作为资深小学数学教研专家，我为你精心准备了一份关于“乘法原理：分步”的完整学习资料。这份资料将帮助你从基础概念出发，逐步掌握这一重要的计数方法。

知识要点

💡 核心概念

乘法原理，也叫分步计数原理，是解决“一件事需要分几步完成，每一步有几种不同的方法，问完成这件事一共有多少种不同方法”的问题。它的核心思想是：步步相乘。

想象一下，你要从家去学校。首先，你需要选择一种交通工具到地铁站（比如有3种选择：走路、骑车、坐公交）。到了地铁站后，你需要选择乘坐哪一条线路的地铁（比如有2条线路可选）。那么，从家到学校，你一共就有 \( 3 \times 2 = 6 \) 种不同的出行方案。这就是乘法原理的简单应用——把每一步的选择数乘起来。

📝 计算法则

1. 判断是否“分步完成”：仔细读题，看完成目标是否需要连续、有序的多个步骤。
2. 确定“步数”与“每步选择数”：明确一共有几步，以及每一步分别有多少种不同的方法（选择）。
3. 步步相乘：将每一步的选择数相乘，得到的积就是总共有多少种不同的方法。公式可以表示为：如果完成一件事有 \( m \) 步，第一步有 \( a_1 \) 种方法，第二步有 \( a_2 \) 种方法……第 \( m \) 步有 \( a_m \) 种方法，那么完成这件事共有 \( a_1 \times a_2 \times … \times a_m \) 种不同的方法。

🎯 记忆口诀

“要分步，先乘除；一步一数，步步相乘。”

（口诀解读：遇到需要分步骤的问题，首先想到用乘法；每一步都算清楚有几个选择，然后把所有步骤的选择数量乘起来。）

🔗 知识关联

• 二年级上册《表内乘法》：乘法的本源意义就是“求几个相同加数的和的简便运算”。乘法原理可以看作是这个意义的延伸和推广，是“求几个不同‘步骤选择数’的积”。
• 三年级上册《搭配问题》：解决上衣和下装的搭配、食物和饮料的搭配等问题时，其实已经在不自觉地使用乘法原理的思想。
• 加法原理：与乘法原理是“好兄弟”。加法原理解决“分类”问题（各类方法互相独立，用哪一类都能单独完成目标）；乘法原理解决“分步”问题（每一步环环相扣，必须把所有步骤都完成才能达成目标）。区分“分类”和“分步”是关键。

易错点警示

❌ 错误1：分步与分类混淆

错误做法：小明有3件不同的T恤和2条不同的裤子。他随机穿一套衣服，有多少种穿法？错误列式：\( 3 + 2 = 5 \)（种）。

✅ 正解：穿衣服需要两步：第一步选T恤（3种选择），第二步选裤子（2种选择）。两步都完成才算穿好一套。正确列式：\( 3 \times 2 = 6 \)（种）。

❌ 错误2：忽略步骤间的相互影响

错误做法：用1, 2, 3, 4能组成多少个没有重复数字的两位数？错误列式：十位有4种选择，个位也有4种选择，所以是 \( 4 \times 4 = 16 \)（个）。

✅ 正解：因为数字不能重复，十位选走一个数字后，个位只能在剩下的3个数字里选。正确分步：第一步选十位（4种选择），第二步选个位（3种选择）。正确列式：\( 4 \times 3 = 12 \)（个）。

❌ 错误3：审题不清，误解题意

错误做法：从A地到B地有3条路，从B地到C地有2条路。问从A地经过B地到C地，再原路返回A地，有多少种不同的走法？错误列法：\( 3 \times 2 = 6 \)（种）。

✅ 正解：“原路返回”意味着去和回是同一条路线。问题可以分解为：第一步，选择从A到C的路线（有 \( 3 \times 2 = 6 \) 种）。第二步，原路返回（只有1种固定走法，就是沿着来时的路回去）。所以总走法是 \( 6 \times 1 = 6 \)（种）。如果题目问“往返可以走不同的路”，那返回时就是全新的一步：从C到B有2种，从B到A有3种，总走法就是 \( 6 \times (2 \times 3) = 36 \)（种）。审题是关键！

三例题精讲

🔥 例题1：小红的早餐搭配：饮料有牛奶、豆浆2种，主食有包子、油条、面包3种。如果饮料和主食各选一种，一共有多少种不同的早餐搭配方案？

📌 第一步：判断这是“分步”问题。搭配一顿早餐需要两步：先选饮料，再选主食。

📌 第二步：确定每步选择数。选饮料有2种方法，选主食有3种方法。

📌 第三步：步步相乘。总搭配数 \( = 2 \times 3 \)。

✅ 答案：\( 2 \times 3 = 6 \)（种）

💬 总结：典型的“搭配”问题就是乘法原理的直接应用。分清“步”和“每步几种”，直接相乘。

🔥 例题2：用数字0, 5, 6, 9可以组成多少个没有重复数字的三位数？

📌 第一步：分步。组成三位数需要确定百位、十位、个位三个数字。

📌 第二步：确定每步选择数，注意限制条件（无重复数字，且0不能在百位）。
① 先确定百位：不能是0，所以只能在5, 6, 9中选，有3种方法。
② 再确定十位：从剩下的3个数字（包括0）中选，有3种方法。
③ 最后确定个位：从剩下的2个数字中选，有2种方法。

