流水行船问题公式与解法详解：顺水逆水速度、相遇追及题型解析与练习题PDF下载
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2025-12-20
💡 阿星精讲：流水行船：顺逆公式 原理
- 核心概念：想象一下，我是阿星，要穿过一个巨大的机场大厅。大厅中间有一条很长的传送带（就是水流）。如果我自己在平地上走，我的速度就是 \( v_{\text{船}} \)（船在静水中的速度）。现在，我走上这条传送带，会发生什么呢？
- 顺水：传送带运行的方向，正好是我想去的方向！太爽了！传送带会推着我前进。我最终的速度，等于我自己走的速度加上传送带推我的速度 \( v_{\text{水}} \)。所以：顺水速度 = 船速 + 水速，即 \( v_{\text{顺}} = v_{\text{船}} + v_{\text{水}} \)。
- 逆水：糟糕，我要去的方向和传送带运行方向相反！传送带会阻碍我前进。我每走一步，都要对抗传送带把我往后拉的力。我最终的速度，等于我自己走的速度减去传送带拖我后腿的速度 \( v_{\text{水}} \)。所以：逆水速度 = 船速 - 水速，即 \( v_{\text{逆}} = v_{\text{船}} - v_{\text{水}} \)。
- 计算秘籍：
- 识别角色：从题目中找出“船在静水中的速度”（阿星自己的速度）和“水流速度”（传送带的速度）。
- 套用公式：
- 求顺水速度：\( v_{\text{顺}} = v_{\text{船}} + v_{\text{水}} \)
- 求逆水速度：\( v_{\text{逆}} = v_{\text{船}} - v_{\text{水}} \)
- 求船速：\( v_{\text{船}} = (v_{\text{顺}} + v_{\text{逆}}) \div 2 \)
- 求水速：\( v_{\text{水}} = (v_{\text{顺}} - v_{\text{逆}}) \div 2 \)
- 注意单位：计算前确保速度单位一致（通常是 千米/时 或 米/分）。
- 阿星口诀：船水同向顺水加，船水逆向逆水减。知和知差求船水，和差一半就搞定！
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：看到速度就直接加或减，不看船和水流的方向关系。
✅ 正解：必须判断是同向（顺水）还是反向（逆水）。先画示意图，标出船自身方向和水流方向，再决定用加号还是减号。 - ❌ 错误2：单位不统一，例如船速是千米/时，时间用的是分钟，直接相乘。
✅ 正解：“路程=速度×时间”中，速度和时间单位必须匹配。如速度用千米/时，时间必须用小时；或用米/分，时间用分钟。计算前先统一单位。
🔥 例题精讲
例题1：阿星划着小船在河里游玩。小船在平静湖面上的速度是 \( 15 \) 千米/时，河水以 \( 3 \) 千米/时的速度流动。那么，阿星顺流而下的速度是多少？逆流而上的速度又是多少？
📌 解析：
- 识别信息：船速 \( v_{\text{船}} = 15 \) 千米/时，水速 \( v_{\text{水}} = 3 \) 千米/时。
- 顺水速度：船与水同向，速度相加。
\( v_{\text{顺}} = v_{\text{船}} + v_{\text{水}} = 15 + 3 = 18 \)（千米/时）。 - 逆水速度：船与水反向，速度相减。
\( v_{\text{逆}} = v_{\text{船}} - v_{\text{水}} = 15 - 3 = 12 \)（千米/时）。
✅ 总结：直接应用公式，关键是分清“顺”（加）和“逆”（减）。
例题2：一艘轮船在一条河中航行。已知它顺流而下，\( 4 \) 小时航行了 \( 120 \) 千米；逆流而上，\( 5 \) 小时航行了 \( 100 \) 千米。请问轮船在静水中的速度和水流速度各是多少？
📌 解析：
- 由路程和时间，先求出顺、逆水速度：
\( v_{\text{顺}} = 120 \div 4 = 30 \)（千米/时）
\( v_{\text{逆}} = 100 \div 5 = 20 \)（千米/时）。 - 利用“计算秘籍”中的公式：
船速 \( v_{\text{船}} = (v_{\text{顺}} + v_{\text{逆}}) \div 2 = (30 + 20) \div 2 = 25 \)（千米/时）。
