相遇问题解题技巧：不同时出发的行程问题解析与练习题下载
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
知识要点
相遇问题中“不同时出发”，就像两个人约好见面，但其中一个早到了，先自己逛了一会儿，另一个人才来。这时，他们一起走完剩余的路程相遇。
💡 核心概念
两人从两地相向而行（面对面走），但出发时间有先有后。后出发的人开始走的时候，先出发的人已经独自走了一段路。因此，两人“共同行走”的时间是不同的，需要分开计算。
📝 计算法则
- 第一步：算“先走的路程”。先出发的人，在后出发的人还没动身的这段时间里，自己走的路程。公式：先走路程 = 先出发的人的速度 × 先走的时间。
- 第二步：算“剩余路程”。总路程减去先走的路程，就是剩下的需要两人共同完成的路程。
- 第三步：算“相遇时间”。用“剩余路程”除以两人的“速度和”，得到从后出发的人开始走，到两人相遇所用的时间。这个时间是两人共同行走的时间。
- 第四步：求问题所求。根据题目要求，可能求总时间、某人的路程等。特别注意总时间是错开的，先出发的人的总时间 = 先走的时间 + 共同行走的时间。
🎯 记忆口诀
时间不同别着急，先单独来后一起。先走路程要先减，剩下路程合速除。
🔗 知识关联
这建立在经典的“速度、时间、路程”三者关系（路程 = 速度 × 时间）以及“同时出发的相遇问题”（相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和）基础上。也蕴含着“分段处理”的数学思想。
易错点警示
- ❌ 错误1：把两人出发的时间直接相加。例如：甲先走2小时，乙再出发，错误地认为总相遇时间是甲的时间加乙的时间。
✅ 正解：两人的“共同行走时间”是相同的。总时间对于甲来说是（2小时 + 共同时间），对于乙来说就是（共同时间）。
- ❌ 错误2：计算“剩余路程”时，忘记减去“先走的路程”，直接用总路程除以速度和。
✅ 正解：牢记“三部曲”：一减（先走路程），二除（速度和），三加（先走时间）。
- ❌ 错误3：单位不统一。速度是千米/时，但先走的时间给的是分钟，没有换算就计算。
✅ 正解：计算前务必统一单位，通常将分钟化为小时，例如30分钟 = \( 0.5 \) 小时。
三例题精讲
🔥 例题1
小明和小红家相距 \( 600 \) 米。小明每分钟走 \( 70 \) 米，他先出发 \( 2 \) 分钟后，小红才从家出发，每分钟走 \( 80 \) 米，两人相向而行。请问小红出发后几分钟两人相遇？
📌 第一步：算小明先走的路程。小明速度 \( 70 \) 米/分，先走 \( 2 \) 分钟，路程为 \( 70 \times 2 = 140 \) 米。
📌 第二步：算剩余路程。总路程 \( 600 \) 米减去先走的 \( 140 \) 米，剩余 \( 600 - 140 = 460 \) 米。
📌 第三步：算相遇时间（小红出发后）。剩余路程 \( 460 \) 米，两人速度和为 \( 70 + 80 = 150 \) 米/分。相遇时间为 \( 460 \div 150 \) 分钟。
计算：\( 460 \div 150 = \frac{460}{150} = \frac{46}{15} \)（分钟），可以写成带分数 \( 3\frac{1}{15} \) 分钟或约等于 \( 3.07 \) 分钟。
✅ 答案：小红出发后 \( \frac{46}{15} \) 分钟（或 \( 3\frac{1}{15} \) 分钟）两人相遇。
💬 总结：严格遵循“先单独，后一起”的步骤。先出发的人单独走的路程要从总路程里“扣除”。
🔥 例题2
一辆客车和一辆轿车先后从A城开往B城。客车早上6点出发，速度是 \( 60 \) 千米/时。轿车早上8点才从A城出发，速度是 \( 90 \) 千米/时。轿车出发后多久能追上客车？（本题实质是“不同时出发的追及问题”，但分段思考逻辑与相遇问题完全一致）
📌 第一步：算客车先走的路程（路程差）。客车早走 \( 8 - 6 = 2 \) 小时，先走路程为 \( 60 \times 2 = 120 \) 千米。
📌 第二步：理解“剩余路程”。在追及问题中，这“120千米”就是轿车需要追上客车的“路程差”，这个差需要靠速度差来弥补。
📌 第三步：算追及时间（轿车出发后）。速度差为 \( 90 - 60 = 30 \) 千米/时。追及时间为 \( 120 \div 30 = 4 \) 小时。
✅ 答案：轿车出发后 \( 4 \) 小时追上客车。
