行程问题不同时相遇解题技巧详解：公式、例题与练习题PDF下载
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2025-12-20
💡 阿星精讲：相遇问题：不同时出发 原理
- 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，你和朋友赛跑，但他耍赖“抢跑”了10分钟。这时候直接算你们啥时候相遇，是不是感觉脑袋一团乱麻？别急！我们的绝招就是：“时光倒流大法”。我们先去终点看看那个“抢跑”的小明，把他一个人偷偷先跑的 \(10\) 分钟路程给“扣掉”。这样，我们就假装把他拉回了起点，比赛重新开始，两人同时、同地出发！这个世界瞬间就变回了我们最熟悉的“标准相遇模型”。简单说，就是“处理掉捣乱的时间差，让问题回归标准形态”。
- 计算秘籍：
- 算“领先距离”：先走的人在这段时间里，偷偷跑了多远？公式：领先距离 = 先走者的速度 × 先走时间。即 \( S_{\text{领先}} = v_1 \times t_{\text{先}} \)。
- 变“标准模型”：从总路程里“扣掉”这个领先距离，剩下的路程才是两人需要“同时开始走”才能相遇的部分。新的有效路程：\( S_{\text{有效}} = S_{\text{总}} - S_{\text{领先}} \)。
- 用“标准公式”：现在两人速度不变，同时从“新起点”出发走 \( S_{\text{有效}} \)，求相遇时间。相遇时间 = \( S_{\text{有效}} \div (v_1 + v_2) \)。
- 别忘“总时间”：对于后出发的人，这个时间就是他的行走时间。但对于先出发的人，总时间还要加上他先走的那些时间哦！
- 阿星口诀：“有人先跑别慌张，单走路程先减光。剩下路程合力走，相遇时间轻松求。”
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：把两人时间直接相加。例如，小明先走\(10\)分钟，小红后出发，相遇时直接把\(10\)分钟和小红的行走时间相加当总时间。
✅ 正解：时间是连续的，但行走时间是不同的。要先统一研究对象：要么都以总时间为基准，算各自的路程；要么用“扣掉领先距离”法，让时间起点变一致。 - ❌ 错误2：单位不统一。速度是“公里/小时”，先走时间是“分钟”，直接相乘。
✅ 正解：单位一致是计算的基石！必须先把分钟化为小时：\(10 \text{分钟} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \text{小时}\)。
🔥 例题精讲
例题1：小明和小红家相距 \(4 \text{ km}\)。小明每分钟走 \(60 \text{ m}\)，他先出发 \(10\) 分钟后，小红以每分钟 \(80 \text{ m}\)的速度从家出发去迎他。两人出发后多久相遇？
📌 解析：
- 统一单位：总路程 \(S_{\text{总}} = 4 \text{ km} = 4000 \text{ m}\)。小明速度 \(v_{\text{明}} = 60 \text{ m/min}\)，小红速度 \(v_{\text{红}} = 80 \text{ m/min}\)，先走时间 \(t_{\text{先}} = 10 \text{ min}\)。
- 算领先距离：小明\(10\)分钟先走的路程：\(S_{\text{领先}} = v_{\text{明}} \times t_{\text{先}} = 60 \times 10 = 600 \text{ m}\)。
- 变标准模型：剩下需要两人“同时走”的路程：\(S_{\text{有效}} = 4000 - 600 = 3400 \text{ m}\)。
- 求相遇时间（小红出发后）：\(t_{\text{相遇}} = S_{\text{有效}} \div (v_{\text{明}} + v_{\text{红}}) = 3400 \div (60 + 80) = 3400 \div 140 = \frac{170}{7} \text{ min}\)。
✅ 总结：心法就是阿星说的：“先把小明走的减掉”，问题立刻变简单。
例题2：阿星和教授从实验室去会议室，路程 \(1.2 \text{ km}\)。阿星骑平衡车先走，速度 \(15 \text{ km/h}\)。\(4\)分钟后教授发现资料没拿，以 \(9 \text{ km/h}\)的速度追赶。教授出发后多久追上阿星？
📌 解析：
- 这是“追及问题”，但内核相同。阿星先走 \(t_{\text{先}} = 4 \text{ min} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15} \text{ h}\)。
- 阿星的领先距离：\(S_{\text{领先}} = v_{\text{星}} \times t_{\text{先}} = 15 \times \frac{1}{15} = 1 \text{ km}\)。
- “扣掉”这\(1 \text{ km}\)的领先？不对！追及问题的“有效距离”就是这个领先距离本身！教授需要追上的就是阿星多走的这 \(1 \text{ km}\)。
- 变标准模型：想象成教授在起点，阿星在\(1 \text{ km}\)外的前方，两人同时出发，教授追。速度差：\(v_{\text{差}} = 15 - 9 = 6 \text{ km/h}\)。