水速 \( v_{\text{水}} = (v_{\text{顺}} - v_{\text{逆}}) \div 2 = (30 - 20) \div 2 = 5 \)（千米/时）。
✅ 总结：已知顺、逆水速度（或能求出），求船速和水速，就用“和差公式”：船速是平均数，水速是差数的一半。
例题3：阿星驾驶一艘摩托艇，从A码头到B码头顺水需要 \( 2 \) 小时，从B返回A逆水需要 \( 3 \) 小时。已知水流速度是 \( 4 \) 千米/时。请问A、B两个码头相距多少千米？
📌 解析：
- 设船在静水中的速度为 \( v_{\text{船}} \) 千米/时。则：
顺水速度 \( v_{\text{顺}} = v_{\text{船}} + 4 \)
逆水速度 \( v_{\text{逆}} = v_{\text{船}} - 4 \)。 - 往返路程相等。利用“路程=速度×时间”列方程：
顺水路程 \( = (v_{\text{船}} + 4) \times 2 \)
逆水路程 \( = (v_{\text{船}} - 4) \times 3 \)
∴ \( (v_{\text{船}} + 4) \times 2 = (v_{\text{船}} - 4) \times 3 \)。 - 解方程：
\( 2v_{\text{船}} + 8 = 3v_{\text{船}} - 12 \)
\( 3v_{\text{船}} - 2v_{\text{船}} = 8 + 12 \)
\( v_{\text{船}} = 20 \)（千米/时）。 - 求路程（代入顺水或逆水公式均可）：
顺水速度 \( v_{\text{顺}} = 20 + 4 = 24 \)（千米/时）
路程 \( S = v_{\text{顺}} \times t_{\text{顺}} = 24 \times 2 = 48 \)（千米）。
✅ 总结：对于往返问题，抓住“往返路程相等”这个关键等量关系来列方程，是通用解法。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 一只小船在静水中每小时行 \( 10 \) 千米，水流速度是 \( 2 \) 千米/时。顺水速度是多少？
- 同上题条件，逆水速度是多少？
- 某船顺水航行 \( 3 \) 小时走了 \( 60 \) 千米，水速为 \( 5 \) 千米/时。求船在静水中的速度。
- 一艘轮船逆水航行 \( 4 \) 小时走了 \( 48 \) 千米，水速为 \( 3 \) 千米/时。求船在静水中的速度。
- 已知顺水速度 \( 28 \) 千米/时，逆水速度 \( 20 \) 千米/时，求船速和水速。
- 两地水路长 \( 120 \) 千米，船顺水需 \( 5 \) 小时，逆水需 \( 8 \) 小时。求船速。
- 两地水路长 \( 96 \) 千米，船顺水需 \( 6 \) 小时，逆水需 \( 12 \) 小时。求水速。
- 船在静水中速度是 \( v \) 千米/时，水流速度是 \( 3 \) 千米/时。顺水航行 \( t \) 小时的路程用式子表示为？
- 一段河道，水速为 \( 4 \) 千米/时。某船顺水而下用了 \( 2.5 \) 小时，逆水返回用了 \( 3.5 \) 小时。求这段河道的长度。
- 一艘观光艇顺流航行 \( 18 \) 千米和逆流航行 \( 12 \) 千米所用时间相同。已知水速 \( 2 \) 千米/时，求艇在静水中的速度。
二、奥数挑战
- （杯赛真题）某船在静水中速度是水流速度的 \( 5 \) 倍。它从上游甲地到下游乙地用了 \( 6 \) 小时，从乙地返回甲地需要多少小时？
- 两码头相距 \( 360 \) 千米，一艘轮船往返两码头需要 \( 35 \) 小时。已知逆水航行比顺水航行多花 \( 5 \) 小时，求水流速度。
- 一条河上有甲、乙两港。一艘船从甲到乙顺水需 \( 4 \) 小时，从乙到甲逆水需 \( 6 \) 小时。一块木板从甲漂到乙需要多少小时？（木板速度=水速）
- 某船第一次顺流航行 \( 60 \) 千米，逆流航行 \( 40 \) 千米，共用 \( 10 \) 小时；第二次顺流航行 \( 20 \) 千米，逆流航行 \( 50 \) 千米，也用了 \( 10 \) 小时。求静水中船速和水速。
- 两艘船在静水中速度分别为 \( 20 \) 千米/时和 \( 16 \) 千米/时。它们同时从同一码头出发，同向（顺流）航行 \( 3 \) 小时后，相距多远？（水速 \( 4 \) 千米/时）
