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平方差公式练习题详解：基础题、提高题及易错点解析PDF下载

适用年级

五年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：平方差公式 原理

  • 核心概念：想象一下，你有两块地砖，一块边长 \( a \)，另一块边长 \( b \)（假设 \( a > b \)）。它们的面积差 \( a^2 - b^2 \) 怎么算最快？不要傻傻地各自算平方再减！阿星的绝招是：把这两块砖拼起来玩！把大砖切掉一个宽为 \( b \)，长为 \( a \) 的条，剩下的“L”形面积不好算。但如果我们把这个“L”形剪开再拼成一个长方形，奇迹就发生了——这个新长方形的长正好是 \( a+b \)，宽正好是 \( a-b \)！所以，面积差 \( a^2 - b^2 \) 就等于 \( (a+b)(a-b) \)。这就叫“平方差，变长方，长加宽减就搞定”。就像 \( 100^2-99^2 \)，直接变形成 \( (100+99)\times(100-99) = 199 \times 1 = 199 \)，口算秒杀！
  • 计算秘籍：

    1. 识结构：看到“一项平方减另一项平方” \( ( \ )^2 - (\ \ )^2 \)，马上想到平方差公式。
    2. 定“a”与“b”：找准谁相当于公式中的 \( a \)，谁相当于 \( b \)。例如，在 \( (2x)^2 - 3^2 \) 中，\( a = 2x \)，\( b = 3 \)。
    3. 套公式：结果等于 (a+b)(a-b)。即：\( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)。
    4. 化简：合并同类项，得出最简结果。
  • 阿星口诀：平方差，不可怕，同号相加异号减，两括号一相乘，复杂计算瞬简化。

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：\( (x-2)^2 - (y+1)^2 = [x-2 + y+1][x-2 - y+1] \)

    → ✅ 正解：每个括号整体看作“a”或“b”，变换时原括号要保留。正确应为：\( [(x-2)+(y+1)] \times [(x-2)-(y+1)] = (x+y-1)(x-y-3) \)。

  • ❌ 错误2：\( 4x^2 - 9y^4 = (4x+9y^2)(4x-9y^2) \)

    → ✅ 正解：必须将各项都写成完全平方形式。\( 4x^2 = (2x)^2 \)，\( 9y^4 = (3y^2)^2 \)，所以应为：\( (2x+3y^2)(2x-3y^2) \)。

🔥 例题精讲

例题1：计算 \( 67^2 - 33^2 \)。

📌 解析：

  • 识别结构：两数平方相减，符合平方差公式。
  • 设 \( a = 67 \)，\( b = 33 \)。
  • 套用公式：\( 67^2 - 33^2 = (67 + 33) \times (67 - 33) \)。
  • 化简计算：\( = 100 \times 34 = 3400 \)。

✅ 总结：碰到稍大数的平方差，直接利用公式化为整十整百数相乘，是速算的利器。

例题2：分解因式 \( 9m^2 - 16n^2 \)。

📌 解析：

  • 识别结构：\( 9m^2 = (3m)^2 \)，\( 16n^2 = (4n)^2 \)，符合平方差。
  • 设 \( a = 3m \)，\( b = 4n \)。
  • 套用公式：\( 9m^2 - 16n^2 = (3m)^2 - (4n)^2 = (3m + 4n)(3m - 4n) \)。

✅ 总结：因式分解时，关键在于将系数和变量都准确地写成平方形式，确定好“a”和“b”。

例题3：计算 \( (x+y+1)(x-y-1) \)。

📌 解析：

  • 观察结构：两个括号内项数相同，且 \( x \) 同号，\( y \)、常数项异号，符合平方差公式的扩展形式。
  • 重新分组：将 \( x \) 看作一项，\( (y+1) \) 看作另一项。即：\( [x + (y+1)] \times [x - (y+1)] \)。
  • 套用公式：上式 = \( x^2 - (y+1)^2 \)。
  • 继续展开：\( = x^2 - (y^2 + 2y + 1) = x^2 - y^2 - 2y - 1 \)。

✅ 总结：当括号内是多项式时，巧妙分组，将符号相同的部分整体视为“a”，符号相反的部分整体视为“b”，是破解此类问题的核心心法。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 计算 \( 25^2 - 15^2 \)。
  2. 分解因式 \( x^2 - 9 \)。
  3. 计算 \( 101^2 - 99^2 \)。
  4. 分解因式 \( 4a^2 - 1 \)。
  5. 计算 \( (8+7)(8-7) \)。
  6. 分解因式 \( 16 - y^4 \)。
  7. 计算 \( 53 \times 47 \)。（提示：\( 53 \times 47 = (50+3)(50-3) \)）
  8. 分解因式 \( 25p^2 - 49q^2 \)。
  9. 计算 \( (m+5)(m-5) \)。
  10. 分解因式 \( 0.04x^2 - 0.09y^2 \)。