💬 总结：“不同时出发”的追及问题，第一步同样是计算“先走的路程”（即路程差），然后用“路程差 ÷ 速度差”求时间。思维模型和相遇问题高度相似。
🔥 例题3
一条环形跑道长 \( 400 \) 米。小张和小王从同一地点反向跑步（一个顺时针，一个逆时针）。小张先跑，速度为 \( 5 \) 米/秒。\( 20 \) 秒后小王才出发，速度为 \( 3 \) 米/秒。请问小王出发后多久两人第一次相遇？
📌 第一步：算小张先跑的路程。\( 5 \times 20 = 100 \) 米。
📌 第二步：理解“剩余路程”。环形跑道反向相遇，两人共同跑的路程和是一圈。但小张已经跑了 \( 100 \) 米，所以当小王出发时，两人之间的距离（需要共同完成的）是 \( 400 - 100 = 300 \) 米。
📌 第三步：算相遇时间（小王出发后）。两人速度和为 \( 5 + 3 = 8 \) 米/秒。相遇时间为 \( 300 \div 8 = 37.5 \) 秒。
✅ 答案：小王出发后 \( 37.5 \) 秒两人第一次相遇。
💬 总结：环形跑道问题，关键是确定“第一次相遇时两人路程和（或差）与一圈的关系”。不同时出发时，先出发者单独走的路程会缩短他们最初的距离。
练习题（10道）
- 甲、乙两镇相距 \( 54 \) 千米。李叔叔从甲镇骑自行车去乙镇，速度是 \( 12 \) 千米/时，他出发 \( 1.5 \) 小时后，王叔叔从乙镇骑摩托车去甲镇，速度是 \( 30 \) 千米/时。王叔叔出发后多少小时两人相遇？
- 两列火车从相距 \( 720 \) 千米的两城相对开出。慢车先开出 \( 2 \) 小时，速度为 \( 60 \) 千米/时。快车才开出，速度为 \( 80 \) 千米/时。快车开出几小时后两车相遇？
- 小东和小云分别从学校和自己家同时（注意：此题同时）出发相向而行。小东速度 \( 65 \) 米/分，小云速度 \( 70 \) 米/分，\( 4 \) 分钟后两人还相距 \( 100 \) 米。求小东和小云两家之间的距离。
- 在上一题（第3题）条件中，如果小东提前出发了 \( 2 \) 分钟，然后小云才出发，其他不变（速度、原两家距离不变）。请问从小云出发到他们相遇，用了多少分钟？
- 甲、乙两人从A、B两地骑车相向而行。甲每小时行 \( 15 \) km，乙每小时行 \( 13 \) km。甲比乙早出发 \( 1 \) 小时，结果两人在AB中点相遇。求A、B两地的距离。
- 哥哥和弟弟从家去图书馆。哥哥步行，速度 \( 80 \) 米/分，先出发 \( 5 \) 分钟。弟弟骑自行车，速度 \( 200 \) 米/分去追。弟弟出发多少分钟后能追上哥哥？（不同时追及问题）
- 一辆卡车从仓库往工地送货，速度为 \( 40 \) 千米/时，出发 \( 0.5 \) 小时后，一辆小轿车发现文件遗忘在仓库，也从仓库出发以 \( 80 \) 千米/时的速度去追卡车送文件。小轿车多久能追上卡车？
- 小敏和妈妈约好在公园见面。公园离家 \( 1200 \) 米。妈妈从家出发，速度 \( 75 \) 米/分。小敏 \( 4 \) 分钟后从公园往家走，想迎接妈妈，速度 \( 50 \) 米/分。小敏出发多少分钟后遇到妈妈？
- A、B两港相距 \( 240 \) 千米。甲船从A港出发，顺水航行到B港，船速（静水）\( 20 \) 千米/时，水速 \( 4 \) 千米/时。甲船出发 \( 2 \) 小时后，乙船从B港出发逆水航行到A港，船速（静水）\( 25 \) 千米/时，水速相同。乙船出发后几小时与甲船相遇？
- 甲、乙从周长 \( 600 \) 米的环形跑道上同一地点反向跑步。甲速度是 \( 4 \) 米/秒，乙速度是 \( 6 \) 米/秒。如果甲先跑 \( 25 \) 秒后乙再跑，那么乙出发后多久两人第一次相遇？
奥数挑战（10道）
- 甲、乙两人从A、B两地相向而行。甲走完全程需要 \( 6 \) 小时，乙走完全程需要 \( 4 \) 小时。如果甲先出发 \( 2 \) 小时后乙再出发，问乙出发后几小时两人相遇？
- 快车和慢车从两地相向而行。慢车先开出 \( 30 \) 分钟。已知快车走完全程需要 \( 3 \) 小时，慢车需要 \( 5 \) 小时。两车相遇时，快车比慢车多走了 \( 60 \) 千米。求两地距离。
- 甲、乙两人在环形跑道上跑步。甲速 \( 300 \) 米/分，乙速 \( 240 \) 米/分。同一地点同向出发。甲第一次追上乙时，立即转身反向跑，又过了 \( 1 \) 分钟两人相遇。求跑道周长。
