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分数约分技巧详解：整体约分、易错点解析与练习题PDF下载

适用年级

五年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：分数巧算：整体约分 原理

  • 核心概念：同学们，想象一下，你面前有一长串分数的乘法，像一列长长的、色彩斑斓的“消消乐”方块。你是不是想一个一个硬算？那可就累坏了！阿星教你一招：斜着看！你把所有分数的分子都连成一条斜线，所有分母也连成一条斜线，就像在玩连线游戏。这时，你仔细找找，有没有分子和分母是“同款方块”（相同的数或式子）？找到后，就勇敢地把它们“对消”掉！这个神奇的操作，就叫“整体约分”。它的本质，是把所有分子和所有分母都分别乘起来，形成一个巨大的分数，然后在这个“大局”里找朋友，成对消除，让计算瞬间变清爽。
  • 计算秘籍：

    1. 列阵： 把题目抄写清楚，把所有的乘号“×”都看作分数线。
    2. 展开： 心里或草稿上，把所有分子写在一起，所有分母写在一起，形成一个“总分数”：\( \frac{\text{所有分子的乘积}}{\text{所有分母的乘积}} \)。
    3. 连线： 阿星喊出：“斜着看！消消乐开始！” 在这个“总分数”中，寻找分子和分母中完全相同的因数（“同款方块”）。
    4. 消除： 将它们成对划掉（约分），直到没有可以配对的为止。
    5. 收尾： 计算剩下“方块”的乘积，得出最简结果。
  • 阿星口诀：长长一串像火车，斜线拉齐找朋友，你消我消全不见，答案清爽又简单！

分子线分母线735231125

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1： 没有把算式完整地展开成“总分数”形式，就开始局部乱约，导致漏掉能约的“方块”。
    ✅ 正解： 务必先执行“阿星秘籍”第二步，在草稿上写出 \( \frac{\text{全部分子乘起来}}{\text{全部分母乘起来}} \)，在这个大局里进行扫描和配对。
  • ❌ 错误2： 约分后，忘记“1”还在。当一个数被完全约掉后，记得它变成了 \( 1 \)，而不是消失了，因为任何数乘以 \( 1 \) 都等于它本身。
    ✅ 正解： 约分时，将配对的两个数同时划去，心里要清楚它们都变成了 \( 1 \)。最后计算时，分子或分母上“空空如也”的部分，就是 \( 1 \)。

🔥 例题精讲

例题1：计算 \( \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} \times \frac{10}{4} \times \frac{9}{8} \)

📌 解析：

  1. 列阵展开： 写出总分数：\( \frac{2 \times 6 \times 10 \times 9}{3 \times 5 \times 4 \times 8} \)
  2. 斜线扫描（消消乐）：

    • 分子 \( 2 \) 和分母 \( 4 \) 可约：\( 2 = 2, 4 = 2 \times 2 \)，约掉一个 \( 2 \)。
    • 分子 \( 6 \) 和分母 \( 3 \) 可约：\( 6 = 2 \times 3, 3 = 3 \)，约掉 \( 3 \)，\( 6 \) 剩下 \( 2 \)。
    • 分子 \( 10 \) 和分母 \( 5 \) 可约：约掉 \( 5 \)，\( 10 \) 剩下 \( 2 \)。
    • 分子 \( 9 \) 和分母没有直接相同的，但 \( 9 = 3 \times 3 \)，暂时留一下。
  3. 计算剩余： 约分后，分子剩下：\( 2_{(来自6)} \times 2_{(来自10)} \times 9 = 2 \times 2 \times 9 = 36 \)。分母剩下：\( 2_{(来自4剩下的)} \times 8 = 16 \)。
  4. 最终化简： \( \frac{36}{16} = \frac{9}{4} \)。

✅ 总结：先写成完整乘积形式，再玩“消消乐”，清晰不遗漏。

例题2：计算 \( (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \times \frac{12}{5} \times \frac{15}{7} \times \frac{14}{9} \)

📌 解析：

  1. 处理括号： \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)。原式变为 \( \frac{5}{6} \times \frac{12}{5} \times \frac{15}{7} \times \frac{14}{9} \)。
  2. 列阵展开： 总分数：\( \frac{5 \times 12 \times 15 \times 14}{6 \times 5 \times 7 \times 9} \)
  3. 斜线扫描（消消乐）：

