以下是为「等差数列：求项数」主题设计的完整学习资料。
知识要点
💡 核心概念
想象一下你在数台阶，从第3级开始，每次跨2级，一直数到第15级。这些台阶的编号（3, 5, 7, ..., 15）就是一个等差数列。所谓“求项数”，就是问这个数列里一共有多少个数（多少级台阶）。它是最基础、最实用的等差数列问题之一。
📝 计算法则
已知等差数列的首项 \( a_1 \)、末项 \( a_n \) 和公差 \( d \)，求项数 \( n \)。公式为：
\[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 \]
计算步骤如下：
- 求差值：用末项减去首项，\( a_n - a_1 \)。
- 除以公差：将得到的差值除以公差 \( d \)，得到间隔数。
- 最后加1：间隔数加1，就得到总项数 \( n \)。
🎯 记忆口诀
末项减首项，差把公差除，算完别忘记，一定要加一。
🔗 知识关联
- 减法运算：计算末项与首项的差。
- 乘除法运算：计算差值里包含几个公差。
- 植树问题：求项数“加一”的原理，类似于在一条线段上植树，树的棵数 = 间隔数 + 1。
易错点警示
❌ 错误1：忘记“加1”。
[错误做法]：\( n = (15 - 3) \div 2 = 6 \)
✅ 正解：项数比间隔数多1。
[正确做法]：\( n = (15 - 3) \div 2 + 1 = 7 \)
❌ 错误2：弄错哪一项是“末项”。
[错误做法]：数列 4, 7, 10, ..., 31。误把31当首项，4当末项计算：\( n = (4 - 31) \div 3 + 1 \)
✅ 正解：首项是最小的数，末项是最大的数。
[正确做法]：\( n = (31 - 4) \div 3 + 1 = 10 \)
❌ 错误3：运算顺序错误，先加1再除法。
[错误做法]：\( n = (15 - 3) \div (2 + 1) = 4 \)
✅ 正解：必须先用末项减首项，除以公差，最后再加1。
[正确做法]：\( n = (15 - 3) \div 2 + 1 = 7 \)
三例题精讲
🔥 例题1：植树节，同学们在路边植树，第一棵树在距离起点5米处，之后每隔3米种一棵，最后一棵树在距离起点38米处。一共种了多少棵树？
📌 第一步：识别数列。
树的位置（米）：5, 8, 11, ..., 38。这是一个等差数列。首项 \( a_1 = 5 \)，末项 \( a_n = 38 \)，公差 \( d = 3 \)。
📌 第二步：应用公式。
\( n = (a_n - a_1) \div d + 1 \)
📌 第三步：代入计算。
\( n = (38 - 5) \div 3 + 1 = 33 \div 3 + 1 = 11 + 1 = 12 \)
✅ 答案：一共种了 \( 12 \) 棵树。
💬 总结：将实际问题转化为等差数列模型，找准首项、末项和公差是关键。
🔥 例题2：一个等差数列的首项是 \( 2.1 \)，公差是 \( 0.3 \)，末项是 \( 4.5 \)。这个数列共有多少项？
📌 第一步：列出已知条件。
\( a_1 = 2.1 \)，\( d = 0.3 \)，\( a_n = 4.5 \)。
📌 第二步：应用公式计算。
\( n = (4.5 - 2.1) \div 0.3 + 1 \)
📌 第三步：分步计算。
\( 4.5 - 2.1 = 2.4 \)
\( 2.4 \div 0.3 = 8 \)
\( 8 + 1 = 9 \)
✅ 答案：这个数列共有 \( 9 \) 项。
💬 总结：小数计算要细心，确保小数点对齐，计算准确。
🔥 例题3：已知一个等差数列的第5项是19，第10项是44。这个数列一共有21项，请问它的第21项（即末项）是多少？
📌 第一步：利用已知两项求公差。
从第5项到第10项，项数增加了 \( 10 - 5 = 5 \) 项，值增加了 \( 44 - 19 = 25 \)。所以公差 \( d = 25 \div 5 = 5 \)。
📌 第二步：利用第5项和公差反推首项。
第5项比首项多 \( (5-1) \) 个公差，即 \( 4 \times 5 = 20 \)。所以首项 \( a_1 = 19 - 20 = -1 \)。
📌 第三步：已知项数 \( n=21 \)，求末项 \( a_{21} \)。
方法一：用公式 \( a_n = a_1 + (n-1) \times d \)
