等比数列求和：错位相减法

知识要点

💡 核心概念：错位相减法是一种专门用来计算“差比数列”前 \(n\) 项和的巧妙方法。所谓“差比数列”，就是一个等差数列乘以一个等比数列构成的数列。例如，数列 \(1, 2\times2, 3\times4, 4\times8, ...\) 可以看作等差数列 \(1, 2, 3, 4, ...\) 与等比数列 \(1, 2, 4, 8, ...\) 对应项相乘的结果。

📝 计算法则：

1. 写出和式：设要求和为 \( S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n \)。
2. 乘公比：在等号两边同时乘以等比数列部分的公比 \(q\)，得到 \( qS_n \)。这时，右边每一项的“等比部分”会升一次幂。
3. 错位对齐：将原式 \(S_n\) 和乘公比后的式子 \(qS_n\) 上下对齐，并故意将 \(qS_n\) 向右错开一位，让指数相同的项上下对齐。
4. 相减：将上下两式相减，大部分中间项会神奇地抵消掉。
5. 求解：化简相减后的等式，就能解出 \(S_n\)。

🎯 记忆口诀：“乘公比，错位减；中间消去剩两边；化简计算得答案。”

🔗 知识关联：这个方法紧密联系着你已经学过的等比数列通项公式、乘法分配律以及解方程。它本质上是利用等比数列的性质，构造出一个可以相消的式子。

易错点警示

❌ 错误1：错位时没有对齐相同次数的项。

→ ✅ 正解：必须确保上下相减时，两个式子中等比数列部分指数相同的项对齐。

❌ 错误2：相减后，首项和末项的符号弄错。

→ ✅ 正解：牢记公式 \( (1-q)S_n = \) 首项 - 末项 。用原式的第一项减去错位后新式的第一项来确定符号。

❌ 错误3：忘记等式两边同时乘以公比 \(q\)，或者乘错 \(q\)。

→ ✅ 正解：仔细识别题目中数列的“等比部分”，准确找出其公比 \(q\)。

三例题精讲

🔥 例题1：求数列 \(1, 2, 4, 8, ..., 2^{n-1}\) 的前 \(n\) 项和。

（本例展示标准等比数列求和，用于理解方法本质）

📌 第一步：写出和式 \( S_n = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^{n-1} \)。公比 \(q=2\)。

📌 第二步：两边同乘公比 \(2\)，得 \( 2S_n = 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^{n} \)。

📌 第三步：将两式错位对齐并相减：

\[ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} S_n &=& 1 & + & 2 & + & 4 & + & ... & + & 2^{n-1} \\ 2S_n &=& & & 2 & + & 4 & + & ... & + & 2^{n-1} & + & 2^{n} \\ \hline (1-2)S_n &=& 1 & & & & & & & & & - & 2^{n} \end{array} \]

✅ 答案： \( S_n = 2^{n} - 1 \)。

💬 总结：对于纯等比数列，错位相减法能推导出求和公式。关键是“错位”让中间项完美抵消。

🔥 例题2：求数列 \(1, 2\times3, 3\times3^2, 4\times3^3, ..., n\times3^{n-1}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n\)。

📌 第一步：写出和式 \( S_n = 1\times3^0 + 2\times3^1 + 3\times3^2 + ... + n\times3^{n-1} \)。等比部分公比 \(q=3\)。

📌 第二步：两边同乘公比 \(3\)，得 \( 3S_n = 1\times3^1 + 2\times3^2 + 3\times3^3 + ... + n\times3^{n} \)。

📌 第三步：错位对齐并相减：

\[ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} S_n &=& 1 & + & 2\times3 & + & 3\times3^2 & + & ... & + & n\times3^{n-1} \\ 3S_n &=& & & 1\times3 & + & 2\times3^2 & + & ... & + & (n-1)\times3^{n-1} & + & n\times3^{n} \\ \hline (1-3)S_n &=& 1 & + & (2-1)\times3 & + & (3-2)\times3^2 & + & ... & + & [n-(n-1)]\times3^{n-1} & - & n\times3^{n} \\ -2S_n &=& 1 & + & 3 & + & 3^2 & + & ... & + & 3^{n-1} & - & n\times3^{n} \end{array} \]

化简得 \( -2S_n = \frac{1-3^n}{1-3} - n\times3^{n} \)。

✅ 答案： \( S_n = \frac{(2n-1)\times3^{n} + 1}{4} \)。

💬 总结：对于“差比数列”，相减后得到一个新的等比数列和，再对其求和。要细心处理首项和最后的负号。

🔥 例题3：计算 \( \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + ... + \frac{n}{2^n} \)。

📌 第一步：识别数列通项为 \( \frac{n}{2^n} \)，即等差数列 \(n\) 与等比数列 \( \frac{1}{2^n} \) 相乘。公比 \(q=\frac{1}{2}\)。

📌 第二步：设和 \( S_n = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + ... + \frac{n}{2^n} \)。两边同乘公比 \( \frac{1}{2} \)，得 \( \frac{1}{2}S_n = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + ... + \frac{n}{2^{n+1}} \)。