    • 首位的分子 \( 5 \) 和分母 \( 5 \) 对消。
    • 分子 \( 12 \) 和分母 \( 6 \) 可约：约掉 \( 6 \)，\( 12 \) 剩下 \( 2 \)。
    • 分子 \( 15 \) 和分母 \( 9 \) 有公因数 \( 3 \)：\( 15 = 3 \times 5, 9 = 3 \times 3 \)，约掉一个 \( 3 \)，\( 15 \) 剩下 \( 5 \)，\( 9 \) 剩下 \( 3 \)。
    • 分子 \( 14 \) 和分母 \( 7 \) 可约：约掉 \( 7 \)，\( 14 \) 剩下 \( 2 \)。
  4. 计算剩余： 分子：\( 2_{(来自12)} \times 5_{(来自15剩下的)} \times 2_{(来自14)} = 20 \)。分母：\( 3_{(来自9剩下的)} \)。
  5. 最终结果： \( \frac{20}{3} \)。

✅ 总结：遇混合运算，先处理括号。约分时，不仅看整数，也要看分解后的质因数。

例题3：计算 \( \frac{2^2 \times 3 \times 5^2}{7 \times 11} \times \frac{14}{3^2 \times 5} \times \frac{33}{20} \)

📌 解析：

  1. 列阵展开： 总分数：\( \frac{(2^2 \times 3 \times 5^2) \times 14 \times 33}{(7 \times 11) \times (3^2 \times 5) \times 20} \)
  2. 拆解数字，统一方块： 把 \( 14, 33, 20 \) 都分解质因数。

    • \( 14 = 2 \times 7 \)
    • \( 33 = 3 \times 11 \)
    • \( 20 = 2^2 \times 5 \)

    总分数变为：\( \frac{2^2 \times 3 \times 5^2 \times (2 \times 7) \times (3 \times 11)}{7 \times 11 \times 3^2 \times 5 \times (2^2 \times 5)} \)

  3. 斜线扫描（超级消消乐）：

    • 分子有 \( 2^2 \times 2 = 2^3 \)，分母有 \( 2^2 \)，约掉 \( 2^2 \)，分子剩下一个 \( 2 \)。
    • 分子有 \( 3 \times 3 = 3^2 \)，分母有 \( 3^2 \)，全部对消。
    • 分子有 \( 5^2 \)，分母有 \( 5 \times 5 = 5^2 \)，全部对消。
    • 分子有 \( 7 \)，分母有 \( 7 \)，对消。
    • 分子有 \( 11 \)，分母有 \( 11 \)，对消。
  4. 计算剩余： 经过这场“大消除”，分子只剩下 \( 2 \)，分母空空如也，即为 \( 1 \)。
  5. 最终结果： \( \frac{2}{1} = 2 \)。

✅ 总结：当数字较大或较复杂时，把它们都分解成“质因数方块”来玩消消乐，是最高效、最准确的方法！

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. \( \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \times \frac{15}{16} \)
  2. \( \frac{5}{6} \times \frac{12}{25} \times \frac{10}{9} \)
  3. \( \frac{7}{10} \times \frac{20}{21} \times \frac{9}{14} \)
  4. \( \frac{2}{5} \times \frac{10}{11} \times \frac{33}{8} \)
  5. \( \frac{9}{14} \times \frac{28}{27} \times \frac{3}{2} \)
  6. \( \frac{4}{15} \times \frac{25}{16} \times \frac{12}{5} \)
  7. \( \frac{11}{18} \times \frac{6}{55} \times \frac{15}{22} \)
  8. \( \frac{13}{20} \times \frac{25}{39} \times \frac{12}{5} \)
  9. \( \frac{16}{21} \times \frac{7}{8} \times \frac{3}{4} \)
  10. \( \frac{24}{35} \times \frac{5}{12} \times \frac{14}{9} \)