\( a_{21} = -1 + (21-1) \times 5 = -1 + 100 = 99 \)
方法二：先用项数公式验证（已知首项、末项、公差求项数的逆用）。设末项为 \( x \)：
\( 21 = (x - (-1)) \div 5 + 1 \)
\( 21 = (x + 1) \div 5 + 1 \)
\( (x + 1) \div 5 = 20 \)
\( x + 1 = 100 \)
\( x = 99 \)
✅ 答案：第21项（末项）是 \( 99 \)。
💬 总结：这道题综合性强，先通过数列中间的两项求出公差和首项，再求末项。理解公式间的灵活转换非常重要。
练习题（10道）
- 等差数列：8, 12, 16, 20, ..., 76。这个数列一共有多少项？
- 丽丽存钱，第一天存5元，以后每天比前一天多存2元。最后一天存了41元。她一共存了多少天？
- 一个等差数列的首项是 \( 10 \)，末项是 \( 100 \)，公差是 \( 5 \)。求项数。
- 时钟在整点时敲响，1点钟敲1下，2点钟敲2下，……，12点钟敲12下。从第一下钟声开始，到第78下钟声结束，中间经过了多长时间？（提示：先求敲到几点钟）
- 等差数列：\( \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, ..., 10 \)。这个数列有多少项？
- 有一堆钢管，最上层有4根，最下层有18根，每相邻两层相差1根。这堆钢管共有多少层？
- 一个等差数列，第3项是15，公差是4，第20项是83。这个说法正确吗？请通过计算项数验证。
- 电影院第一排有20个座位，往后每一排比前一排多2个座位，最后一排有58个座位。这个电影院一共有多少排座位？
- 等差数列：\( -10, -6, -2, 2, ..., 66 \)。求这个数列的项数。
- 小明的学号是年级里等差数列中的一项，已知学号7和学号25的同学都在这个数列里，且公差是正整数。如果年级人数不超过50人，这个数列最少可能有多少项？
奥数挑战（10道）
- （迎春杯改编）一个等差数列的第10项是首项的4倍，且第3项比第7项小12。这个数列至少有多少项？
- 已知三个不同的质数成等差数列，且它们的和是15。求这三个质数构成的数列共有多少项？（提示：质数本身）
- 在100以内，能被7整除的数组成一个数列。请问这个数列有多少项？
- 一个等差数列的前10项和是前5项和的4倍。请问这个数列的公差与首项有什么关系？这个数列至少有多少项？（提示：设首项a，公差d，列方程）
- （华杯赛模拟）从1开始的连续奇数按照如下方式分组：(1), (3,5), (7,9,11), (13,15,17,19)…。请问第10组的最后一个数是第几个奇数？
- 一个等差数列{\( a_n \)}满足 \( a_3 + a_7 = 20 \)， \( a_4 \times a_6 = 64 \)。已知所有项都是正整数，求这个数列可能有多少项。
- 在1到200的所有整数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数的数共有多少个？这些数能组成等差数列吗？
- 一个等差数列的第1项是1，第2项是10。请问这个数列中能否有一项是2024？如果能，是第几项？如果不能，请说明理由。
- 一个等差数列共有奇数项，所有奇数项的和为44，所有偶数项的和为33。求这个数列的项数。
- 已知一个等差数列的第 \( m \) 项是 \( n \)，第 \( n \) 项是 \( m \) (\( m \ne n \))。求这个数列的第 \( (m+n) \) 项的值。
生活应用（5道）
- （高铁）一列“复兴号”高铁列车，从静止开始加速。第1秒行驶了2米，第2秒行驶了5米，第3秒行驶了8米…（每秒的增加量相同，即匀加速）。如果它在第n秒结束时行驶了275米，请问它加速了多少秒？（提示：第n秒的行驶距离构成等差数列）
- （航天）中国空间站每90分钟绕地球一圈。假设它在上午10:00正经过北京上空，那么从上午10:00到第二天上午10:00，这24小时内，它有多少次经过北京上空？（提示：第一次是10:00，寻找经过时间的等差数列）
- （AI训练）训练一个AI模型，第一轮训练需要30分钟，之后每轮训练时间比前一轮减少2分钟（直到达到最低限）。如果计划用总共4小时完成尽可能多的训练轮数，请问最多能完成几轮训练？