- 小明和小军同时从甲地去乙地。小明骑车，小军步行。小明的速度比小军快 \( 3 \) 倍。途中，小明自行车坏了，修车用了 \( 30 \) 分钟。结果两人同时到达乙地。问小明修车时，小军走了全程的几分之几？（假设二人速度恒定）
- 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 \( 80 \) 米，乙每分钟走 \( 70 \) 米，丙每分钟走 \( 60 \) 米。甲从A地，乙丙从B地同时出发相向而行。甲和乙相遇 \( 3 \) 分钟后与丙相遇。求A、B两地距离。
- 两列火车相向而行。快车长 \( 280 \) 米，慢车长 \( 385 \) 米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是 \( 11 \) 秒。两车错车后，快车继续行驶，\( 30 \) 秒后快车车尾超过慢车车头 \( 105 \) 米。求两车的速度。
- 甲从A地，乙从B地同时出发不停往返于A、B之间。甲速快于乙速。他们第一次迎面相遇在距A地 \( 700 \) 米处，第二次迎面相遇在距B地 \( 400 \) 米处。求A、B两地距离。
- 甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B间不断往返行驶。甲车速度是乙车的 \( \frac{3}{5} \)。两车第 \( 2023 \) 次迎面相遇地点与第 \( 2024 \) 次迎面相遇地点相距 \( 120 \) 千米。求A、B距离。
- 一支 \( 1200 \) 米长的队伍正在行军。通讯员从队尾骑马到队头送信，再立即返回队尾，总共用时 \( 10 \) 分钟。如果队伍和通讯员的速度保持不变，且队伍前进了 \( 1500 \) 米，求通讯员的速度。
- 甲、乙两人从周长为 \( 400 \) 米的环形跑道直径的两端同时出发同向跑步。甲速是乙速的 \( 1.5 \) 倍。问当甲第 \( 5 \) 次追上乙时，甲一共跑了多少米？
生活应用（5道）
- （高铁接驳）从“未来科技城”到“智慧新区”有一条新修的高速铁路和一条平行的高速公路，相距 \( 180 \) 千米。一列高铁上午9点从科技城开往新区，时速 \( 300 \) 千米。一辆智能巴士上午9点30分从新区开往科技城，时速 \( 90 \) 千米。高铁出发后多久会与巴士相遇？
- （无人机配送）两个AI物流仓库A和B相距 \( 15 \) km。上午10:00，A仓库派出一架送货无人机飞往B仓库，速度为 \( 30 \) km/h。10分钟后，B仓库发现需要加急送一件货，也派出一架无人机飞往A仓库，速度为 \( 45 \) km/h。两架无人机会在距离A仓库多少千米处相遇？
- （环保骑行）在“地球日”活动中，小绿和小蓝相约沿着城市绿道骑行。绿道全长 \( 24 \) 公里。小绿从北端出发，计划时速 \( 12 \) 公里。小蓝本应同时从南端出发，时速 \( 15 \) 公里，但因调试共享单车耽误了 \( 10 \) 分钟。他们相遇时，小绿骑了多少公里？
- （太空交会）中国空间站（天宫）在一条近圆轨道上运行，每 \( 90 \) 分钟绕地球一周。一艘货运飞船从地面发射，为了与天宫对接，需要在较低的转移轨道上加速追赶。假设飞船进入轨道时，天宫正好在它前方（沿飞行方向）\( \frac{1}{6} \) 圆周处。已知飞船轨道周期为 \( 100 \) 分钟。问飞船进入轨道后，至少需要飞行多少分钟才能首次与天宫相遇？（本题简化了复杂的轨道力学，仅考虑圆周追赶）
- （智能巡逻）一个智慧园区的周长为 \( 5.6 \) 千米，安装了反向巡逻的AI安防车。东门巡逻车时速 \( 20 \) 公里，西门巡逻车时速 \( 24 \) 公里。为了错峰充电，东门车先启动巡逻，\( 6 \) 分钟后西门车再启动。两车第一次相遇的地点距离东门多少千米？
参考答案与解析
【练习题答案】
解析：李叔叔先走路程 \( 12 \times 1.5 = 18 \) 千米。剩余路程 \( 54 - 18 = 36 \) 千米。速度和 \( 12 + 30 = 42 \) 千米/时。相遇时间 \( 36 \div 42 = \frac{6}{7} \) 小时？等等，仔细计算： \( 36 \div 42 = \frac{6}{7} \approx 0.857 \) 小时。不对，我检查一下。问的是“王叔叔出发后”，所以李叔叔的时间是 \( 1.5 + \frac{6}{7} \)。但选项里没有，我再算一下剩余路程： \( 54 - 18 = 36 \)， 速度和 \( 12+30=42 \)， \( 36/42 = 6/7 \) 小时。答案就是 \( \frac{6}{7} \) 小时。第一题可能我预设的答案太整了。我们把第一题答案改为 \( \frac{6}{7} \)。
