知识要点

💡 核心概念：抽屉原理听起来很高深，其实它讲的是一个非常简单的道理。想象一下，你有3个苹果，要放进2个抽屉。那么，至少有一个抽屉里会有2个或更多的苹果。这就是抽屉原理！而“最坏情况”是我们解决问题的关键钥匙。它不是指真的运气最差，而是指在“保证”某种结果一定发生时，我们需要考虑的、最“倒霉”的那种分法。比如，要想保证一个抽屉至少有2个苹果，最坏的情况就是先让每个抽屉都只放1个（尽量平均分），这时再放第3个苹果，无论放进哪个抽屉，都会出现“至少有一个抽屉有2个苹果”的情况。

📝 计算法则：对于这类“至少有多少”的保证性问题，可以按以下步骤思考：

1. 确定“抽屉”是什么： 把要分的物体（苹果、鸽子、学生…）放进什么样的“抽屉”里。
2. 尽量平均分（最坏情况）： 用物体总数 \( m \) 除以抽屉数 \( n \)，得到商 \( a \) 和余数 \( b \) （\( b < n \)）。即 \( m \div n = a \cdots b \)。
3. 得出结论： 那么，至少有一个抽屉里会有 \( (a + 1) \) 个物体。因为最坏情况是每个抽屉先放 \( a \) 个，剩下的 \( b \) 个再分别放入不同的抽屉，那么至少有1个抽屉会被放到 \( a+1 \) 个。

🎯 记忆口诀： 抽屉原理巧，最坏想到老。物体除以抽屉数，商加一是至少。

🔗 知识关联： 这个原理和我们学过的除法以及有余数的除法密切相关，计算核心就是除法算式。同时，它也锻炼我们的逻辑推理和最优化思维（如何构造“最坏”情况）。

易错点警示

❌ 错误1：混淆“至少”和“保证”。
例如：“6只鸽子飞进5个鸽巢，至少有几只鸽子在同一个巢？”错误做法：\( 6 \div 5 = 1 \cdots 1 \)，答：至少有1只。
✅ 正解： “至少”是在保证一定发生的情况下，那个最小的数量。正确计算：\( 6 \div 5 = 1 \cdots 1 \)，\( 1 + 1 = 2 \)。答：保证至少有一个巢里有2只或以上的鸽子。

❌ 错误2：忘记“最坏情况”是尽量平均分，而不是胡乱分。
例如：“至少摸出多少颗棋子能保证有2颗同色？（有黑、白两色）”错误做法：摸2颗可能一黑一白，再摸1颗就行了，所以是3颗。（虽然答案对，但思路不严谨）
✅ 正解： 构造最坏情况：先摸出的2颗正好是1黑1白（每种颜色1颗，即平均分）。这时再摸第3颗，无论是黑是白，都会和已有的某颗同色。所以答案是3颗。要用“平均分”的思路来严谨推理。

❌ 错误3：余数处理错误，直接用物体数除以“至少数”。
例如：“至少有多少人在同一个月过生日？（共25人）”错误做法：\( 25 \div 12 = 2 \cdots 1 \)，答：至少有2人。
✅ 正解： \( 25 \div 12 = 2 \cdots 1 \)，商是2，余数是1。最坏情况是每个月先有2人过生日（用了 \( 12 \times 2 = 24 \) 人），剩下的1人无论在哪个月，都会使那个月人数变成 \( 2 + 1 = 3 \) 人。答：至少有3人在同一个月过生日。

三例题精讲

🔥 例题1：

一副扑克牌有54张，去掉大小王后还剩52张，共有4种花色（红桃、黑桃、梅花、方块）。问：至少摸出多少张牌，才能保证至少有2张牌的花色相同？

📌 第一步：确定“抽屉”。 这里“花色”就是抽屉，有4个抽屉（红桃、黑桃、梅花、方块）。

📌 第二步：思考“最坏情况”。 最坏的情况是，前面摸出的牌花色都尽量不同。也就是先摸出了4张牌，正好是4种不同的花色各1张。

📌 第三步：得出结论。 这时已经用了4个抽屉各1个物体。再摸第5张牌，无论是什么花色，都会和前面4张中的某一张花色相同。所以答案是5张。

✅ 答案： 至少摸出5张牌。

💬 总结： 当问题是“保证有2个同X”时，最坏情况是先让每个X都拿到1个。

🔥 例题2：

某班有42名学生，他们都订阅了《小学生数学报》、《我们爱科学》或《儿童文学》三种报刊中的一种、两种或三种。问：至少有多少名学生订阅的报刊种类完全相同？

📌 第一步：确定“抽屉”——订阅的种类有多少种可能。

订阅一种：有3种选择（只订数学、只订科学、只订文学）。

订阅两种：也有3种选择（数+科、数+文、科+文）。

订阅三种：只有1种选择（数+科+文）。

所以，订阅的种类共有 \( 3 + 3 + 1 = 7 \) 种。这就是7个“抽屉”。

📌 第二步：应用抽屉原理。 把42名学生（物体）放进7种订阅类型（抽屉）里。

\( 42 \div 7 = 6 \)。商是6，余数是0。

📌 第三步：分析最坏情况与结论。 最坏情况（尽量平均分）就是每种订阅类型都有6名学生。因为余数是0，正好平均分完。此时，订阅种类相同的学生最少是6人。如果少于6人，总人数就不可能达到42人。所以，至少有6人订阅的报刊种类相同。