- 追赶时间：\(t = S_{\text{领先}} \div v_{\text{差}} = 1 \div 6 = \frac{1}{6} \text{ h} = 10 \text{ min}\)。
✅ 总结：无论是相遇还是追及，“先处理时间差造成的距离差”是通用思想。追及问题中，这个距离差直接就是追赶目标。
例题3：两辆快递无人车A和B从相距 \(30 \text{ km}\)的两个仓库同时对向出发配送。A车速度 \(20 \text{ km/h}\)，但程序启动晚，B车出发 \(12\) 分钟后A车才出发。B车速度 \(25 \text{ km/h}\)。请问A车出发后多久两车相遇？相遇点距离A车仓库多远？
📌 解析：
- 这次是“后者先走”，B车先走 \(t_{\text{先}} = 12 \text{ min} = 0.2 \text{ h}\)。
- B车领先距离：\(S_{\text{领先}} = v_{B} \times t_{\text{先}} = 25 \times 0.2 = 5 \text{ km}\)。
- 变标准模型：总路程扣掉B车先走的 \(5 \text{ km}\)，剩下两人同时走的路程：\(S_{\text{有效}} = 30 - 5 = 25 \text{ km}\)。
- A车出发后相遇时间：\(t = S_{\text{有效}} \div (v_A + v_B) = 25 \div (20 + 25) = 25 \div 45 = \frac{5}{9} \text{ h} \approx 33.33 \text{ min}\)。
- 相遇点距A仓距离：即A车走的路程：\(S_A = v_A \times t = 20 \times \frac{5}{9} = \frac{100}{9} \approx 11.11 \text{ km}\)。
✅ 总结：谁先走就扣掉谁的路程。求哪个时间，就以那个时刻作为“同时出发”的起点。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 甲乙两地相距 \(600\)米，小东从甲地出发，每分钟走 \(50\)米，\(3\)分钟后小西从乙地出发，每分钟走 \(70\)米。小西出发后几分钟两人相遇？
- 小方和小圆相距 \(1.8\)千米，小方以 \(80\)米/分的速度走向小圆，先走 \(5\)分钟，小圆以 \(100\)米/分的速度迎过来。他们多久后相遇？
- 一辆摩托车和一辆自行车相距 \(60\)公里，摩托车速度 \(45\)公里/时，自行车速度 \(15\)公里/时。自行车提前 \(1\)小时出发，摩托车几小时后追上自行车？（追及问题）
- 两艘船从港口反向开出，大船速度 \(24\)千米/时，小船速度 \(18\)千米/时。大船先开 \(2\)小时，小船才开。小船开出几小时后两船相距 \(150\)千米？（背离问题）
- 姐姐和弟弟从家去图书馆，路程 \(1200\)米。姐姐每分钟走 \(60\)米，弟弟每分钟走 \(40\)米。弟弟先走 \(4\)分钟，姐姐能追上弟弟吗？如果能，追上时离家多远？
- AB两地相距 \(90\)千米，甲车从A去B，速度 \(40\)千米/时。甲车出发 \(30\)分钟后，乙车从B去A，速度 \(50\)千米/时。相遇时乙车走了多少千米？
- 小明和小华在环形跑道（长 \(400\)米）上反向跑步。小明速度 \(6\)米/秒，小华速度 \(4\)米/秒。小明先跑 \(10\)秒后小华才从同一点反向出发。两人第一次相遇时，小华跑了多少秒？
- 小张和小李从公园两端修一条路，路长 \(240\)米。小张每天修 \(8\)米，小李每天修 \(12\)米。小张先修了 \(3\)天，小李再加入。修完这条路一共用了多少天？
- 一辆客车从A站到B站，速度 \(72\)千米/时。一辆货车从B站到A站，速度 \(48\)千米/时。货车比客车早出发 \(15\)分钟，两车在距B站 \(36\)千米处相遇。求AB两站距离。
- 甲、乙两人绕周长为 \(300\)米的操场同向行走。甲速度 \(80\)米/分，乙速度 \(50\)米/分。甲先走 \(2\)分钟，乙再同向出发。甲第一次追上乙时，乙走了多少分钟？
二、奥数挑战
- 甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，相遇后甲继续走 \(18\)分钟到达B地，乙继续走 \(32\)分钟到达A地。已知甲比乙早出发 \(12\)分钟，问乙出发后多少分钟两人相遇？
- 一列快车和一列慢车相向而行，快车车长 \(200\)米，慢车车长 \(250\)米。坐在快车上的人看慢车驶过窗口的时间是 \(5\)秒，坐在慢车上的人看快车驶过窗口的时间是 \(4\)秒。如果慢车比快车早出发 \(10\)秒，求两车从车头相遇到车尾相离共需多少时间？
- 甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B间不断往返行驶。已知甲车速度是乙车的 \(\frac{7}{9}\)，且两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相距 \(100\)千米。若甲车比乙车早出发 \(1\)小时，求两车第一次相遇的时间。
- 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红从扶梯下端同时往上走。小明走了 \(40\)级到达顶部，小红走了 \(60\)级到达顶部。已知小明的速度是小红的 \(2\)倍（扶梯速度不变），如果小红比小明晚出发 \(5\)秒，问小红出发后多少秒追上小明？
