行程相遇问题解题技巧与练习题 PDF 下载（含答案）| 四年级五年级奥数应用题详解
适用年级
五年级
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：相遇问题：基本公式 原理
- 核心概念：哈喽！我是阿星。想象一下，你和你的好朋友约好，分别从公园的两头，面对面走。你们俩都在努力靠近对方，对吧？那么你们俩一起努力缩短这段距离的“合体速度”，就是你们各自速度加起来的总和。这就是我演示的：每分钟距离缩短的速度 = 速度和。原来总共有那么长的路要走（总路程），现在你们俩“合体”一起走（用速度和），那相遇所需要的时间，自然就是用总路程除以这个“合体速度”啦！所以，相遇时间 = 路程 ÷ 速度和。就像两个人一起吃一块大蛋糕，吃得越快（速度和），吃完的时间（相遇时间）就越短！
- 计算秘籍：
- 找主角：确定两个运动物体（人或车），以及他们开始的路程 \( S \)。
- 标速度：明确他们各自的速度，假设为 \( v_1 \) 和 \( v_2 \)。
- 算合力：计算他们的速度和 \( v_{\text{和}} = v_1 + v_2 \)。
- 求时间：用总路程除以速度和，得到相遇时间 \( t \)，公式为 \( t = \frac{S}{v_1 + v_2} \)。
- 阿星口诀：面对面走，速度相加；路除以它，相遇时间到！
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：把两个速度分开算时间。 → ✅ 正解：记住你们是同时、面对面在缩短距离，所以必须把速度加起来，作为一个整体的效率来计算。单独算没有意义。
- ❌ 错误2：单位不统一就计算。 → ✅ 正解：路程用米，速度就要用米/秒；路程用千米，速度就要用千米/时。计算前务必统一单位，否则答案会错得离谱！
🔥 例题精讲
例题1：小明和小红分别从相距 \( 360 \) 米的两端面对面走来。小明每分钟走 \( 40 \) 米，小红每分钟走 \( 50 \) 米。他们多久后相遇？
📌 解析：
- 找路程：总路程 \( S = 360 \) 米。
- 找速度：小明速度 \( v_1 = 40 \) 米/分，小红速度 \( v_2 = 50 \) 米/分。
- 算合力：速度和 \( v_{\text{和}} = v_1 + v_2 = 40 + 50 = 90 \) (米/分)。
- 求时间：相遇时间 \( t = \frac{S}{v_{\text{和}}} = \frac{360}{90} = 4 \) (分钟)。
✅ 总结：直接套用核心公式，注意单位已统一（米和分钟）。
例题2：甲、乙两车从相距 \( 270 \) 千米的两城相对开出。甲车速度是 \( 60 \) 千米/时，乙车速度是甲车的 \( \frac{3}{4} \)。几小时后两车相遇？
📌 解析：
- 找路程：总路程 \( S = 270 \) 千米。
- 找速度：甲车速度 \( v_{\text{甲}} = 60 \) 千米/时。乙车速度 \( v_{\text{乙}} = 60 \times \frac{3}{4} = 45 \) (千米/时)。
- 算合力：速度和 \( v_{\text{和}} = 60 + 45 = 105 \) (千米/时)。
- 求时间：相遇时间 \( t = \frac{S}{v_{\text{和}}} = \frac{270}{105} = \frac{18}{7} \) 或约 \( 2\frac{4}{7} \) (小时)。
✅ 总结：第一步往往需要根据题意先求出隐藏的速度，再进行相遇计算。
例题3（进阶）：阿星和博士从实验室两端同时出发，相向而行。已知阿星速度是 \( 1.2 \) 米/秒，博士速度是 \( 0.8 \) 米/秒。他们 \( 10 \) 秒后相遇。请问实验室长廊有多长？
📌 解析：
- 此题是已知相遇时间和速度，反求总路程。
- 算合力：速度和 \( v_{\text{和}} = 1.2 + 0.8 = 2.0 \) (米/秒)。
- 根据公式 \( t = \frac{S}{v_{\text{和}}} \)，变形得 \( S = v_{\text{和}} \times t \)。
- 求路程：长廊长度 \( S = 2.0 \times 10 = 20 \) (米)。
✅ 总结：公式 \( S = v_{\text{和}} \times t \) 是基本公式的变形，同样重要！它揭示了总路程等于“合体速度”在相遇时间内完成的工作量。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 小A和小B相距 \( 200 \) 米，面对面行走。小A速度 \( 3 \) 米/秒，小B速度 \( 2 \) 米/秒。几秒后相遇？
- 两辆自行车从相距 \( 15 \) 千米的地方相对骑出，速度分别是 \( 12 \) 千米/时和 \( 18 \) 千米/时。多久相遇？
- 甲、乙两人从桥两头相向而行，桥长 \( 300 \) 米。甲每分钟走 \( 70 \) 米，乙每分钟走 \( 80 \) 米。几分钟后两人在桥上相遇？
- 已知两地相距 \( 120 \) 千米，两辆汽车相对开出，速度分别为 \( 45 \) 千米/时和 \( 35 \) 千米/时。求相遇时间。
- 蚂蚁小黑和小黄从一根 \( 1.5 \) 米长的树枝两端同时相向爬行，小黑每秒爬 \( 2 \) 厘米，小黄每秒爬 \( 3 \) 厘米。多少秒后它们会面？
- 两列火车从相距 \( 600 \) 公里的车站相对开出，快车速度 \( 100 \) 公里/时，慢车速度是快车的 \( 0.8 \) 倍。几小时后相遇？
- 我以 \( 4 \) 千米/时的速度，朋友以 \( 5 \) 千米/时的速度，从相距 \( 2.7 \) 千米的两地同时出发相向而行。我们多久能见面？