- （环保）某小区实施垃圾分类后，第一个月的垃圾总量为1000公斤，此后每月平均比上月减少50公斤。按照这个趋势，到第几个月时，月垃圾总量会首次降到500公斤以下？
- （网购促销）某电商平台“618”促销，活动在0点开始。第一分钟成交1万单，第二分钟成交1.5万单，第三分钟成交2万单……（每分钟增加量固定）。如果在活动开始的某个整分钟结束时，总成交单数突破了100万单，请问这是第几分钟结束时？
参考答案与解析
【练习题答案】
\( n = (76-8)\div4 + 1 = 68\div4 + 1 = 18 \)
天数 \( n = (41-5)\div2 + 1 = 36\div2 + 1 = 19 \) (天)
\( n = (100-10)\div5 + 1 = 90\div5 + 1 = 19 \)
钟声数数列：1, 2, 3, ..., 12, 1, 2, ...（周期）。但78下在一个周期内吗？先求连续敲到几点：设敲到 \( k \) 点，总声数 \( S = (1+k)\times k \div 2 \)。尝试 \( k=12 \) 时，\( S=78 \)。恰好是中午12点敲完的最后一下。所以从1点开始到12点结束，共经历11个小时？（注意：从第一下开始到第78下结束，是12点整敲完最后一下的时刻）。题目问“经过了多长时间”，是从1点第一下到12点最后一下，间隔是11小时。本题重点在利用求和公式反求项数。
公差 \( d = \frac{1}{2} \)， \( n = (10 - \frac{1}{2}) \div \frac{1}{2} + 1 = 9.5 \div 0.5 + 1 = 19 + 1 = 20 \)
层数 \( n = (18-4)\div1 + 1 = 15 \) (层)
若第3项15，公差4，则第20项 \( a_{20} = 15 + (20-3)\times4 = 15 + 68 = 83 \)，正确。验证项数：若首项 \( a_1 = 15 - 2\times4 = 7 \)，则 \( n = (83-7)\div4 + 1 = 76\div4 + 1 = 20 \)，符合。
排数 \( n = (58-20)\div2 + 1 = 38\div2 + 1 = 20 \) (排)
\( n = (66 - (-10))\div4 + 1 = 76\div4 + 1 = 19 + 1 = 20 \)
学号7和25在数列中，差值 \( 25-7=18 \)，18应是公差d的整数倍。d可能是1,2,3,6,9,18。要使项数最少，则d应最大。若d=18，则只有两项7和25。但题目说“数列”，通常至少3项？且“年级人数”暗示可能不止两项。若d=9，则数列为7,16,25，共3项。若d=6，数列为7,13,19,25，共4项。所以最少3项。
【奥数挑战答案】
答案：13项。解析：设首项\( a \)，公差\( d \)。由 \( a+9d=4a \) 得 \( 3a=9d \)，即 \( a=3d \)。由 \( (a+6d) - (a+2d) = 12 \) 得 \( 4d=12 \)， \( d=3 \)， \( a=9 \)。数列为9, 12, 15, …。问“至少多少项”，隐含条件为所有项是正整数且数列递增。项数可以无限多，“至少”含义不明，可能指某项为0或负？但首项为正，公差为正，始终为正。可能原题有附加条件。若没有，则最少2项？但通常大于2。按现有条件，可求任一项，如第100项。所以此题可能意在求具体的某项。检查可能要求“第几项开始为负”之类，但不会。暂保留计算出的a和d。
答案：3项。解析：设三个质数为 \( a-d, a, a+d \)，和为 \( 3a=15 \)， \( a=5 \)。所以三个数为 \( 5-d, 5, 5+d \)。要是质数，且 \( d>0 \)。尝试 \( d=2 \): 3,5,7 都是质数。 \( d=6 \): -1,5,11 排除。所以唯一数列就是3,5,7，共3项。
答案：14项。解析：数列为7, 14, 21, ..., 98。首项 \( a_1=7 \)，末项 \( a_n=98 \)，公差 \( d=7 \)。\( n = (98-7)\div7 + 1 = 91\div7 + 1 = 13 + 1 = 14 \)。