- 甲、乙在环形跑道上跑步，跑道长 \(500\)米。甲速度 \(6\)米/秒，乙速度 \(4\)米/秒。如果甲、乙同向出发，甲在乙后面 \(100\)米，且甲比乙晚出发 \(10\)秒。问甲出发后多少秒第一次追上乙？
第三关：生活应用（5道）
- 【AI调度】两个AI快递机器人分别从相距 \(5.6\)公里的配送站出发，前往中点处的充电站。机器人A速度为 \(4.2\)米/秒，但它需要 \(3\)分钟的系统自检时间，因此比机器人B晚出发。机器人B速度为 \(3.5\)米/秒。为确保它们同时到达充电站且不冲突，机器人A应比机器人B晚出发多少分钟？（结果保留整数）
- 【航天会合】空间站A在距地面 \(400\)公里的圆形轨道上，速度为 \(7.68\)千米/秒。一艘货运飞船B从地面发射，入轨后速度为 \(7.71\)千米/秒，将在更高的 \(450\)公里轨道上与空间站同向会合。假设飞船入轨时，空间站恰好在它前方 \(1000\)公里的轨道上。由于飞船需要时间调整姿态，它比预定时间晚出发 \(15\)秒点火加速。问飞船从入轨到追上空间站，实际需要多少秒？（轨道近似为直线相遇问题）
- 【直播带货】主播阿星和助手小亮分别在两个仓库直播卖货。晚上 \(8:00\)，阿星仓库的订单以 \(120\)单/分钟的速度产生，小亮仓库以 \(80\)单/分钟的速度产生。后台处理系统从阿星仓库开始处理订单，处理速度为 \(300\)单/分钟。\(10\)分钟后，系统开始同时处理两个仓库的订单。问从晚上 \(8:00\) 开始，经过多少分钟，两个仓库的待处理订单数首次相同？
- 【自动驾驶】在一条长直测试车道上，自动驾驶汽车M以 \(72\)公里/时的恒定速度行驶。另一辆测试汽车N在M后方 \(2\)公里处，以 \(90\)公里/时的速度追赶。但由于通信延迟，N车比预定指令晚 \(20\)秒启动加速程序。问N车启动加速程序后，还需要多少秒才能追上M车？
- 【算法模拟】在模拟器中，点P从数轴原点出发，以每秒 \(2\)个单位向正方向移动。点Q从数轴 \(100\)的位置出发，以每秒 \(3\)个单位向负方向移动。但模拟器有BUG，点P的启动代码比点Q多运行了 \(5\)秒才真正开始移动。求两点相遇的坐标。
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：相遇问题：不同时出发 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难在“时空不同步”带来的思维干扰。标准相遇模型（同时出发）中，两人的时间 \(t\) 是同一个变量，方程简单：\(S = (v_1 + v_2)t\)。但不同时出发时，时间变量变成了 \(t_1\) 和 \(t_2\)，且满足 \(t_1 - t_2 = \Delta t\)（时间差）。学生需要建立两个方程：\(S = v_1 t_1 + v_2 t_2\) 和 \(t_1 = t_2 + \Delta t\)，然后联立求解。这个从“一个变量”到“两个关联变量”的跨越，是思维上的一个坎。阿星的“扣掉法”本质上是代数学中的变量替换思想，通过 \(t_1 = t_2 + \Delta t\) 代入，消去 \(t_1\)，将方程化简为只关于 \(t_2\) 的方程：\(S = v_1(t_2 + \Delta t) + v_2 t_2\)，这其实就是“先算领先距离 \(v_1 \Delta t\)”。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：这是数学建模和函数思想的绝佳启蒙。首先，它训练了“化归”思想——将未知复杂问题（不同时）转化为已知简单模型（同时）。这在整个数学学习中，从几何辅助线到微积分换元，无处不在。其次，它隐含了线性方程组的雏形。两个对象的运动，天然构成两个方程。最后，它为学习函数图像（s-t图）打下直观基础。在s-t图上，先走的人，他的图像起点就在时间轴上前移了一段，而“扣掉领先距离”在图像上就相当于将后走者的图像向左平移，使两者起点对齐，交点横坐标就是相遇时间。理解这个，对高中物理运动学帮助巨大。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！核心套路就是“统一时间起点”。具体分为三步：
- 确定参考时刻：通常选择后出发的那个人的出发时刻作为“新零点”。
- 计算状态：在“新零点”时，先出发的人已经在哪里了？他领先的距离 \(S_{\text{领}} = v_{\text{先}} \times \Delta t\)。
- 构建新问题：在“新零点”，两人分别位于相距 \(S_{\text{新}} = S_{\text{总}} \mp S_{\text{领}}\) 的两地（相向用减，同向用加/减具体分析），同时出发。然后用标准相遇或追及公式求解。
用公式表达这个套路：设后出发者出发时刻为 \(0\)，其行走时间为 \(t\)。则总路程关系为：
\[ S_{\text{总}} = v_{\text{先}} \times (\Delta t + t) \pm v_{\text{后}} \times t \]
其中“±”取决于运动方向（相向为+，同向为-）。这个万用公式，本质上就是统一了时间起点。
参考答案与解析
第一关：基础热身
（第二关、第三关解析因篇幅所限，在此省略，可由教师根据教学进度提供。）