二、奥数挑战

  1. 计算 \( 2024^2 - 2023^2 \)。
  2. 分解因式 \( (2a-b)^2 - (a+2b)^2 \)。
  3. 已知 \( x^2 - y^2 = 12 \)，\( x - y = 3 \)，求 \( x + y \) 的值。
  4. 计算 \( 123456789^2 + 123456788 \times 123456790 \)。（提示：后一项用平方差）
  5. 分解因式 \( x^4 - 81 \)。
  6. 证明：连续两个奇数的平方差是8的倍数。
  7. 计算 \( (1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})…(1-\frac{1}{10^2}) \)。
  8. 分解因式 \( x^2 - (y+z)^2 \)。
  9. 若 \( m^2 - n^2 = 24 \)，且 \( m, n \) 都是正整数，\( m > n \)，求 \( m, n \) 的所有可能值。
  10. 计算 \( 2025^2 - 2024 \times 2026 \)。

第三关：生活应用（5道）

  1. （AI数据压缩）在机器学习中，一个特征向量大小为 \( 1024^2 \) 字节，经过优化后降为 \( 1020^2 \) 字节。请用平方差公式快速计算节省了多少字节的存储空间？
  2. （航天轨道）已知某卫星近地点距离地球表面 \( (R+h_1) \) 公里，远地点距离 \( (R+h_2) \) 公里（\( R \) 为地球半径）。其椭圆轨道长轴的长度与短轴的长度满足某种平方差关系。若长轴 \( 2a = R+h_1+R+h_2 \)，短轴 \( 2b \) 满足 \( a^2 - b^2 = c^2 \)（\( c \) 为焦距）。请用 \( R, h_1, h_2 \) 表示 \( c \)。
  3. （网购优惠）一件商品原价 \( (n+50) \) 元，“双十一”期间领券后价格为 \( (n-50) \) 元。请用平方差公式表示你节省了多少钱（用关于 \( n \) 的式子表示）。
  4. （密码学）古老的RSA公钥密码算法中，密钥生成依赖于大数的质因数分解。比如，计算 \( 107^2 - 93^2 \) 很容易，但反过来，如果将 \( 107 \times 93 \) 告诉你，你能快速利用平方差公式心算出它等于多少吗？试试计算 \( 107 \times 93 \)。
  5. （像素屏幕）新款手机屏幕分辨率是 \( (1920+k) \times (1080+k) \) 像素，旧款是 \( (1920-k) \times (1080-k) \) 像素（\( k>0 \)）。请用平方差公式说明新款比旧款多出了多少个像素点？（结果用 \( k \) 表示）

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：平方差公式 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点通常不在计算，而在“识别”和“转化”。学生容易僵化地认为公式里的 \( a \) 和 \( b \) 必须是单项式。实际上，它们可以是任何代数式，如数字、字母、甚至一个多项式整体（如 \( (x+y) \)）。核心障碍是未能从“两项平方差”的表面形式，抽象出“两数和与两数差相乘”的等价结构。比如看到 \( (x+y+1)(x-y-1) \) 就不敢用公式了。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：平方差公式是代数大厦的“基石”之一。它的直接应用在：

  • 因式分解：是化简复杂代数式、解高次方程的基础。
  • 根式有理化：例如 \( \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} \)，原理就是分子分母同乘以平方差中的另一项。
  • 三角函数：恒等式如 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) 的变形中常有平方差身影。
  • 复数：复数的乘法与模长公式 \( |z|^2 = z \cdot \bar{z} \) 也蕴含此思想。

它训练的是“等价变形”和“整体代换”的数学核心思维，这种思维在后续所有数学学习中至关重要。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有！核心套路就是：“寻找平方差结构”。具体步骤如下：

  1. 判形态：遇到计算或式子，先看是否是 \( ( )^2 - ( )^2 \) 或可以化成这种形式。
  2. 定整体：确定哪个部分可以看作公式中的“a”，哪个是“b”。它们可能是数字、字母、或多个项的组合。
  3. 代公式：毫不犹豫地写成 \( (a+b)(a-b) \)。
  4. 巧验证：心算展开 \( (a+b)(a-b) \) 是否等于原式，防止符号错误。