二、奥数挑战

  1. \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times ... \times \frac{8}{9} \times \frac{9}{10} \) （提示：连环消消乐）
  2. \( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} \) （提示：先化成乘法相关形式）
  3. \( (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{4}) \times ... \times (1 - \frac{1}{10}) \)
  4. \( \frac{2^2}{1 \times 3} \times \frac{3^2}{2 \times 4} \times \frac{4^2}{3 \times 5} \times \frac{5^2}{4 \times 6} \)
  5. \( \frac{101+103+105}{103+105+107} \) （提示：观察分子分母共同部分）
  6. 计算：\( \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times ... \times \frac{99}{100} \) 与 \( \frac{1}{10} \) 的大小关系。
  7. \( \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \frac{1}{14 \times 17} \)
  8. \( (1 + \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{4}) \times (1 + \frac{1}{6}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{5}) \times (1 - \frac{1}{7}) \)
  9. \( \frac{1993 \times 1994 - 1}{1993 + 1992 \times 1994} \) （提示：将分子分母变形，寻找可约部分）
  10. 已知 \( a = \frac{1001}{1000}, b = \frac{1002}{1001}, c = \frac{1003}{1002} \)， 比较 \( a \times b \times c \) 与 \( 1 \) 的大小。

第三关：生活应用（5道）

  1. 【AI训练】一个深度学习模型，处理一张图片需要 \( \frac{3}{8} \) 秒。现在有一个优化算法包，能将效率依次提升为原来的 \( \frac{4}{3} \) 倍、\( \frac{9}{8} \) 倍和 \( \frac{16}{15} \) 倍。连续使用这三个优化包后，处理一张图片需要多少秒？
  2. 【航天工程】火箭某一级推进剂的燃料和氧化剂需要按 \( \frac{5}{9} \) 的质量比混合。调配师第一次取了 \( \frac{3}{10} \) 吨燃料，第二次取了 \( \frac{6}{7} \) 吨燃料，对应的氧化剂需要按比例添加。若将两次调配好的混合液合并在一个大罐里，最终混合液中燃料占总质量的几分之几？
  3. 【网购折扣】一件商品原价300元，“双十一”活动连环折扣：先全场 \( \frac{9}{10} \)，再使用店铺券 \( \frac{14}{15} \)，最后叠加平台补贴 \( \frac{19}{20} \)。小明最终应付多少钱？（结果保留整数）
  4. 【数据压缩】阿星发明了一种“分数压缩编码”，一段信息被编码为：\( \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} \times \frac{5}{4} \times \frac{8}{7} \times \frac{7}{6} \times ... \times \frac{100}{99} \times \frac{99}{98} \)。请问这段编码解码后的简单分数形式是什么？
  5. 【光波频率】在光纤通信中，三种不同频率的光波 \( f_A, f_B, f_C \) 满足关系：\( f_A = \frac{2}{3}f_B \)， \( f_B = \frac{5}{4}f_C \)。如果用于合成的基准频率 \( f_C \) 是 \( \frac{12}{5} \) 太赫兹，那么 \( f_A \) 是多少太赫兹？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：分数巧算：整体约分 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：主要难点在于思维模式的转换。同学们习惯了逐个分数依次乘除、逐次约分的“线性思维”。而整体约分要求大家“跳出来”，以俯瞰的视角，把所有运算看作一个整体 \( \frac{A}{B} \)，并在此框架下进行全局性的因子配对。这从“ sequential processing”（顺序处理）到“ parallel processing”（并行处理）的思维跃迁，需要刻意练习才能熟练掌握。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：帮助巨大，它是代数思维的基石。

  1. 代数化简： 将来遇到 \( \frac{x^2 y}{z} \cdot \frac{z^2}{xy^2} \) 这类式子，整体约分的思维完全适用，只是“方块”从数字变成了字母。
  2. 概率计算： 复杂事件的概率常常是多个概率的乘积，整体约分能简化计算。
  3. 数列求和（裂项相消）： 例如 \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)，其原理与“寻找可约部分”的思想同源。整体约分训练了你发现结构中“对称”或“可抵消”部分的眼睛。

可以说，它训练的是在复杂表达式中寻找简洁数学结构的核心能力。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有！严格遵循以下两步，可破解绝大多数题目：

  1. 无脑展开： 不论题目长什么样，第一步永远是在草稿纸上写下：\( \frac{\text{所有分子因子乘起来}}{\text{所有分母因子乘起来}} \)。如果是带加减的括号，先算出来。
  2. 质因数消消乐： 将上一步中得到的所有数字（特别是合数）分解质因数。然后，在分子和分母的质因数堆里，尽情地玩连线消除游戏。

这个套路的公式化表达就是：对于 \( \prod_{i=1}^{n} \frac{a_i}{b_i} \)， 其值等于 \( \frac{\prod_{i=1}^{n} a_i}{\prod_{i=1}^{n} b_i} \) 经质因数约分后的最简形式。

