分数裂项相消法详解：公式推导、例题解析与专项练习PDF下载
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：分数巧算：裂项相消(进阶) 原理
- 核心概念：嗨，我是阿星！想象一下，裂项就像分一块超级美味、但形状不规则的蛋糕。常规裂项（分母差为1）是两个人平分一块长方形蛋糕，很简单。但进阶裂项呢，就像要四个人分一块长条形蛋糕。比如 \( \frac{1}{1 \times 3} \)，分母 \(1\) 和 \(3\) 差了 \(2\)，这意味着这块“分数蛋糕”被拉长了，直接对半切（拆成 \(1 - \frac{1}{3}\)）会分得不均匀，多出来一部分。怎么办呢？我们需要一个“平衡魔法师”——乘以 \( \frac{1}{2} \)，这样就能把拉长的部分压缩回正常比例，保证拆分后和原来一模一样！所以，核心就是：看分母的“步长”（差），用它来做平衡系数。
- 计算秘籍：
- 观察分母差：找出分母中两个因数的差，记为 \(d\)。例如 \( \frac{1}{n \times (n+d)} \)，差就是 \(d\)。
- 裂项公式： \( \frac{1}{n \times (n+d)} = \frac{1}{d} \times \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+d} \right) \)。这个 \( \frac{1}{d} \) 就是“平衡系数”。
- 相消求和：将整个式子每一项都这样裂开，中间的许多项会像多米诺骨牌一样，一正一负地抵消掉，最后只剩下首尾少数项。
- 阿星口诀： 分母差几就乘几分之一，裂成两数来相减，前后抵消真神奇，首尾两剩快算齐！
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：忽略平衡系数，直接拆为 \( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+d} \)。
→ ✅ 正解：必须乘以 \( \frac{1}{d} \) 来保证恒等变形，你可以通分验证 \( \frac{1}{d} \times \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+d} \right) = \frac{1}{n(n+d)} \)。 - ❌ 错误2：裂项时符号弄反，写成 \( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+d} \)。
→ ✅ 正解：裂项的目的是为了相消，符号必须是“一减一加”。记住口诀“裂成两数来相减”。
🔥 例题精讲
例题1：计算 \( \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \cdots + \frac{1}{19 \times 21} \)。
📌 解析：
- 观察：每一项都是 \( \frac{1}{n \times (n+2)} \) 的形式，分母差 \(d = 2\)。
- 裂项：应用公式 \( \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) \)。
- 展开：原式 = \( \frac{1}{2} \times \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{19} - \frac{1}{21} \right) \right] \)
- 相消：括号内从 \( \frac{1}{3} \) 到 \( \frac{1}{19} \) 全部正负抵消。
- 结果：原式 = \( \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{21} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{20}{21} = \frac{10}{21} \)。
✅ 总结：经典题型，直接套用公式，注意首尾留项。
例题2：计算 \( \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{8 \times 9 \times 10} \)。
📌 解析：
- 观察：分母是三个连续自然数相乘。这需要“二次裂项”或寻找更巧妙的拆分。
- 秘籍：利用 \( \frac{2}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \)。（提示：两边通分即可证明）
- 转化：原式 = \( \frac{1}{2} \times \sum_{n=1}^{8} \left[ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right] \)。
- 相消：这是一个新的裂项相消，中间项全部抵消。
- 结果：原式 = \( \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{9 \times 10} \right) = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{90} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{44}{90} = \frac{11}{90} \)。
✅ 总结：对于分母为多个连续自然数相乘，可通过构造系数（如 \( \frac{1}{2} \)）将其转化为熟悉的两次两两相消。
例题3：计算 \( \frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + \frac{19}{20} + \cdots + \frac{9899}{9900} \)。
📌 解析：
- 观察：每一项都接近1，可写成 \( 1 - \frac{1}{n(n+1)} \) 的形式？检验：\( \frac{9899}{9900} = 1 - \frac{1}{9900} \)，而 \(9900 = 99 \times 100\)。
- 通项：第 \(n\) 项：\( 1 - \frac{1}{n(n+1)} \)，其中 \(n\) 从 1 到 99。
- 拆分：原式 = \( \sum_{n=1}^{99} 1 - \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n(n+1)} \)。前一部分和为 \(99\)。
- 裂项：后一部分 \( \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{99} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \)。
- 结果：原式 = \( 99 - \frac{99}{100} = 98 \frac{1}{100} \) 或 \( \frac{9801}{100} \)。
✅ 总结：对于“差一点到1”的分数求和，先补成整数，再处理分数部分，往往能化繁为简，这是裂项思想的灵活应用。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 计算 \( \frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \cdots + \frac{1}{28 \times 31} \)。
- 计算 \( \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \cdots + \frac{1}{21 \times 23} \)。
- 计算 \( \frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} \)。
- 计算 \( \frac{1}{1 \times 6} + \frac{1}{6 \times 11} + \frac{1}{11 \times 16} + \cdots + \frac{1}{101 \times 106} \)。
- 计算 \( 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \cdots + \frac{1}{1+2+\cdots+20} \)。（提示：\( 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2} \)）
- 计算 \( \frac{1}{10 \times 11} + \frac{1}{11 \times 12} + \cdots + \frac{1}{59 \times 60} \)。
- 计算 \( \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 5} + \frac{1}{4 \times 5 \times 6} \)。