记住这个流程图，并配合大量练习形成条件反射，你就能一眼看穿题目本质。例如，看到 \( 2023 \times 2025 \)，立刻想到 \( (2024-1)(2024+1) = 2024^2 - 1 \)，这就是高手的直觉。

参考答案与解析

第一关：基础热身

  1. \( 25^2 - 15^2 = (25+15)\times(25-15) = 40 \times 10 = 400 \)
  2. \( x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3) \)
  3. \( 101^2 - 99^2 = (101+99)(101-99) = 200 \times 2 = 400 \)
  4. \( 4a^2 - 1 = (2a)^2 - 1^2 = (2a+1)(2a-1) \)
  5. \( (8+7)(8-7) = 8^2 - 7^2 = 64 - 49 = 15 \)
  6. \( 16 - y^4 = 4^2 - (y^2)^2 = (4+y^2)(4-y^2) = (4+y^2)(2+y)(2-y) \)
  7. \( 53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491 \)
  8. \( 25p^2 - 49q^2 = (5p)^2 - (7q)^2 = (5p+7q)(5p-7q) \)
  9. \( (m+5)(m-5) = m^2 - 5^2 = m^2 - 25 \)
  10. \( 0.04x^2 - 0.09y^2 = (0.2x)^2 - (0.3y)^2 = (0.2x+0.3y)(0.2x-0.3y) \)

    11. 二、奥数挑战

    1. \( 2024^2 - 2023^2 = (2024+2023)(2024-2023) = 4047 \times 1 = 4047 \)
    2. 设 \( a_1=2a-b \)， \( b_1=a+2b \)。原式 \( = [(2a-b)+(a+2b)][(2a-b)-(a+2b)] = (3a+b)(a-3b) \)
    3. \( x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 12 \)，代入 \( x-y=3 \)，得 \( (x+y)\times3=12 \)，故 \( x+y=4 \)。
    4. 设 \( n=123456789 \)，则原式 \( = n^2 + (n-1)(n+1) = n^2 + (n^2 - 1) = 2n^2 - 1 \)。
    5. \( x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2+9)(x^2-9) = (x^2+9)(x+3)(x-3) \)
    6. 设连续两个奇数为 \( 2n+1 \)， \( 2n+3 \)。\( (2n+3)^2 - (2n+1)^2 = [(2n+3)+(2n+1)][(2n+3)-(2n+1)] = (4n+4)\times2 = 8(n+1) \)，是8的倍数。
    7. 原式 \( = (1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})…(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10}) \)，前后项连续约分，最后得 \( \frac{1}{2} \times \frac{11}{10} = \frac{11}{20} \)。
    8. \( x^2 - (y+z)^2 = [x+(y+z)][x-(y+z)] = (x+y+z)(x-y-z) \)
    9. \( (m+n)(m-n)=24 \)。因为 \( m, n \) 为正整数，\( m>n \)，且 \( m+n \) 与 \( m-n \) 同奇偶。将24分解为两个同奇偶的因数：\( 12 \times 2 \) 或 \( 6 \times 4 \)。解方程组得：\( (m,n) = (7,5) \) 或 \( (5,1) \)。
    10. \( 2025^2 - 2024 \times 2026 = 2025^2 - (2025-1)(2025+1) = 2025^2 - (2025^2 - 1) = 1 \)。

      11. 第三关：生活应用

      1. 节省空间 \( = 1024^2 - 1020^2 = (1024+1020)\times(1024-1020) = 2044 \times 4 = 8176 \) 字节。
      2. 由 \( a = (2R + h_1 + h_2)/2 \)， \( a^2 - b^2 = c^2 \)。且根据椭圆性质， \( c = \frac{(R+h_2) - (R+h_1)}{2} = \frac{h_2 - h_1}{2} \)。（这里用平方差公式， \( a^2 - c^2 = b^2 \)，但直接求 \( c \) 更简单）
      3. 节省的钱 \( = (n+50)^2 - (n-50)^2 = [(n+50)+(n-50)] \times [(n+50)-(n-50)] = (2n) \times (100) = 200n \) 元。
      4. \( 107 \times 93 = (100+7)(100-7) = 100^2 - 7^2 = 10000 - 49 = 9951 \)。
      5. 多的像素点 \( = (1920+k)(1080+k) - (1920-k)(1080-k) \)。将前一项看作 \( (A+k)(B+k)=AB + k(A+B) + k^2 \)，后一项看作 \( (A-k)(B-k)=AB - k(A+B) + k^2 \)。相减得：\( 2k(A+B) = 2k(1920+1080) = 2k \times 3000 = 6000k \)。（也可直接用平方差公式，设 \( a=1920+k, b=1080-k \)，但整体处理更简洁）
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