解析：慢车先走 \( 60 \times 2 = 120 \) 千米。剩余 \( 720 - 120 = 600 \) 千米。速度和 \( 60+80=140 \) 千米/时。时间 \( 600 \div 140 = \frac{30}{7} \) 小时。
解析：同时出发，\( 4 \) 分钟共走 \( (65+70) \times 4 = 135 \times 4 = 540 \) 米。还差 \( 100 \) 米，所以总距离 \( 540 + 100 = 640 \) 米。
解析：基于上题，两家距离 \( 640 \) 米。小东先走 \( 65 \times 2 = 130 \) 米。剩余 \( 640 - 130 = 510 \) 米。速度和 \( 65+70=135 \) 米/分。时间 \( 510 \div 135 = \frac{34}{9} \) 分钟？等等， \( 510/135 = 102/27 = 34/9 \approx 3.78 \) 分钟。这个看起来合理。就定为 \( \frac{34}{9} \) 分钟。
解析：设乙出发后 \( t \) 小时相遇。则甲走了 \( 15(t+1) \) 千米，乙走了 \( 13t \) 千米。因为在中点相遇，且甲走的多，所以甲走了一半多？不，“中点相遇”意味着两人走的路程相等。所以 \( 15(t+1) = 13t \)？这解出来是负数。不对，相向而行，到中点相遇，意味着每个人走的路程都是全程的一半。设全程为 \( S \)。则甲走了 \( S/2 \)，用时 \( (S/2) \div 15 = S/30 \) 小时。乙走了 \( S/2 \)，用时 \( (S/2) \div 13 = S/26 \) 小时。甲比乙多用了 \( 1 \) 小时，所以 \( S/26 + 1 = S/30 \)。解方程： \( S/26 - S/30 = 1 \)， \( (15S -13S)/390 = 1 \)， \( 2S/390=1 \)， \( S=195 \) 千米。
解析：哥哥先走 \( 80 \times 5 = 400 \) 米。速度差 \( 200 - 80 = 120 \) 米/分。追及时间 \( 400 \div 120 = \frac{10}{3} \) 分钟。
解析：卡车先走 \( 40 \times 0.5 = 20 \) 千米。速度差 \( 80 - 40 = 40 \) 千米/时。时间 \( 20 \div 40 = 0.5 \) 小时。
解析：妈妈先走 \( 75 \times 4 = 300 \) 米。剩余 \( 1200 - 300 = 900 \) 米。速度和 \( 75+50=125 \) 米/分。时间 \( 900 \div 125 = 7.2 \) 分钟？检查： \( 900/125 = 7.2 \)。答案是 \( 7.2 \) 分钟。
解析：甲顺水速度 \( 20+4=24 \) 千米/时，先走 \( 24 \times 2 = 48 \) 千米。乙逆水速度 \( 25-4=21 \) 千米/时。剩余路程 \( 240-48=192 \) 千米。速度和 \( 24+21=45 \) 千米/时（相向而行，水速对相对速度无影响）。时间 \( 192 \div 45 = \frac{64}{15} \approx 4.267 \) 小时。定为 \( \frac{64}{15} \) 小时。
解析：甲先跑 \( 4 \times 25 = 100 \) 米。剩余跑道长（需共同跑完的） \( 600 - 100 = 500 \) 米。速度和 \( 4+6=10 \) 米/秒。时间 \( 500 \div 10 = 50 \) 秒？等等，乙出发后，甲也在跑，所以是相遇问题。是的， \( 500/10=50 \) 秒。答案是 \( 50 \) 秒。
【奥数挑战答案】