参考答案与解析

第一关：基础热身

  1. \( \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \times \frac{15}{16} = \frac{3 \times 8 \times 15}{4 \times 9 \times 16} = \frac{3 \times (2^3) \times (3\times5)}{(2^2) \times (3^2) \times (2^4)} = \frac{5}{2 \times 3 \times 2} = \frac{5}{12} \)
  2. \( \frac{5}{12} \) （过程略，下同）
  3. \( \frac{3}{7} \)
  4. \( \frac{3}{2} \)
  5. \( 1 \)
  6. \( 1 \)
  7. \( \frac{1}{22} \)
  8. \( 1 \)
  9. \( \frac{1}{2} \)
  10. \( \frac{4}{9} \)

    11. 二、奥数挑战

    1. \( \frac{1}{10} \) （分子分母从 \( 2 \) 到 \( 9 \) 全部连环约掉）
    2. \( \frac{4}{5} \) （提示：\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)，裂项后相加，中间项全消）
    3. \( \frac{1}{10} \) （\( (1-\frac{1}{n}) = \frac{n-1}{n} \)，然后如第1题连环约分）
    4. \( \frac{5}{3} \) （写出几项后发现，分子分母隔项可约）
    5. \( \frac{103}{105} \) （令 \( S = 103+105 \)，则分子为 \( 101+S \)，分母为 \( S+107 \)，并非整体约分，但考察整体观察能力）
    6. 原式 < \( \frac{1}{10} \) （与前一项比较，每一项都小于1，且乘得多越来越小）
    7. \( \frac{4}{85} \) （裂项：\( \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}) \)）
    8. \( 1 \) （将加法的写成分数，如 \( 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \)，然后整体相乘，几乎所有数都成对消掉）
    9. \( 1 \) （分子：\( 1993 \times 1994 -1 = 1993 \times (1993+1) -1 = 1993^2 + 1993 -1 \)；分母：\( 1993 + 1992 \times 1994 = 1993 + (1993-1)\times(1993+1) = 1993 + 1993^2 -1 \)。分子分母完全相同。）
    10. \( a \times b \times c = \frac{1001}{1000} \times \frac{1002}{1001} \times \frac{1003}{1002} = \frac{1003}{1000} > 1 \)

      11. 第三关：生活应用

      1. \( \frac{3}{8} \times \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \times \frac{15}{16} = \frac{3 \times 3 \times 15}{4 \times 9 \times 16} = \frac{15}{64} \) （秒）【注意：效率提升为原来的 \( \frac{4}{3} \) 倍，则时间变为原来的 \( \frac{3}{4} \)】
      2. 设每次加入氧化剂质量为 \( x, y \) 吨。由比例 \( \frac{燃料}{氧化剂} = \frac{5}{9} \) 得：\( x = \frac{3}{10} \times \frac{9}{5} = \frac{27}{50} \)， \( y = \frac{6}{7} \times \frac{9}{5} = \frac{54}{35} \)。最终燃料总质量：\( \frac{3}{10} + \frac{6}{7} = \frac{81}{70} \)，氧化剂总质量：\( \frac{27}{50} + \frac{54}{35} = \frac{729}{350} \)。燃料占比：\( \frac{81/70}{(81/70)+(729/350)} = \frac{81/70}{(81/70)+(1458/700)} = \frac{810/700}{(810+1458)/700} = \frac{810}{2268} = \frac{5}{14} \)。
      3. \( 300 \times \frac{9}{10} \times \frac{14}{15} \times \frac{19}{20} = \frac{300 \times 9 \times 14 \times 19}{10 \times 15 \times 20} = \frac{30 \times 9 \times 14 \times 19}{15 \times 20} = \frac{2 \times 9 \times 14 \times 19}{20} = \frac{9 \times 14 \times 19}{10} = \frac{2394}{10} = 239.4 \approx 239 \) (元)。
      4. \( \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} \times \frac{5}{4} \times \frac{8}{7} \times \frac{7}{6} \times ... \times \frac{100}{99} \times \frac{99}{98} = \frac{2}{98} = \frac{1}{49} \) （从第二项开始，分子与后一项的分母连续对消，最后剩下第一项的分子 \( 2 \) 和最后一项的分母 \( 98 \)）。
      5. \( f_A = \frac{2}{3}f_B = \frac{2}{3} \times (\frac{5}{4}f_C) = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{12}{5} = \frac{2 \times 5 \times 12}{3 \times 4 \times 5} = 2 \) (太赫兹)。
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