再次使用规则： \(16 ▢ 2 = (16 - 2) × 4 = 14 × 4 = 56\)。

✅ 答案： \(9 ▢ 5 = 16\)； \((7 ▢ 3) ▢ 2 = 56\)。

💬 总结： 遇到括号，先计算括号里的新运算，将其结果作为一个新的数，再参与下一步运算。

🔥 例题3： 定义：\(A ☆ B = A × 3 + B ÷ 2\)。 求 \(8 ☆ 10\) 的值。

📌 第一步： 读规则。\(A\) 要乘以 \(3\)，\(B\) 要除以 \(2\)，然后加起来。

📌 第二步： 直接代入。\(A=8\)， \(B=10\)。所以算式为： \(8 × 3 + 10 ÷ 2\)。

📌 第三步： 按照先乘除后加减的顺序计算。 \(8 × 3 = 24\)， \(10 ÷ 2 = 5\)。最后 \(24 + 5 = 29\)。

✅ 答案： \(29\)

💬 总结： 代入后得到混合运算，必须严格遵守“先乘除，后加减”的运算顺序。

练习题（10道）

1. 规定：\(a ⊙ b = a + b × 2\)。 求 \(4 ⊙ 7\)。
2. 定义运算：\(m △ n = m × n - n\)。 求 \(5 △ 6\)。
3. 对于数 \(x\) 和 \(y\)， \(x ※ y = (x + y) ÷ 2\)。 计算 \(10 ※ 14\)。
4. 规定运算：\(a ◎ b = a × 10 + b\)。 求 \(3 ◎ 9\) 和 \(9 ◎ 3\)，比较它们的结果相同吗？
5. 定义：\(p ♡ q = p × q + p + q\)。 求 \(2 ♡ 5\)。
6. 运算规则为：\(A ◇ B = B - A × 2\)。 求 \(3 ◇ 11\)。
7. 已知 \(a ★ b = a ÷ b + a × b\)。 求 \(6 ★ 2\)。
8. 规定：\(m ⊕ n = (m - n) × 3\)。 计算 \((8 ⊕ 5) ⊕ 1\)。
9. 定义新运算：\(S ☆ T = S × (T + 1)\)。 求 \(4 ☆ 5\) 和 \(5 ☆ 4\)。
10. 运算：\(a ▢ b = a × a - b × b\)。 求 \(7 ▢ 5\)。（提示：\(a×a\)就是\(a\)的平方）

奥数挑战（10道）

1. 定义运算：\([x] = x × x + x\)。 求 \([5] + [3]\) 的值。
2. 规定：\(a ⊗ b = (a + b) × (a - b)\)。 求 \(12 ⊗ 7\)。
3. 对于两个不同的自然数 \(a\) 和 \(b\)， \(a ∇ b\) 表示它们乘积除以它们的和。即 \(a ∇ b = (a×b) ÷ (a+b)\)。 求 \(6 ∇ 3\)。
4. 定义：\(1☆1=2\)， \(a☆b = a☆(b-1) + a\) （当 \(b>1\) 时）。根据这个递推规则，求 \(3☆4\)。
5. 运算 \(A◆B\) 表示 \(A\) 的 \(3\) 倍减去 \(B\) 的一半。即 \(A◆B = 3A - B÷2\)。 求 \(10◆8\)。
6. 已知 \(aΦb = a + (a+1) + (a+2) + … + b\)（假设 \(a < b\)）。 求 \(3Φ7\)。（提示：这是一个求连续自然数和的问题）
7. 规定新运算：\(M▽N\) 等于 \(M\) 和 \(N\) 的积加上它们的差（大减小）。求 \(9▽5\) 和 \(5▽9\)。
8. 定义：\(f(a) = a × 2 + 1\)， \(g(b) = b ÷ 2 - 1\)。 求 \(f(4) + g(10)\) 的值。
9. “⊙”运算满足：\(a ⊙ a = 1\)， \(a ⊙ b = b ⊙ a\)， 且 \((a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c)\)。 已知 \(2 ⊙ 1 = 3\)， 求 \(2 ⊙ 3\)。（提示：利用运算律推理）
10. 定义：如果 \(aΩb = c\)， 那么 \(c = a×b - a - b + 2\)。 求 \((3Ω4) Ω 5\)。

生活应用（5道）

1. 【高铁速度】 新型“复兴号”列车的测试速度用符号 \(F(S, T) = S × 2 + T\) 表示，其中 \(S\) 是基础速度（公里/小时），\(T\) 是技术加成。若基础速度为 \(350\)，技术加成为 \(60\)，求测试速度 \(F(350, 60)\)。
2. 【航天能耗】 科学家设计了一个计算火箭能耗的公式 \(E(a, b) = a × 10 + b ÷ 2\)，\(a\) 代表燃料重量（吨），\(b\) 代表飞行时间（分钟）。发射一次需要燃料 \(500\) 吨，飞行 \(180\) 分钟，请计算能耗 \(E(500, 180)\)。
3. 【AI学习】 一个人工智能程序的学习效率定义为 \(L(x, y) = (x + y) × y\)，\(x\) 是初始能力值，\(y\) 是学习天数。如果初始值 \(x=5\)，学习了 \(y=7\) 天，它的学习效率 \(L(5,7)\) 是多少？
4. 【环保回收】 社区用新规则计算积分：回收塑料瓶 \(P\) 个和纸张 \(Q\) 公斤，总积分 \(J(P, Q) = P × 3 + Q × 10\)。小明回收了 \(25\) 个瓶子和 \(3\) 公斤纸，他的积分 \(J(25, 3)\) 是多少？
5. 【网购优惠】 某平台优惠券的抵扣规则为 \(D(m, n) = m × 0.8 - n\)，其中 \(m\) 是原价，\(n\) 是满减额。一件原价 \(200\) 元的商品，可以使用满 \(100\) 减 \(15\) 的券，实际支付金额（原价减抵扣额）是多少？计算 \(200 - D(200, 15)\)。