- （相遇问题）A、B两港相距 \( 240 \) 千米。甲船从A顺水到B，乙船从B逆水到A，同时出发。已知甲船速 \( 20 \) 千米/时，乙船速 \( 30 \) 千米/时，水速 \( 5 \) 千米/时。几小时后两船相遇？
- （追及问题）一条河上下游相距 \( 90 \) 千米。甲、乙两船分别从上游和下游同时出发，相向而行，在途中相遇后，甲船又经过 \( 4 \) 小时到达下游，乙船又经过 \( 9 \) 小时到达上游。求船在静水中的速度。（两船静水速度相同）
- 船在河中航行，在A、B两港之间往返一次的平均速度是 \( 24 \) 千米/时。已知顺水速度是逆水速度的 \( 1.5 \) 倍。求水速是船速的几分之几？
- 一艘汽艇在河道中航行，用 \( 3 \) 小时顺水航行了 \( 87 \) 千米，然后立即用 \( 4 \) 小时逆水返回原处。求这艘汽艇在静水中航行 \( 70 \) 千米所需的时间。
- 小明在河中游泳，逆流而上，在A处丢失一只水壶。\( 20 \) 分钟后他才发现，立即回头追寻，在距离A处 \( 2 \) 千米的B处追到。求水流速度。（假设小明在静水中速度不变）
第三关：生活应用（5道）
- （AI物流）一个水上AI快递机器人，在无风无浪的湖面巡航速度为 \( 12 \) km/h。今天执行任务时，它在一条流速为 \( 3 \) km/h的河道中，先顺流配送 \( 10 \) km，再立即逆流返回起点。整个配送任务需要多少小时？
- （航天轨道）想象一个简化模型：空间站以固定速度 \( v_s \) 在轨道运行（类似水流）。一艘补给飞船自身动力速度为 \( v_c \)。若飞船从后方追赶空间站（同向），则接近速度为 \( v_c + v_s \)；若从前方迎面对接（反向），则接近速度为 \( v_c - v_s \)。已知飞船迎面对接需 \( t_1 \) 小时，同向追及需 \( t_2 \) 小时 (\( t_1 < t_2 \))。请写出用 \( t_1\), \( t_2 \) 表示 \( v_c \) 和 \( v_s \) 的公式。
- （网购效率）一条大江上的货运，顺流时自动化货船的运输效率（速度）比逆流时高 \( 50\% \)。已知水速为 \( 5 \) 节（海里/时）。求自动化货船在静水中的速度。
- （环境监测）一艘环境监测无人船，计划在一条河中往返于两个监测点A、B之间。为了确保数据同步，它往返一次的总时间必须控制在 \( 8 \) 小时以内。已知AB距离 \( 36 \) 千米，水速 \( 2 \) 千米/时。问无人船在静水中的最低速度需要达到多少千米/时？
- （无人机送餐）这不是流水，是“流风”！一架送餐无人机，在无风时速度为 \( 30 \) km/h。今天刮着稳定的风，风速为 \( w \) km/h。无人机从餐厅到顾客家是顺风，用时 \( 12 \) 分钟；返回时逆风，用时 \( 18 \) 分钟。请问餐厅和顾客家之间的直线距离是多少千米？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：流水行船：顺逆公式 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：核心难点在于要同时处理两个独立运动的叠加。船（或人）自身是一个运动源，水流（或传送带）是另一个运动源。很多同学习惯处理单一对象的运动，当两个对象的运动方向可能相同也可能相反时，就容易混淆。关键在于建立“相对速度”的概念：船对岸的速度 = 船对水的速度 ± 水对岸的速度。用阿星的传送带比喻，就是把抽象的水流变成了可视化的参照物，降低了理解门槛。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：这是物理和数学的完美结合点，意义重大：
- 物理思维：这是“运动合成与分解”的雏形，为高中物理学习速度矢量合成打下直观基础。公式 \( \vec{v}_{\text{对地}} = \vec{v}_{\text{对水}} + \vec{v}_{\text{水对地}} \) 就是矢量加法。
- 代数思维：它训练从实际问题中抽象出数学模型（方程或方程组）的能力。例如例题3，本质是解方程 \( (v+4)\times2 = (v-4)\times3 \)。
- 函数思想：如果把船速、水速看作变量，顺（逆）水速度就是它们的一次函数 \( f(v_{\text{船}}) = v_{\text{船}} \pm k \)。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：对于绝大多数标准流水行船问题，可以归结为解一个以 \( v_{\text{船}} \) 和 \( v_{\text{水}} \) 为未知数的二元一次方程组。