- 一个环形跑道长 \( 400 \) 米，小明和小红从同一点反向（面对面）跑步出发。小明每秒跑 \( 5 \) 米，小红每秒跑 \( 3 \) 米。他们第一次相遇在出发后多少秒？
- 两艘船从河两岸同时相对划出，河宽 \( 480 \) 米。甲船速度 \( 50 \) 米/分，乙船速度 \( 30 \) 米/分。几分钟后相遇？
- 已知相遇时间为 \( 5 \) 小时，两车速度和为 \( 110 \) 千米/时。求两地之间的距离。
二、奥数挑战
- 甲、乙从AB两地相向而行，甲速度每小时比乙快 \( 6 \) 千米。他们 \( 3 \) 小时后在距中点 \( 9 \) 千米处相遇。求AB两地距离。
- 两列火车长分别为 \( 150 \) 米和 \( 200 \) 米，相向而行。快车上的乘客看见慢车驶过窗口的时间是 \( 5 \) 秒。已知快车速度是慢车的 \( 2 \) 倍，求两车速度。
- 甲、乙两人在周长为 \( 400 \) 米的环形跑道上，从同一地点同时反向出发。甲速度是乙的 \( \frac{4}{3} \) 倍。当两人第 \( 5 \) 次相遇时，乙跑了多少米？
- A、B两地相距 \( 90 \) 千米。甲从A地，乙从B地同时出发，相向而行。相遇后甲继续向B地前进，\( 4 \) 小时后到达；乙继续向A地前进，\( 9 \) 小时后到达。求甲、乙各自的速度。
- 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 \( 80 \) 米，乙每分钟走 \( 70 \) 米，丙每分钟走 \( 60 \) 米。甲从A地，乙、丙从B地同时出发相向而行。甲和乙相遇后，过 \( 15 \) 分钟又和丙相遇。求A、B两地距离。
第三关：生活应用（5道）
- （AI数据传输）两个分布式AI节点需要同步一个模型。节点A以 \( 50 \) MB/秒的速度发送数据包，节点B以 \( 30 \) MB/秒的速度接收并处理。它们之间网络通道的“数据距离”相当于 \( 800 \) MB。若它们同时开始传输和处理，多久后数据“相遇”（即传输完成）？
- （双机协作）无人机A和无人机B从基地两端同时起飞，沿一条直线航线相向巡检。A的平均速度是 \( 15 \) 米/秒，B的平均速度是 \( 12 \) 米/秒。航线总长 \( 10.8 \) 千米。它们相遇后，会交换数据然后各自返航。问从起飞到相遇，经过了多长时间？
- （网购物流）你的快递从上海仓发出，物流车速度 \( 80 \) 千米/时。同时，你从杭州的家出发，开车以 \( 100 \) 千米/时的速度去“迎接”快递车。上海仓到你家距离 \( 180 \) 千米。假设道路为直线，你们多久后会相遇？
- （算法优化）一个大型排序任务被拆分成两部分，由两个核心同时处理。核心A处理速度为 \( 10^4 \) 个数据/毫秒，核心B为 \( 0.6 \times 10^4 \) 个数据/毫秒。总共有 \( 8 \times 10^7 \) 个数据。如果它们“相向处理”（从数据队列的两头开始），多久能完成？
- （太空交会）在一条预设轨道上，飞船甲从空间站出发，以 \( 7.5 \) 公里/秒的速度前往火星。\( 12 \) 小时后，地面指挥中心发现一个重要部件遗忘，立即发射一艘更快的飞船乙以 \( 10 \) 公里/秒的速度追赶并“相遇”（传递部件）。假设轨道笔直，从乙发射到追上甲，需要多少小时？（此题实为追及，但考验对速度合成的理解）
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：相遇问题：基本公式 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点往往不在于公式本身 \( t = \frac{S}{v_1 + v_2} \)，而在于识别和应用场景。学生容易把“面对面”的相遇问题和“同向”的追及问题混淆。关键是理解“面对面时，距离缩短的效率是两人效率之和”这一物理图景。如果题目背景复杂（如环形、多次相遇、速度变化），这个基本图景被掩盖，就会觉得难。建议始终从“速度和”这个最朴素的视角切入分析。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：帮助巨大！这是运动学模型的基石。
- 代数思维：它训练你从问题中抽象出 \( S, v, t \) 三个量，并建立它们的关系式 \( S = v \times t \)。这是函数和方程思想的启蒙。
- 物理基础：速度的合成与分解、相对运动的概念在此初次体现。例如，以其中一人为参照物，另一人的相对速度就是 \( v_1 + v_2 \)。
- 进阶桥梁：它是解决追及问题、流水行船问题、多次相遇问题、工程合作问题（将路程视为工作总量）的思维原型。掌握了“合作效率”，就能理解 \( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{T} \) 这类公式。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！面对任何涉及“两个物体”、“同时”、“相向而行”的题目，请立刻执行以下三步：
- 画草图：用一条线段表示总路程 \( S \)，标出两个起点和方向。
- 列公式：立刻写下核心公式 \( t = \frac{S}{v_1 + v_2} \) 或其变形 \( S = (v_1 + v_2) \times t \)。
- 代数字：将题目中给出的数字或字母，对应到公式中的 \( S, v_1, v_2, t \) 上。缺哪个就求哪个。
这个“套路”能解决80%的基础相遇问题。剩下20%的难题，往往是需要你先利用其他条件求出 \( v_1, v_2 \) 或 \( S \) 中的某一个，然后再套用这个套路。
参考答案与解析
第一关：基础热身
二、奥数挑战
第三关：生活应用