解析： 设全程为“1”。甲速 \( \frac{1}{6} \)，乙速 \( \frac{1}{4} \)。甲先走 \( 2 \) 小时，走完 \( \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3} \)。剩余 \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)。速度和 \( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} \)。时间 \( \frac{2}{3} \div \frac{5}{12} = \frac{2}{3} \times \frac{12}{5} = \frac{8}{5} \) 小时。
解析： 设全程为“1”。慢车先走 \( 30 \) 分钟=\( 0.5 \) 小时，走了全程的 \( 0.5 \times \frac{1}{5} = \frac{1}{10} \)。剩余 \( \frac{9}{10} \)，由两车共同走完。从慢车出发到相遇，慢车总共走了 \( \frac{1}{10} + \frac{1}{5} \times t \)，快车走了 \( \frac{1}{3} \times t \)。已知快车比慢车多 \( 60 \) 千米，即 \( (\frac{1}{3}t) - (\frac{1}{10} + \frac{1}{5}t) = \frac{60}{S} \) (S为全程)。又因为 \( t = (\frac{9}{10}) \div (\frac{1}{5}+\frac{1}{3}) = (\frac{9}{10}) \div (\frac{8}{15}) = \frac{9}{10} \times \frac{15}{8} = \frac{27}{16} \) 小时。代入差式： \( \frac{1}{3} \times \frac{27}{16} - \frac{1}{10} - \frac{1}{5} \times \frac{27}{16} = \frac{9}{16} - \frac{1}{10} - \frac{27}{80} = \frac{45}{80} - \frac{8}{80} - \frac{27}{80} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8} \)。所以 \( \frac{1}{8} \) 的全程是 \( 60 \) 千米，全程 \( S = 60 \times 8 = 480 \) 千米？检查： \( \frac{1}{8}S = 60 \), \( S=480 \)。但慢车先走 \( 30 \) 分钟走了 \( 480/5 * 0.5 = 48 \) 千米？好像没问题。我们再验证下时间： \( t=27/16=1.6875 \) 小时。慢车总路程 \( 48 + (480/5)*1.6875 = 48+96*1.6875=48+162=210 \)。快车路程 \( (480/3)*1.6875=160*1.6875=270 \)。差 \( 60 \)，正确。答案是 \( 480 \) 千米。
解析： 甲第一次追上乙是一个追及问题。设跑道周长为 \( C \)，速度差 \( 60 \) 米/分，追及时间 \( T = C / 60 \)。此时甲比乙多跑一圈。然后反向跑，变成了相遇问题，相遇时间 \( 1 \) 分钟，路程和 \( C \)。所以 \( (300+240) \times 1 = C \)，得出 \( C = 540 \) 米？不对，这里 \( C \) 应该同时满足两个条件。从反向跑相遇条件直接得 \( C=540 \) 米。但验证追及：时间 \( T = 540/60 = 9 \) 分钟，甲跑了 \( 300*9=2700 \)，乙跑了 \( 240*9=2160 \)，差 \( 540 \)，正确。所以答案是 \( 540 \) 米。我原来给的可能复杂了。
解析： 设小军速度为 \( v \)，则小明速度为 \( 4v \)（快3倍即4倍）。设总路程为 \( S \)。小明修车 \( 30 \) 分钟 = \( 0.5 \) 小时，小军在这 \( 0.5 \) 小时内走了 \( 0.5v \) 的路程。两人同时到达，所以总时间相等：小军时间 \( S/v \)，小明骑车时间 \( S/(4v) \)，加上修车 \( 0.5 \) 小时。所以 \( S/v = S/(4v) + 0.5 \)。两边乘以 \( 4v \)： \( 4S = S + 2v \)，得 \( 3S = 2v \)， \( v = 1.5S \)。代入小军走的时间： \( S/v = S/(1.5S) = 2/3 \) 小时。小明修车时，小军走了 \( 0.5v = 0.5 \times 1.5S = 0.75S \)。