- 计算 \( \frac{3}{1 \times 4} + \frac{3}{4 \times 7} + \frac{3}{7 \times 10} + \cdots + \frac{3}{97 \times 100} \)。
- 已知 \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)， 计算 \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{9900} \)。
- 计算 \( \frac{1}{1 \times 3 \times 5} + \frac{1}{3 \times 5 \times 7} + \frac{1}{5 \times 7 \times 9} + \frac{1}{7 \times 9 \times 11} \)。
二、奥数挑战
- 计算 \( \frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \cdots + \frac{2}{2019 \times 2021} \)。
- 计算 \( \frac{1^2}{1 \times 3} + \frac{2^2}{3 \times 5} + \frac{3^2}{5 \times 7} + \cdots + \frac{1005^2}{2009 \times 2011} \)。（提示：\( n^2 = \frac{1}{4} \left[ (2n-1)(2n+1) + 1 \right] \)）
- 计算 \( \frac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4 \times 5} + \cdots + \frac{1}{7 \times 8 \times 9 \times 10} \)。
- 计算 \( \frac{4}{1 \times 3 \times 5} + \frac{4}{3 \times 5 \times 7} + \cdots + \frac{4}{19 \times 21 \times 23} \)。
- 计算 \( \frac{1}{1 \times 4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7 \times 10} + \cdots + \frac{1}{25 \times 28 \times 31} \)。
- 计算 \( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5 \times 6} + \cdots + \frac{1}{99 \times 100} \)。（提示：与 \( \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{4 \times 5} + \cdots \) 结合）
- 计算 \( \frac{3}{1 \times 2 \times 3} + \frac{5}{2 \times 3 \times 4} + \frac{7}{3 \times 4 \times 5} + \cdots + \frac{21}{10 \times 11 \times 12} \)。（提示：分子 = 2 × 中项 + 1）
- 已知 \( a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \)， 求 \( a_1 + a_2 + \cdots + a_{99} \) 的值。
- 计算 \( \frac{1}{1+ \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2024}} \)。
- 计算 \( \frac{1}{2 \times 5 \times 8} + \frac{1}{5 \times 8 \times 11} + \cdots + \frac{1}{20 \times 23 \times 26} \)。
第三关：生活应用（5道）
- （AI数据训练） 星火AI在训练一个模型时，需要处理一系列数据块。处理第 \(n\) 个数据块所需的时间为 \( \frac{1}{n(n+3)} \) 毫秒。请问连续处理前 \(20\) 个数据块总共需要多少毫秒？
- （航天轨道） 一个卫星在调整轨道时，每一次微小变轨消耗的燃料比例构成一个数列：\( \frac{1}{1 \times 4}, \frac{1}{4 \times 7}, \frac{1}{7 \times 10}, \ldots \)。如果进行了 \(10\) 次变轨，总共消耗的燃料占初始燃料的多少？
- （网购优惠） 某购物平台发放满减券，面值规则如下：第 \(k\) 张券的价值是 \( 1 - \frac{1}{k(k+1)} \) 元。如果你领到了从第 \(1\) 张到第 \(50\) 张的所有券，这些券的总面值是多少元？
- （工程进度） 修建一条隧道，第 \(n\) 天完成的工程量为总工程的 \( \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \)。按照这个进度，前 \(15\) 天能完成总工程的几分之几？
- （内存释放） 一个程序运行后，每秒自动释放的内存占总内存的比例为 \( \frac{1}{t(t+2)} \)（\(t\) 为秒数）。请问运行 \(10\) 秒后，总共释放了内存的几分之几？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：分数巧算：裂项相消(进阶) 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点主要在两个方面。一是识别变形的灵活性。很多题目不会直接给出 \( \frac{1}{n(n+d)} \) 的标准形式，可能隐藏在其他运算或复杂分式中，例如例题3。二是确定平衡系数 \( \frac{1}{d} \) 的推导和应用。学生容易死记硬背公式，却不理解其来源于通分验证：\( \frac{1}{d} \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right) = \frac{1}{d} \cdot \frac{B-A}{A \cdot B} = \frac{1}{A \cdot B} \)，前提是 \(B - A = d\)。不理解这个本质，遇到分子不是1（如 \( \frac{3}{n(n+2)} \)）或分母不是乘积形式时，就容易出错。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：裂项相消是数学中“化归”思想的绝佳体现，其影响深远：
- 高中数列：这是求数列前 \(n\) 项和的核心方法之一，特别是对于形如 \( a_n = \frac{1}{n(n+k)} \) 或通过变形可化为此类形式的数列。例如，求和 \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} \)。
- 无穷级数（大学）：裂项思想是判断和计算许多“ telescoping series （叠缩级数）”的基础，如 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 \)。
- 积分学：在有理函数积分中，将复杂分式拆分为部分分式（Partial Fractions）的技巧，其思想根源就是“裂项”。
可以说，掌握了裂项，就掌握了一把打开数列与级数求和之门的钥匙。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有一个高效的四步解题流程：
- 辨形式：看通项是否形如 \( \frac{C}{A \times B} \)，其中 \(A\)， \(B\) 是表达式，且 \(B - A\) 是一个常数 \(d\)。
- 定系数：如果 \(B-A = d\)，则裂项公式为 \( \frac{C}{A \times B} = \frac{C}{d} \times \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right) \)。
- 写全项：将求和式的每一项都按此规律裂开，并完整地写出来（至少写出前三项和最后两项）。
- 观抵消：观察中间项是如何成对抵消的，最终只留下“首部”的若干项和“尾部”的若干项。
记住这个通用模型：\( \sum_{k=m}^{n} \frac{1}{(ak+b)(ak+b+d)} = \frac{1}{d} \sum_{k=m}^{n} \left( \frac{1}{ak+b} - \frac{1}{ak+b+d} \right) \)。万变不离其宗。
参考答案与解析
第一关：基础热身
（第二关、第三关及生活应用题的详细解析，可关注星火AI实验室后续发布的《裂项相消进阶解析特辑》获取。）