核心套路：
1. 设未知数：静水船速 \( v_{\text{船}} \)，水流速度 \( v_{\text{水}} \)。
2. 根据题意，用未知数表示出顺水速度 \( (v_{\text{船}} + v_{\text{水}}) \) 和逆水速度 \( (v_{\text{船}} - v_{\text{水}}) \)。
3. 利用题目给出的路程、时间关系，列出两个独立的方程。
例如：“顺水航行 \( S_1 \) 用 \( t_1 \) 小时” → \( (v_{\text{船}} + v_{\text{水}}) \times t_1 = S_1 \)
“逆水航行 \( S_2 \) 用 \( t_2 \) 小时” → \( (v_{\text{船}} - v_{\text{水}}) \times t_2 = S_2 \)
4. 解这个方程组。很多情况下，可以直接用推导出的“和差公式”\( v_{\text{船}} = \frac{v_{\text{顺}}+v_{\text{逆}}}{2} \)， \( v_{\text{水}} = \frac{v_{\text{顺}}-v_{\text{逆}}}{2} \) 来快速求解。
参考答案与解析
第一关：基础热身
二、奥数挑战
\( 60/x + 40/y = 10 \) ...①
\( 20/x + 50/y = 10 \) ...②
②×3: \( 60/x + 150/y = 30 \) ...③
③-①: \( 110/y = 20 \) → \( y=5.5 \)
代入①: \( 60/x + 40/5.5 = 10 \) → \( x=11 \)
船速 \( = (11+5.5)/2=8.25 \)，水速 \( = (11-5.5)/2=2.75 \) 千米/时。（或直接解x，y即为顺逆水速）
甲路程（顺水）：\( (v+u)t \)；相遇后甲路程（逆水？不对，甲从上游来，相遇前顺水，相遇后到下游，仍是顺水）...仔细审题：甲从上游出发，到相遇是顺水；相遇后甲到达下游，还是顺水。乙从下游出发，到相遇是逆水；相遇后乙到达上游，还是逆水。
故：甲总路程（顺水）：\( (v+u)(t+4) = 90 \)
乙总路程（逆水）：\( (v-u)(t+9) = 90 \)
另外，相遇时：\( (v+u)t + (v-u)t = 90 \) → \( 2vt = 90 \) → \( vt = 45 \)
将 \( vt=45 \) 代入甲方程：\( (v+u)(45/v + 4) = 90 \) ...①
代入乙方程：\( (v-u)(45/v + 9) = 90 \) ...②
由①得：\( 45 + 4v + 45u/v + 4u = 90 \) → \( 4v + 4u + 45u/v = 45 \)
由②得：\( 45 - 9v - 45u/v + 9u = 90 \) → \( -9v + 9u - 45u/v = 45 \)
两式相加：\( -5v + 13u = 90 \) ...(A)
由 \( vt=45 \) 知 \( t=45/v \)，代入①: \( (v+u)(45/v+4)=90 \) 展开与(A)联立可解。更优解法：由甲：\( v+u = 90/(t+4) \)；由乙：\( v-u = 90/(t+9) \)；由相遇：\( 2vt=90 \rightarrow v=45/t \)。代入前两式相加：\( 2v = 90/(t+4) + 90/(t+9) \)，即 \( 90/t = 90/(t+4) + 90/(t+9) \)，约去90：\( 1/t = 1/(t+4) + 1/(t+9) \)，解得 \( t=6 \) 小时。则 \( v=45/6=7.5 \) 千米/时。
第三关：生活应用
\( v_c = \frac{D}{2}(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \) 但更简洁地，船速 \( v_c = \frac{1}{2} ( \frac{D}{t_1} + \frac{D}{t_2} ) = \frac{D(t_1+t_2)}{2t_1t_2} \)，空间站速度 \( v_s = \frac{1}{2} ( \frac{D}{t_1} - \frac{D}{t_2} ) = \frac{D(t_2-t_1)}{2t_1t_2} \)。