占全程的 \( 0.75 \)。等等，这不对，小军总时间才 \( 2/3 \) 小时 ≈ \( 40 \) 分钟，修车 \( 30 \) 分钟不可能走 \( 0.75S \)。我设错了。设小明速度是小军的 \( a \) 倍？“快3倍”通常理解为是小军的 \( 1+3=4 \) 倍。但可能引起歧义，我们按“是小军的4倍”算。方程 \( S/v = S/(4v) + 0.5 \) 没错。解： \( S/v - S/(4v) = 0.5 \) => \( (3S)/(4v) = 0.5 \) => \( S/v = (0.5*4)/3 = 2/3 \) 小时。即小军总时间 \( 40 \) 分钟。小明骑车时间 \( S/(4v) = (S/v)/4 = (2/3)/4 = 1/6 \) 小时 = \( 10 \) 分钟。修车 \( 30 \) 分钟。符合总时间 \( 40 \) 分钟。修车时小军走了 \( 30 \) 分钟 = \( 0.5 \) 小时，路程 \( 0.5v \)。需要求 \( 0.5v / S \)。由 \( S/v = 2/3 \) 得 \( v/S = 3/2 \)。所以 \( 0.5v/S = 0.5 \times 3/2 = 3/4 \)。所以修车时小军走了全程的 \( \frac{3}{4} \)。答案 \( \frac{3}{4} \)。
解析： 设甲与乙相遇时用了 \( t \) 分钟。则甲走了 \( 80t \)，乙走了 \( 70t \)，两地距离为 \( 80t+70t=150t \)。甲与丙相遇用了 \( t+3 \) 分钟，甲走了 \( 80(t+3) \)，丙走了 \( 60(t+3) \)，两地距离为 \( 80(t+3)+60(t+3)=140(t+3) \)。所以 \( 150t = 140(t+3) \)，解得 \( 10t = 420 \), \( t=42 \) 分钟。距离 \( 150 \times 42 = 6300 \) 米？单位是米，没错，但数字不大。检查： \( 140*(42+3)=140*45=6300 \)。正确。答案是 \( 6300 \) 米。
解析： “坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是 \( 11 \) 秒”意味着两车相对速度为 \( (慢车长) \div 11 = 385 \div 11 = 35 \) 米/秒。这是两车的速度和。“快车车尾超过慢车车头 \( 105 \) 米”是一个追及问题。错车后，快车尾和慢车头同向运动，快车尾要超过慢车头，需要比慢车多走两车长度之和 \( 280+385=665 \) 米？不对，“超过”是指快车车尾从与慢车车头平齐，到离开慢车车头前方 \( 105 \) 米，快车尾比慢车头多走的距离是 \( 快车长+105 \) 米？我们画图：初始（刚错完车）：快车尾在慢车头后面？错车结束瞬间，两车分离，快车尾在慢车头的前方还是后方？题目说“快车继续行驶，\( 30 \) 秒后快车车尾超过慢车车头 \( 105 \) 米”。说明错车结束时，快车尾还在慢车头后面（否则谈不上“超过”）。超过后，快车尾在慢车头前面 \( 105 \) 米。所以快车尾比慢车头多走的距离 = 两车初始距离差 + 105。初始距离差是多少？错车结束时，两车刚好分离，可以认为快车尾与慢车头非常接近，距离近似为0。所以多走的距离就是 \( 105 \) 米。在 \( 30 \) 秒内，快车尾比慢车头多走 \( 105 \) 米，所以速度差 \( 105 \div 30 = 3.5 \) 米/秒。设快车速 \( v_k \)，慢车速 \( v_m \)。有 \( v_k + v_m = 35 \)， \( v_k - v_m = 3.5 \)。解得 \( v_k = 19.25 \)， \( v_m = 15.75 \)。但单位是米/秒，换算成千米/时分别是 \( 69.3 \) 和 \( 56.7 \)，合理。但原答案我可能给错了，这里就按此计算：快车 \( 19.25 \) 米/秒，慢车 \( 15.75 \) 米/秒。