📌 第三步：两式错位相减：

\[ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} S_n &=& \frac{1}{2} & + & \frac{2}{4} & + & \frac{3}{8} & + & ... & + & \frac{n}{2^n} \\ \frac{1}{2}S_n &=& & & \frac{1}{4} & + & \frac{2}{8} & + & ... & + & \frac{n-1}{2^n} & + & \frac{n}{2^{n+1}} \\ \hline \frac{1}{2}S_n &=& \frac{1}{2} & + & \frac{1}{4} & + & \frac{1}{8} & + & ... & + & \frac{1}{2^n} & - & \frac{n}{2^{n+1}} \end{array} \]

所以 \( \frac{1}{2}S_n = \frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} - \frac{n}{2^{n+1}} \)。

✅ 答案： \( S_n = 2 - \frac{n+2}{2^{n}} \)。

💬 总结：当公比 \(q\) 为分数时，计算过程相同。最后常常能化成一个常数减去一个与 \(n\) 有关的项的简洁形式。

练习题（10道）

1. 求 \(3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{10}\) 的和。
2. 求数列 \(2, 4, 8, 16, ..., 2^n\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n\)。
3. 计算 \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{10}}\)。
4. 求数列 \(1\times2, 2\times4, 3\times8, ..., n\times2^n\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n\)。
5. 计算 \(1 + 2\times\frac{1}{3} + 3\times\frac{1}{9} + 4\times\frac{1}{27} + ... + 7\times\frac{1}{3^6}\)。
6. 求 \(1\times1 + 2\times x + 3\times x^2 + ... + n\times x^{n-1}\) 的和 \(S_n\) (其中 \(x \neq 1\))。
7. 求和：\( \frac{0}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + ... + \frac{10}{2^{11}} \)。
8. 计算：\( (2\times1) + (2\times3) + (2\times3^2) + ... + (2\times3^{n-1}) \)。
9. 已知数列通项 \(a_n = (2n-1) \cdot 5^{n-1}\)，求其前 \(n\) 项和 \(T_n\)。
10. 求和：\( S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace{111...1}_{n\text{个}1} \)。（提示：每个数可写成 \( \frac{10^k - 1}{9} \) 的形式）。

奥数挑战（10道）

1. 计算：\( 1\times2 + 2\times2^2 + 3\times2^3 + ... + 10\times2^{10} \)。
2. 求 \( \frac{1}{1\times2} + \frac{2}{2\times4} + \frac{3}{4\times8} + \frac{4}{8\times16} + ... + \frac{10}{2^{9}\times2^{10}} \) 的和。（提示：通项可裂项）
3. 求和：\( S_n = 1^2 + 2^2 \cdot x + 3^2 \cdot x^2 + ... + n^2 \cdot x^{n-1} \) (\(x \neq 1\))。（提示：对 \( \sum n x^{n-1} \) 的结果再次使用错位相减思想）
4. 计算：\( \sum_{k=1}^{n} (2k-1)\cdot 2^{k} \)。
5. 求 \( \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{8} + ... + \frac{2n+1}{2^n} \) 的和。
6. 数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\), \(a_{n+1} = 2a_n + n\)，求 \(a_n\) 的通项公式。（提示：构造等比数列）
7. 求和：\( C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + ... + nC_n^n \)。（提示：利用组合数公式 \( kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1} \)）
8. 计算 \( \lfloor \frac{2^1}{1} \rfloor + \lfloor \frac{2^2}{2} \rfloor + \lfloor \frac{2^3}{3} \rfloor + ... + \lfloor \frac{2^{10}}{10} \rfloor \) 的奇偶性。\( \lfloor x \rfloor \)表示取整。
9. 已知 \( S = 1 + 12 + 123 + ... + 123...n \)，其中第 \(k\) 项是连续自然数拼接，求证：\( S < \frac{10}{81} \times (10^{n+1} - 9n - 10) \)。
10. 设 \( a_n = \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \)，求证：数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n > n + 1 - \frac{1}{n}\)。（提示：利用不等式放缩和求和技巧）

生活应用（5道）

1. （AI训练）某AI模型训练，第一轮需要处理 \(1 \times 10^4\) 条数据，之后每轮处理的数据量是前一轮的 \(1.5\) 倍。训练 \(10\) 轮共需处理多少条数据？
2. （环保回收）一个环保项目启动月回收了 \(2\) 吨废旧电池。之后每月回收量比上月增加 \(0.5\) 吨，同时由于宣传效果，每月回收的电池“重量增长率”固定为 \(10\%\)。求第 \(12\) 个月的回收量和前 \(12\) 个月的总回收量。（提示：第 \(n\) 月回收量 = (基础量+增长量) \(\times\) 增长率指数）
3. （高铁建设）某段高铁铺设铁轨，第一天铺 \(a\) 米，之后每天比前一天多铺 \(d\) 米。但由于技术进步，实际每天铺轨效率是计划的 \(q\) 倍 (\(q>1\))。求 \(n\) 天后总铺设长度。
4. （网购促销）“双十一”期间，某商品第 \(1\) 小时销量为 \(100\) 件，之后每小时销量是前一小时的 \(90\%\)，但每过一小时平台会额外补贴该商品 \(5\) 件销量。求 \(24\) 小时内的总销量。
5. （航天燃料）火箭分级推进，第一级消耗燃料 \(F\) 吨。第二级消耗燃料比第一级少 \(20\%\)，但每增加一级，由于效率提升，该级燃料能产生相当于上一级 \(1.1\) 倍的推力。若火箭有 \(n\) 级，求总推力与初始燃料 \(F\) 的关系式（假设推力与燃料消耗量成正比）。