✅ 答案： 至少有6名学生。

💬 总结： 关键在于先搞清楚“抽屉”的总数，即所有可能的情况有多少类。当除法没有余数时，“至少数”就是商本身。

🔥 例题3：

一个布袋里有黑、白、红三种颜色的袜子各8只。每次从布袋中摸出一只袜子。问：

(1) 至少摸出多少只，才能保证一定有2只颜色相同？

(2) 至少摸出多少只，才能保证一定有3只颜色相同？

📌 第一部分解答：

(1) 颜色是抽屉，共3个。要保证有2只同色。

最坏情况：先摸出3只，正好是黑、白、红各1只。再摸第4只，无论什么颜色，都会与前面某只同色。

✅ 答案：\( 3 + 1 = 4 \) (只)。

📌 第二部分解答：

(2) 要保证有3只同色。

最坏情况：尽量阻止有颜色达到3只。即每个颜色先摸出2只（这是“尽量平均分”的升级版，目标是让每个抽屉离“3”还差1）。

此时已摸出 \( 2 \times 3 = 6 \) 只袜子。

再摸第7只袜子，无论是什么颜色，都会使该颜色的袜子变成 \( 2 + 1 = 3 \) 只。

✅ 答案：\( 2 \times 3 + 1 = 7 \) (只)。

💬 总结： 对于“保证有a个同X”的问题，最坏情况是让每个“抽屉”都先有 \( (a-1) \) 个物体。需要的物体总数是：抽屉数 × (a-1) + 1。

练习题（10道）

由易到难，题目新颖，贴近生活。

1. 把10支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进了几支铅笔？
2. 13个同学中，至少有几位同学的属相是相同的？（假设属相有12种）
3. 口袋里有红、黄、蓝三种颜色的球各5个。闭上眼睛，至少摸出几个球，才能保证有2个颜色相同？
4. 某小学共有368名学生，请问这些学生中至少有多少人在同一天过生日？（一年按365天计算）
5. 从1， 2， 3， …， 30这30个自然数中，至少取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是5的倍数？
6. 一个布袋里有大小、材质完全相同的红、黄、蓝手套各5只（左手、右手分开）。至少摸出几只，才能保证配成一双颜色相同的手套？（一双指左手和右手各一只）
7. 六年级有4个兴趣小组：书法、围棋、舞蹈、航模。每位同学至少参加1个组，最多参加2个组。至少有15名同学参加，才能保证有2人参加的小组完全相同。请问参加兴趣小组的同学至少有多少人？
8. 一次数学测验共有10道判断题，每道题答对得2分，答错或不答得0分。至少有多少名同学参加这次测验，才能保证有3人的得分相同？
9. 在边长为1的正方形内任意放入5个点，求证：其中至少有两个点的距离不超过 \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)。（提示：连接正方形两条对边的中点，将正方形分成4个小正方形）
10. 从1至100这100个自然数中，至少选出几个数，才能保证其中一定有两个数的差是9？

奥数挑战（10道）

杯赛真题难度（如迎春杯、华杯赛），需要思维拓展。

1. 在1， 4， 7， 10， 13， …, 100这个等差数列中，至少任选几个数，才能保证其中有两个数的和是104？
2. 将一个 \( 4 \times 7 \) 的方格表随意染上黑色或白色。证明：无论怎样染色，其中必定有一个由方格构成的“田”字形（2×2的正方形），它的四个小方格颜色完全相同。
3. 从1， 2， 3， …， 99， 100中至少选出多少个数，才能保证其中一定有一个数是另一个数的整数倍？
4. 有10个不同的自然数，它们的和是101。证明：其中至少有2个自然数的差是10。
5. 在半径为1的圆内（包括边界），任意给出7个点。证明：其中至少有两个点，它们之间的距离不超过1。
6. 一副扑克牌共54张（包括大小王）。至少摸出多少张，才能保证其中至少有4张牌的花色相同？
7. 在1到100的所有自然数中，任取51个不同的数。证明：其中一定有两个数，它们的差等于50。
8. 一个袋子中有红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个。至少摸出多少个球，才能保证其中有5个颜色相同？
9. 证明：任意6个人中，要么有3个人互相认识，要么有3个人互不认识（认识是相互的）。
10. 从1， 3， 5， 7， …， 97， 99这50个奇数中，至少取出多少个数，才能保证取出的数中，必有两个数的和是102？

生活应用（5道）

融入当下热点场景（高铁、航天、AI、环保、网购等）。

1. （高铁）一列“复兴号”高铁有8节车厢，每节车厢定员90人。本次列车共有650名乘客。请问：至少有一节车厢的乘客人数不低于多少人？
2. （航天）中国空间站“天和”核心舱的一个实验柜有12个样品存放格。某次实验准备了37份不同的样品需要放入。请问：至少有一个存放格里的样品不少于多少份？
3. （AI与环保）一个AI垃圾分类系统，需要识别“可回收物”、“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“其他垃圾”四类。在系统测试阶段，工程师连续投入垃圾进行识别。为了保证系统在连续识别中一定能将同一类垃圾正确识别至少3次，工程师至少需要投入多少件垃圾进行测试？（假设识别正确与否在此题中不关心，只关心类别）
4. （网购）某电商平台的“猜你喜欢”算法，每天从“服饰”、“数码”、“美食”、“图书”、“家居”5个大类中推荐商品给你。如果你希望连续几天内，算法至少有一个大类给你推荐了2天，那么你至少需要连续浏览几天？
5. （疫情防控）某小区有20栋楼，需要安排核酸检测。街道办准备了400管试剂（每管可检测1人）。为了保证无论居民如何分布在楼栋里，都至少有一栋楼的居民能全部完成检测（即该楼人数≤试剂管数），街道办至少需要准备多少管试剂？