解析： 经典多次相遇问题。设AB距离 \( S \)。第一次相遇，两人共走 \( S \)，甲走 \( 700 \)。所以甲速:乙速 = \( 700 : (S-700) \)。第二次迎面相遇，两人共走 \( 3S \)。甲应走 \( 3 \times 700 = 2100 \) 米。此时相遇点距B地 \( 400 \) 米，说明甲走了 \( S + (S - 400) = 2S - 400 \)（因为从A出发，到B返回，与乙相遇）。所以 \( 2S - 400 = 2100 \)，解得 \( S = 1250 \) 米。检查：第一次甲走700，乙走550，速度比14:11。第二次共走 \( 3*1250=3750 \)，甲走 \( 3750*(14/25)=2100 \)，甲走了 \( 2100 \) 米，即 \( 1250 + 850 \)，距离B地 \( 1250-850=400 \) 米。符合。答案是 \( 1250 \) 米。
解析： 甲乙速度比 \( 3:5 \)。设AB距离为 \( 8 \) 份（方便计算）。第一次迎面相遇，共走 \( 8 \) 份，甲走 \( 3 \) 份。第二次迎面相遇，共走 \( 24 \) 份，甲走 \( 9 \) 份，相遇点距A地 \( 9 \mod 8 = 1 \) 份。第三次，共走 \( 40 \) 份，甲走 \( 15 \) 份， \( 15 \mod 8 = 7 \) 份（距A）。第四次，共走 \( 56 \) 份，甲走 \( 21 \) 份， \( 21 \mod 8 = 5 \) 份。第五次，共走 \( 72 \) 份，甲走 \( 27 \) 份， \( 27 \mod 8 = 3 \) 份。观察，相遇点依次在距A地 \( 3, 1, 7, 5, 3, 1... \) 份，每 \( 4 \) 次一个循环。第 \( 2023 \) 次： \( 2023 \mod 4 = 3 \)，对应位置是 \( 7 \) 份。第 \( 2024 \) 次：余 \( 0 \)（即4），对应位置是 \( 5 \) 份。两次相遇点相距 \( 7-5=2 \) 份，对应 \( 120 \) 千米。所以 \( 1 \) 份 \( 60 \) 千米，全程 \( 8 \) 份 = \( 480 \) 千米。我原来给的答案可能不同，这里是 \( 480 \) 千米。
解析： 设队伍速度 \( u \)，通讯员速度 \( v \)。从队尾到队头是追及问题，时间 \( t1 = 1200/(v-u) \)。从队头到队尾是相遇问题，时间 \( t2 = 1200/(v+u) \)。总时间 \( t1+t2 = 10 \) 分钟。同时，队伍前进了 \( 1500 \) 米，所以队伍速度 \( u = 1500/10 = 150 \) 米/分。代入： \( 1200/(v-150) + 1200/(v+150) = 10 \)。两边除以10： \( 120/(v-150) + 120/(v+150) = 1 \)。通分： \( [120(v+150)+120(v-150)] / (v^2-22500) = 1 \) => \( 240v = v^2 - 22500 \) => \( v^2 - 240v - 22500 = 0 \)。解一元二次方程：判别式 \( 240^2 + 4*22500 = 57600+90000=147600 \)， \( \sqrt{147600} = \sqrt{14400*10.25} \) 约 \( 384.2 \)。 \( v = (240 ± 384.2)/2 \)，正解 \( v = 312.1 \) 米/分。近似为 \( 312 \) 米/分。
解析： 直径两端出发同向跑，初始距离是半圈 \( 200 \) 米。甲第一次追上乙需要多跑 \( 200 \) 米。之后每次追上需要多跑一圈 \( 400 \) 米。甲第5次追上乙，总共多跑 \( 200 + 400 \times 4 = 200+1600=1800 \) 米。甲速是乙的1.5倍，即速度比 \( 3:2 \)，相同时间内路程比也是 \( 3:2 \)，甲比乙多 \( 1 \) 份对应 \( 1800 \) 米，所以甲跑的总路程是 \( 3 \) 份 = \( 1800 \times 3 = 5400 \) 米。检查：乙跑 \( 2 \) 份 = \( 3600 \) 米，差 \( 1800 \) 米。所以甲跑了 \( 5400 \) 米。
【生活应用答案】
解析：高铁先走 \( 0.5 \) 小时（30分钟），路程 \( 300 \times 0.5 = 150 \) 千米。剩余 \( 180 - 150 = 30 \) 千米。速度和 \( 300+90=390 \) 千米/时。时间 \( 30 \div 390 = \frac{1}{13} \) 小时。注意问的是“高铁出发后多久”，所以总时间 \( 0.5 + \frac{1}{13} = \frac{7.5}{13} \)？更准确： \( \frac{1}{2} + \frac{1}{13} = \frac{13}{26} + \frac{2}{26} = \frac{15}{26} \) 小时。答案是 \( \frac{15}{26} \) 小时。
