💡 阿星精讲：定义新运算：逆运算 原理

• 核心概念：嗨，我是阿星！想象一下，我们定义了一个新运算“*”，它就像一个神秘的“魔法机器”。你塞进去两个数，它会按照自己独特的规则吐出一个新数。现在，题目告诉你：某个数 \(x\) 经过这台“魔法机器”和 \(3\) 一起加工后，吐出了 \(15\)，也就是 \(x * 3 = 15\)。求 \(x\) 是多少？这不就是让我们当侦探吗？“已知结果和规则，反推原料！” 这就像解方程 \(x + 3 = 15\)，我们用到逆运算“减”。所以，面对新运算，我们的法宝就是：“把新运算等式看成方程，利用其定义，反着解出来！”
• 计算秘籍：
  1. 锁定定义： 仔细阅读题目给出的新运算定义式，例如 \(a * b = 2a + b\)。
  2. 列写方程： 将题目条件（如 \(x * 3 = 15\)）严格按照定义“翻译”成常规运算方程。即用 \(x\) 替换定义中的 \(a\)，用 \(3\) 替换 \(b\)，得到 \(2x + 3 = 15\)。
  3. 逆向求解： 把这个方程当作老朋友来解，使用加、减、乘、除的逆运算来求出未知数 \(x\)。\(2x + 3 = 15 \Rightarrow 2x = 15 - 3 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 12 \div 2 \Rightarrow x = 6\)。
  4. 验算： 将解得的 \(x\) 代入原定义验算：\(6 * 3 = 2 \times 6 + 3 = 15\)，完美！
• 阿星口诀：新运算，像机器，结果已知反推易。严格套定义，翻译成方程，逆着解，别怀疑！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到“逆”字，不假思索就用减法或除法。例如，已知 \(a * b = a + 2b\)，且 \(x * 3 = 11\)，错误地做 \(x = 11 - 3 = 8\) 或 \(x = 11 \div 3\)。
  ✅ 正解：必须依据定义将等式“翻译”成方程：\(x + 2 \times 3 = 11\)，即 \(x + 6 = 11\)，然后正确逆解：\(x = 11 - 6 = 5\)。
• ❌ 错误2：求逆运算时，运算顺序搞反。例如，定义 \(m \Delta n = m \times (n + 1)\)，已知 \(2 \Delta y = 8\)，错误列式：\(2 \times y + 1 = 8\)。
  ✅ 正解：定义是 \(m\) 乘以 \((n+1)\)。所以正确翻译：\(2 \times (y + 1) = 8\)。逆解时，先除以 \(2\)：\(y + 1 = 4\)，再减 \(1\)：\(y = 3\)。

🔥 例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 若 \(a * b = a + b\)，且 \(5 * x = 12\)，求 \(x\)。
2. 若 \(m \diamond n = m \times n - n\)，且 \(4 \diamond y = 14\)，求 \(y\)。
3. 规定 \(p \circ q = 2p + 3q\)，已知 \(1 \circ x = 11\)，求 \(x\)。
4. 定义 \(x \otimes y = y - x\)，已知 \(2 \otimes z = 7\)，求 \(z\)。
5. 若 \(a \star b = (a + b) \times 2\)，且 \(3 \star k = 18\)，求 \(k\)。
6. 规定 \(A \boxempty B = A \times B + A\)，已知 \(2 \boxempty t = 8\)，求 \(t\)。
7. 若 \(f * g = f^2 - g\)，且 \(3 * m = 5\)，求 \(m\)。（提示：\(f^2\) 表示 \(f \times f\)）
8. 定义 \(M \oplus N = \frac{M + N}{2}\)，已知 \(x \oplus 10 = 8\)，求 \(x\)。
9. 规定 \(a \# b = 5a - 2b\)，已知 \(4 \# n = 2\)，求 \(n\)。
10. 若 \(x \nabla y = x \div y + 1\)，且 \(12 \nabla b = 4\)，求 \(b\)。

二、奥数挑战

1. 定义运算 \(a ⊛ b\)，使得 \(a ⊛ b = 2a^b\)。若 \(3 ⊛ x = 54\)，求 \(x\)。（提示：考虑因数分解）
2. 对于整数 \(a, b\)，规定 \(a △ b\) 表示从 \(a\) 开始，后面连续的 \(b\) 个整数的和。例如：\(3 △ 2 = 3+4=7\)。若 \(x △ 3 = 24\)，求 \(x\)。
3. 设 \(x, y\) 是两个自然数，定义 \(x ※ y = (x + y) \times (x - y + 1)\)。如果 \(5 ※ m = 36\)，求 \(m\)。
4. 已知新运算：\([a] = 2a + 1\)， \(\{b\} = b^2 - 1\)。若 \( [x] + \{x\} = 29 \)，求 \(x\)。
5. 规定 \(A▼B\) 表示 \(A\) 和 \(B\) 的平均数，\(A▲B\) 表示 \(A\) 和 \(B\) 的差（大减小）。已知 \((5▼x)▲3 = 2\)，求 \(x\)。
6. 定义 \(f(n) = n \times (n+1)\)。若 \(f(a) - f(a-1) = 50\)，求 \(a\)。
7. 运算“&”满足交换律：\(a \& b = b \& a\)，且满足 \(a \& (b + c) = a \& b + a \& c\)。若 \(2 \& 5 = 16\)，且 \(3 \& x = 33\)，求 \(x\)。
8. 已知 \(1! = 1, 2! = 1\times2, 3! = 1\times2\times3, ...\)。若 \(\frac{n!}{(n-2)!} = 30\)，求 \(n\)。（“!”表示阶乘）
9. 定义 \([x]\) 表示不大于 \(x\) 的最大整数，如 \([3.2]=3\)。若 \([2x + 1] = 7\)，求 \(x\) 的取值范围。
10. 有一种运算，对于任意两个数 \(a, b\)，有 \(a \odot b = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\)。若 \((x \odot 2) - (2 \odot x) = \frac{3}{2}\)，求 \(x\)。

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI提示词】阿星设计了一个AI图像生成器的“风格混合”运算公式： 图片A 混合 图片B = \(0.7 \times A + 0.3 \times B\)。某次混合后，得到的图片数值为 \(85\)，已知图片A的数值为 \(100\)，请问图片B的数值是多少？
2. 【航天轨道】在模拟计算中，飞船从轨道1变轨到轨道2所需的能量 \(\Delta E\) 定义为：\(\Delta E = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)\)。若已知飞船质量 \(m=1000\)，初速度 \(v_1=8\)，所需能量 \(\Delta E = 21000\)，求目标轨道速度 \(v_2\)。
3. 【网购优惠】某平台“星火券”的叠加使用规则定义为：订单满 \(a\) 元，使用 \(b\) 张券后实付金额为 \(a \times 0.9^b\) 元。小星用券后实付 \(72.9\) 元，已知原订单金额为 \(100\) 元，请问她使用了几张券？
4. 【数据压缩】一种简单的数据压缩算法用运算 \(C(x) = 2x + 128\) 表示编码。现在收到一段解码后的原始数据是 \(200\)，请问它被压缩前的原始编码值 \(x\) 是多少？
5. 【密码学】在一种古典密码中，明文字母 \(p\) 通过密钥 \(k\) 加密成密文字母 \(c\) 的规则是：\(c = (p + k) \mod 26\) （将字母按顺序编号为 \(0\) 到 \(25\)）。如果已知密文 \(c=7\)，密钥 \(k=15\)，求原文 \(p\)。（提示：模运算的逆运算需考虑在 \(0\)~\(25\) 范围内求解）

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