💡 阿星精讲：分数巧算：裂项相消(基础) 原理

• 核心概念：想象一下，你有一排竖立的多米诺骨牌，它们紧紧挨在一起。阿星的任务，就是巧妙地推倒第一张，然后看着它们噼里啪啦全部倒下，最后只剩下第一张的“头”和最后一张的“尾”。在分数计算里，像 \( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots \) 这样的一长串分数，就是我们的“多米诺骨牌阵”。阿星的魔法在于，他把每一块“骨牌”（分数）都拆成了两个分数相减，比如 \( \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \)。当所有骨牌都被拆开后，中间的 \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \) 就会像骨牌一样，一个撞倒下一个，全部“抵消”得干干净净！最后，整个长长的算式，奇迹般地只剩下 \( 1 - \frac{1}{\text{最后一项的分母}} \)，简单得不可思议。
• 计算秘籍：
  1. 观察分母：找到分母的规律，通常是两个连续自然数的乘积，即 \( n \times (n+1) \) 的形式。
  2. 施展“裂项”魔法：利用公式将每一项“撕裂”成两个分数相减：

     \[ \frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]

  3. 排队“骨牌”：把裂项后的所有分数按顺序写出来。
  4. 见证“相消”：从第二项开始，正负相间的相同分数会成对抵消。
  5. 得出结果：最后只剩下第一项的正分数和最后一项的负分数，相减即得最终答案。
• 阿星口诀：分母是乘积，分子是一不用疑。拆成两数来相减，中间抵消真神奇！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：拆项错误。 误以为 \( \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)。

  → ✅ 正解：必须是相减！ 牢记核心公式：\( \frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)。加法会导致结果完全错误。

• ❌ 错误2：抵消后忘记“尾巴”。 裂项后，最后一项的负分数 \( -\frac{1}{n+1} \) 不会被抵消，必须保留。忽略它就像推倒骨牌后忘了看最后一张倒向哪里。

🔥 例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{9 \times 10} \)
2. \( \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \ldots + \frac{1}{19 \times 20} \)
3. \( \frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \ldots + \frac{1}{28 \times 31} \)（提示：分母间隔为 \( 3 \)）
4. \( \frac{1}{10 \times 11} + \frac{1}{11 \times 12} + \ldots + \frac{1}{25 \times 26} \)
5. \( \frac{1}{1 \times 5} + \frac{1}{5 \times 9} + \frac{1}{9 \times 13} + \frac{1}{13 \times 17} \)
6. \( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \)（观察与第1题的关系）
7. \( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \ldots + \frac{1}{n \times (n+1)} \)（用字母 \( n \) 表示结果）
8. \( \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \ldots + \frac{1}{99 \times 100} \)
9. 计算：\( (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \ldots + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) \)
10. \( \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \frac{1}{9 \times 11} \)

二、奥数挑战

1. \( \frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \ldots + \frac{1}{97 \times 100} \)
2. \( \frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \ldots + \frac{1}{29 \times 32} \)
3. \( \frac{3}{1 \times 4} + \frac{3}{4 \times 7} + \frac{3}{7 \times 10} + \ldots + \frac{3}{97 \times 100} \)
4. \( \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 5} + \ldots + \frac{1}{9 \times 10 \times 11} \)（提示：可拆成两次裂项）
5. 计算：\( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} \)（先写成标准形式）
6. \( \frac{1}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{3}{5 \times 7} + \ldots + \frac{50}{99 \times 101} \)（挑战题，观察分子规律）
7. \( \frac{2}{1 \times 2 \times 3} + \frac{2}{2 \times 3 \times 4} + \ldots + \frac{2}{9 \times 10 \times 11} \)
8. \( (1+\frac{1}{2}) \times (1+\frac{1}{3}) \times (1+\frac{1}{4}) \times \ldots \times (1+\frac{1}{99}) \)（利用裂项思想化简）
9. \( \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \ldots + \frac{1}{1+2+3+\ldots+100} \)（先化简分母的求和公式）
10. 已知 \( \frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)，请推导 \( \frac{1}{n \times (n+k)} \) 的裂项公式（\( k \) 为自然数）。

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI训练】 阿星训练一个AI模型，第一天学习了总数据量的 \( \frac{1}{1 \times 2} \)，第二天学习了剩余的 \( \frac{1}{2 \times 3} \)，第三天又学习了当时剩余的 \( \frac{1}{3 \times 4} \)……如此训练了 \( 9 \) 天。请问这个AI模型总共学习了总数据量的几分之几？
2. 【航天任务】 一枚火箭发射后，第一秒消耗燃料箱总燃料的 \( \frac{1}{200} \)，第二秒消耗剩余燃料的 \( \frac{1}{199} \)，第三秒消耗再剩余燃料的 \( \frac{1}{198} \)……如果燃料刚好在最后一秒耗尽，请问火箭一共飞行了多少秒？
3. 【网购优惠】 某电商平台举办“叠猫猫”分红包活动。第一天可领红包总额的 \( \frac{1}{1 \times 3} \)，第二天可领剩余额的 \( \frac{1}{3 \times 5} \)，第三天领再剩余的 \( \frac{1}{5 \times 7} \)……如果活动持续 \( 10 \) 天且红包刚好领完，请问第一天领到的金额是总金额的多少？（用分数表示）
4. 【编程算法】 程序员小星写了一个循环来计算 \( S = \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \ldots + \frac{1}{(2n-1) \times (2n+1)} \)。请你用裂项相消法帮他推导出公式 \( S = \frac{n}{2n+1} \)，这样他就不用写循环，直接用公式了！
5. 【环境监测】 一个湖泊每月初会流入一定量的污染物。监测发现，第 \( n \) 个月流入的污染物占总容量的 \( \frac{1}{n \times (n+1)} \)。如果湖泊初始是干净的，且污染物不降解，请问一年（\( 12 \) 个月）后，湖泊中被污染的水占总容量的比例是多少？

🤔 常见疑问 FAQ