解析：A无人机先飞 \( 10 \) 分钟 = \( \frac{1}{6} \) 小时，路程 \( 30 \times \frac{1}{6} = 5 \) km。剩余 \( 15 - 5 = 10 \) km。速度和 \( 30+45=75 \) km/h。相遇时间 \( 10 \div 75 = \frac{2}{15} \) 小时。A无人机总路程 \( 5 + 30 \times \frac{2}{15} = 5 + 4 = 9 \) km。
解析：小蓝耽误 \( 10 \) 分钟 = \( \frac{1}{6} \) 小时。小绿先走 \( 12 \times \frac{1}{6} = 2 \) km。剩余 \( 24 - 2 = 22 \) km。速度和 \( 12+15=27 \) km/h。相遇时间（小蓝出发后） \( 22 \div 27 = \frac{22}{27} \) 小时。小绿总路程 \( 2 + 12 \times \frac{22}{27} = 2 + \frac{264}{27} = \frac{54}{27} + \frac{264}{27} = \frac{318}{27} = \frac{106}{9} \) km？计算： \( 2 = 54/27 \)， \( 264/27+54/27=318/27=106/9 \approx 11.78 \)。检查：小绿速度 \( 12 \)，总时间 \( 1/6 + 22/27 = 9/54 + 44/54 = 53/54 \) 小时。路程 \( 12 * 53/54 = 636/54 = 106/9 \) km。正确。
解析：把轨道周长看作“1”。天宫速度（角速度） \( \frac{1}{90} \) 圈/分，飞船速度 \( \frac{1}{100} \) 圈/分。初始角度差 \( \frac{1}{6} \) 圈。这是一个追及问题（飞船追天宫）。速度差 \( \frac{1}{100} - \frac{1}{90} = \frac{9-10}{900} = -\frac{1}{900} \)。速度为负，说明飞船慢，永远追不上？但飞船在低轨道，周期长，实际上角速度小，是天宫追飞船？题目说“飞船在较低的转移轨道上”，通常低轨道角速度大（周期短），但这里给了飞船周期 \( 100 \) 分钟 > 天宫 \( 90 \) 分钟，所以飞船角速度小。那么是天宫追飞船。所以相对速度是 \( \frac{1}{90} - \frac{1}{100} = \frac{1}{900} \) 圈/分。初始天宫在飞船前方 \( 1/6 \) 圈，所以是天宫追飞船，相遇时间为 \( (1/6) \div (1/900) = 150 \) 分钟。但问“飞船进入轨道后，至少需要飞行多少分钟才能首次与天宫相遇”，答案就是 \( 150 \) 分钟。
解析：东门车先走 \( 6 \) 分钟 = \( 0.1 \) 小时，路程 \( 20 \times 0.1 = 2 \) km。剩余周长 \( 5.6 - 2 = 3.6 \) km。速度和 \( 20+24=44 \) km/h。相遇时间 \( 3.6 \div 44 = 0.081818... = \frac{9}{110} \) 小时。东门车总路程 \( 2 + 20 \times \frac{9}{110} = 2 + \frac{180}{110} = 2 + \frac{18}{11} = \frac{40}{11} \approx 3.636 \) km。距离东门 \( 3.636 \) km？但环形跑道，距离东门可能是顺时针或逆时针较短的距离。东门车顺时针走，相遇时它走了 \( 40/11 \approx 3.636 \) km，跑道周长 \( 5.6 \) km，所以距离东门顺时针方向 \( 3.636 \) km，逆时针方向 \( 5.6-3.636=1.964 \) km。问“第一次相遇的地点距离东门多少千米”，通常指较短的路径，所以是 \( 1.964 \) km，但更精确计算： \( 5.6 - 40/11 = (61.6-40)/11 = 21.6/11 = 1.9636... \) km。可简化为 \( \frac{108}{55} \) km。