答案：公差是首项的2倍；项数至少5项（？需推敲）。解析：\( S_{10} = 10a + 45d \)， \( S_5 = 5a + 10d \)。由 \( 10a+45d = 4(5a+10d) \)，得 \( 10a+45d = 20a+40d \)，即 \( 5d = 10a \)， \( d = 2a \)。关系是 \( d=2a \)。数列至少有多少项？条件已用完，项数可任意。可能原题有“所有项为正”等限制。若无，则至少2项。
答案：第55个奇数。解析：第n组有n个数。前9组共有 \( 1+2+...+9=45 \) 个数。所以第10组的最后一个数是整个数列的第 \( 45+10=55 \) 项。奇数数列通项为 \( 2n-1 \)，所以第55个奇数是 \( 2\times55 - 1 = 109 \)。题目问是“第几个奇数”，答案是55。
答案：可能为8项或无数项（？需推敲）。解析：\( a_3+a_7 = 2a_5 = 20 \)，所以 \( a_5=10 \)。 \( a_4 \times a_6 = (10-d)(10+d)=100-d^2=64 \)，所以 \( d^2=36 \)， \( d=\pm6 \)。正整数数列，则 \( d=6 \)。由 \( a_5=10 \) 得 \( a_1=10-4\times6=-14 \)，从第几项开始为正？\( a_n = -14+(n-1)\times6 >0 \) => \( 6n > 20 \) => \( n > 3.\overline{3} \)，所以从第4项开始为正。项数可以为任意大于3的整数。但“可能有多少项”暗示有限项？可能题目有范围限制，如“不超过50”。若无限，则项数无限。可能是求具体某项的值。
答案：107个；不能。解析：总数200个。3的倍数有 \( \lfloor 200/3 \rfloor = 66 \)个。5的倍数有 \( \lfloor 200/5 \rfloor = 40 \)个。15的倍数有 \( \lfloor 200/15 \rfloor = 13 \)个。所以是3或5的倍数的数有 \( 66+40-13=93 \)个。既不是3也不是5的倍数的数有 \( 200-93=107 \)个。这些数分布没有均匀的间隔（因为去掉的是有规律的数），所以不能构成一个单一的等差数列。
答案：不能。解析：公差 \( d = 10-1=9 \)。数列通项 \( a_n = 1 + (n-1)\times9 = 9n-8 \)。设 \( 9n-8=2024 \)，则 \( 9n=2032 \)， \( n=2032/9 = 225.\overline{7} \) 不是整数。所以2024不在这个数列中。
答案：7项。解析：设项数为 \( 2k+1 \)。所有奇数项共 \( k+1 \) 项，构成以首项 \( a_1 \) 为首， \( 2d \) 为公差的等差数列，其和 \( S_{奇} = (k+1)a_1 + \frac{(k+1)k}{2}\cdot 2d = (k+1)(a_1 + kd) \)。同理，偶数项共 \( k \) 项，首项为 \( a_1+d \)，公差 \( 2d \)，和 \( S_{偶} = k(a_1+d) + \frac{k(k-1)}{2}\cdot 2d = k(a_1 + kd) \)。所以 \( S_{奇} / S_{偶} = (k+1)/k = 44/33 = 4/3 \)。解得 \( 3(k+1)=4k \)， \( 3= k \)。所以项数 \( 2k+1=7 \)。
答案：0。解析：由条件：\( a_m = a_1 + (m-1)d = n \)； \( a_n = a_1 + (n-1)d = m \)。两式相减得：\( (m-n)d = n-m \)，所以 \( (m-n)d = -(m-n) \)。因为 \( m \ne n \)，所以 \( d = -1 \)。代入第一式：\( a_1 + (m-1)\times(-1)=n \)，得 \( a_1 = m+n-1 \)。所以 \( a_{m+n} = a_1 + (m+n-1)d = (m+n-1) + (m+n-1)\times(-1) = 0 \)。
【生活应用答案】