📌 第三步：步步相乘。总方法数 \( = 3 \times 3 \times 2 \)。

✅ 答案：\( 3 \times 3 \times 2 = 18 \)（个）

💬 总结：解决数字组数问题时，要优先考虑有特殊限制的位置（如最高位不能是0），然后一步步选下去，每一步的选择数会因为前面已选数字而减少。

🔥 例题3：如图，从小明家到学校要经过一个公园。从小明家到公园有东、西两条路，从公园到学校有南、北、中三条路。请问小明从家到学校上学，再从学校回家，但来回不想走完全相同的路线，一共有多少种不同的走法？

（此处可插入一个简单SVG：两个点标注“家”和“学校”，中间一个点标注“公园”，从家到公园画两条线，从公园到学校画三条线）

📌 第一步：理解题意。“来回路线不完全相同”意味着去和回的路线可以部分相同，但不能每一步都完全相同。

📌 第二步：先算总共有多少种不同的往返路线（允许完全相同）。这可以分为两大步：
① 选择上学路线：\( 2 \times 3 = 6 \)（种）。
② 选择回家路线：同样有 \( 2 \times 3 = 6 \)（种）。
所以，不考虑是否相同，往返路线有 \( 6 \times 6 = 36 \)（种）。

📌 第三步：排除“来回完全相同”的情况。来回完全相同的路线，就是上学路线固定后，回家走同一条。上学路线有6种，那么回家路线就只有1种固定走法（原路返回）。所以来回完全相同的走法有6种。

📌 第四步：用总走法减去不符合要求的走法。\( 36 - 6 = 30 \)。

✅ 答案：\( (2 \times 3) \times (2 \times 3) - (2 \times 3) = 36 - 6 = 30 \)（种）

💬 总结：复杂问题可以先用乘法原理算出所有可能情况，再用“排除法”去掉不符合条件的情况。

练习题（10道）

1. 小华有4支不同颜色的彩笔和3本不同的图画本。他想选一支彩笔和一个本子画画，有多少种不同的选择？
2. 食堂午餐有2种荤菜（鸡腿、排骨）和3种素菜（青菜、土豆、豆腐），一份套餐包含一种荤菜和一种素菜。共有多少种套餐搭配？
3. 用数字1, 3, 5, 7可以组成多少个没有重复数字的两位数？
4. 从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有4条路可走。那么从甲地经过乙地到丙地，有多少种不同的走法？
5. 书架上有3本不同的故事书和2本不同的科技书。小明要借1本故事书和1本科技书，有多少种不同的借法？
6. 用数字0, 2, 4, 8能组成多少个没有重复数字的三位数？
7. 小红有2条裙子、3件上衣和2顶帽子。她计划穿一条裙子、一件上衣并戴一顶帽子出门，有多少种穿搭组合？
8. 一个密码锁的密码由两个数字组成，每个数字可以是0到9。这个密码锁有多少种可能的密码？
9. 从A村到B村有3条路，从B村到C村有2条路，从C村到D村有1条路。从A村到D村有多少种不同的走法？
10. 用数字卡片3, 5, 0, 9摆成一个四位数（首位不能是0），有多少种不同的摆法？

奥数挑战（10道）

1. 如图，从A点出发到B点，只能向右或向上走。一共有多少种不同的路线？（可配网格图）
2. 用红、黄、蓝三种颜色给地图上相邻的两个区域涂色，要求相邻区域颜色不同。共有多少种不同的涂色方法？
3. 从1, 2, 3, 4, 5中选出3个不同的数字，组成一个三位数，其中十位上的数字比个位和百位上的数字都大，这样的三位数有多少个？
4. 6个同学排成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，一共有多少种不同的排法？
5. 一个正六边形的顶点和中心点共7个点，以这些点为顶点，可以画出多少个不同的三角形？
6. 在所有的四位数中，数字“5”恰好出现一次的数有多少个？
7. 有4个不同的小球，放入编号为1, 2, 3的三个盒子中（允许有空盒），有多少种不同的放法？
8. 用0, 1, 2, 3, 4五个数字，能组成多少个比2000大的没有重复数字的四位数？
9. 从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少有一名女生，有多少种不同的选法？
10. 如图，一个 \( 2 \times 3 \) 的棋盘，用若干 \( 1 \times 2 \) 的骨牌不重叠地覆盖，有多少种不同的覆盖方法？

生活应用（5道）

1. （高铁）一列“复兴号”高铁有8节车厢，其中1号车是商务座/一等座车厢，2-7号是二等座车厢，8号车是一等座/餐车车厢。小红要从这趟车的始发站坐到终点站，她可以选择购买商务座、一等座或二等座车票（假设每个座位级别在对应车厢都有票）。不考虑具体座位号，只考虑车厢和座位级别，她有多少种不同的购票选择方案？
2. （航天）航天控制中心的指令代码由三部分组成：第一部分是1个字母（A-Z），第二部分是2个数字（0-9），第三部分是1个字母（A-Z）。例如“A12Z”。这样的指令代码最多可以设置多少个不同的？

（AI）训练一个简单的图像识别AI，需要为它设定3个参数：第一个参数有4种算法可选，第二个参数有3种学习率可选，第三个参数有5种训练轮数可选。工程师想尝试所有不同的参数组合进行测试，一共需要训练多少个不同的AI模型？

3. （环保）社区开展垃圾分类宣传活动，需要制作宣传海报。海报的标题可以从5个备选中选1个，主图可以从4张备选中选1张，宣传语可以从6条备选中选1条。负责设计的同学可以制作出多少种内容不同的海报？
4. （网购）小刚在网上看中了一款运动鞋，这款鞋有4种颜色，每种颜色有5个尺码（38-42）。他决定买一双，那么他有多少种“颜色+尺码”的组合可以选择？