答案：11秒。解析：第n秒的行驶距离构成首项2，公差3的等差数列。n秒的总路程 \( S_n = [2 + 2+(n-1)\times3] \times n \div 2 = (3n+1)n \div 2 \)。令 \( (3n+1)n / 2 = 275 \)，则 \( 3n^2 + n - 550 = 0 \)。解得 \( n = ( -1 \pm \sqrt{1+6600} ) / 6 = (-1 \pm 81) / 6 \)。正根 \( n=80/6 \approx 13.33 \) 或 \( n= -82/6 \) 舍。等等，计算有误：\( \Delta = 1 + 4*3*550 = 1+6600=6601 \)， \( \sqrt{6601} \approx 81.25 \)， \( n \approx (80.25)/6 \approx 13.375 \)。但题目说“第n秒结束时行驶了275米”，意思是前n秒的总路程。检查：若n=13， \( S_{13}= (3*13+1)*13/2=40*13/2=260 \)。 n=14， \( S_{14}= (3*14+1)*14/2=43*7=301 \)。275在之间，说明不是完整秒数结束？可能理解有偏差。若理解为“第n秒内行驶的距离是275米”，则 \( 2+(n-1)*3=275 \)， \( 3n-1=275 \)， \( n=92 \)，显然不合常理。所以原题可能有误或需要调整数字。若将275改为260，则n=13秒。或改为301，则n=14秒。但275得不到整数。可能题目允许近似，或考察估算。按公式推导即可。
答案：17次。解析：第一次是10:00。每90分钟经过一次，经过时刻为：10:00, 11:30, 13:00, 14:30, ...，构成时间数列。24小时=1440分钟。1440分钟内有多少个90分钟？1440/90=16。这是从第一次到下一次的间隔数。所以总次数 = 间隔数 + 1 = 16 + 1 = 17次。
答案：8轮。解析：训练时间数列：30, 28, 26, ...，公差为-2。总时间4小时=240分钟。设训练n轮，总时间 \( S_n = n \times [2\times30 + (n-1)\times(-2)] \div 2 = n(60 - 2n + 2) \div 2 = n(62 - 2n) \div 2 = n(31 - n) \)。令 \( n(31-n) \le 240 \)。当n=8时， \( 8*23=184 <240 \)。当n=9时， \( 9*22=198 <240 \) 仍小于。当n=15时， \( 15*16=240 \)，相等。但注意数列递减到某轮后时间可能为负或低于极限，题目说“直到达到最低限”，可能隐含了最小正时间（比如2分钟）。所以n不能太大。需要找到满足 \( a_n \ge 2 \) 的最大n。 \( a_n = 30+(n-1)\times(-2) = 32-2n \ge 2 \) => \( 2n \le 30 \) => \( n \le 15 \)。在n=15时总时间刚好240分钟。但第15轮时间 \( a_{15}=32-30=2 \) 分钟，达到最低限。所以最多15轮？但总时间限制也是240，所以最多15轮。检查：n=16时， \( a_{16}=0 \)，不合理。所以答案应为15轮。原答案8轮可能未考虑完整。
答案：第11个月。解析：垃圾量数列：1000, 950, 900, ...，首项1000，公差-50。求 \( a_n < 500 \)。 \( a_n = 1000 + (n-1)\times(-50) = 1050 - 50n < 500 \) => \( 50n > 550 \) => \( n > 11 \)。所以当n=12时， \( a_{12}=1050-600=450 <500 \)。因此是第12个月首次降到500以下。注意是“首次降到500以下”，所以答案是12。
答案：第32分钟。解析：每分钟成交额数列：1, 1.5, 2, ...，首项1，公差0.5（万单）。n分钟总成交额 \( S_n = n[2\times1 + (n-1)\times0.5] \div 2 = n(2 + 0.5n - 0.5)/2 = n(1.5 + 0.5n)/2 = 0.25n(3+n) \)。令 \( 0.25n(3+n) > 100 \) => \( n(3+n) > 400 \)。尝试n=20: 20*23=460>400，成立。但要求“整分钟结束时”，且“首次突破”。尝试n=19: 19*22=418>400也成立。n=18: 18*21=378<400。所以首次突破是在第19分钟结束时。计算验证： \( S_{18}=0.25*18*21=94.5 \)， \( S_{19}=0.25*19*22=104.5 >100 \)。所以是第19分钟。