💡 阿星精讲：定义新运算：直接代入 原理

• 核心概念：嗨，同学！别被“新运算”吓到。想象一下，数学世界引进了一款新游戏，比如叫“星光战纪”。规则是：我发给你两个数字 \(A\) 和 \(B\)，你需要用 \(2 \times A + B\) 来打败怪兽。这里的“*”就是启动这个游戏的按钮，而不是我们熟悉的乘号。所以当看到 \(A*B = 2A + B\)，阿星说：别怕，这只是个新游戏规则，照着样子把数放进去算。你的任务不是发明，而是遵守规则，当一个超级执行者！
• 计算秘籍：
  1. 看规则：找到等式（如 \(A*B = 2A + B\)），理解“游戏公式”。
  2. 找数字：确定题目中“*”前后对应的数字分别是谁。前面的数替换公式中的 \(A\)，后面的数替换 \(B\)。
  3. 代进去算：把数字代入公式右边，按照四则运算顺序计算出结果。

     例如：计算 \(3*5\)。

     步骤：\(A=3, B=5\) → 代入公式 \(2A+B\) → \(2 \times 3 + 5\) → \(6 + 5 = 11\)。

• 阿星口诀：新运算，莫慌张，当作游戏新规则。前代A，后代B，照着公式算到底！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：顺序混淆。 看到 \(2*3\)，错误计算为 \(2 \times 2 + 3\) 和 \(2 \times 3 + 2\) 结果一样吗？试试 \(1*2\) 和 \(2*1\)。 → ✅ 正解：位置至关重要！ 运算符“*”左边的数永远对应公式中的 \(A\)，右边的数永远对应 \(B\)。\(1*2 = 2\times1+2=4\)，而 \(2*1=2\times2+1=5\)，结果不同。
• ❌ 错误2：符号误用。 计算 \(4*2\) 时，误以为是 \(4 \times 2 = 8\)，然后直接写答案。 → ✅ 正解：忘记旧习惯！ “*”在这里不是乘号。必须无视它原本的含义，只把它看作一个指向特定计算公式（\(2A+B\)）的“信号灯”。

🔥 例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 已知 \(A*B = 2A + B\)，求 \(4*5\)。
2. 已知 \(A*B = 2A + B\)，求 \(1*8\)。
3. 规定 \(m \star n = m + 3n\)，求 \(2 \star 5\)。
4. 规定 \(x \circ y = 5x - 2y\)，求 \(3 \circ 1\)。
5. 若 \(p \triangle q = p \times q + p\)，求 \(6 \triangle 2\)。
6. 若 \(a \oplus b = a^2 - b\)，求 \(4 \oplus 3\)。
7. 已知 \(A*B = 2A + B\)，比较 \(2*3\) 和 \(3*2\) 的大小。
8. 定义 \(a \# b = \frac{a+b}{2}\)，求 \(10 \# 6\)。
9. 已知规则 \(X*Y = 2X + Y\)，请完成：\(0*7 = ?\)
10. 已知规则 \(X*Y = 2X + Y\)，请完成：\((-2)*5 = ?\)

二、奥数挑战

1. 设 \(a \otimes b = 3a + 2b\)，求 \((1 \otimes 2) \otimes 3\)。
2. 对于两个数 \(u, v\)，规定 \(u \Box v = uv + u + v\)，求 \((2 \Box 3) \Box 4\)。
3. 若 \(f \& g = f^2 - g^2\)，且 \(5 \& k = 9\)，求 \(k\) 的值。
4. 定义新运算“△”为：\(a △ b = (a-b) \times 2\)。解方程：\(x △ 5 = 12\)。
5. 已知 \(M*N = \frac{M}{N} + \frac{N}{M}\)，求 \(2*4 + 4*2\) 的值。
6. 规定 \(A \diamond B = A\) 与 \(B\) 的积减去 \(A\) 与 \(B\) 的和，即 \(AB - (A+B)\)。求 \(7 \diamond 3\)。
7. 若 \(x \clubsuit y = 2x + 3y\)，且 \((a \clubsuit 4) = 22\)，求 \(a\)。
8. 定义 \(a \heartsuit b = 2a^b\)，求 \(3 \heartsuit 2\)。
9. 已知 \(P \nabla Q = P + Q + PQ\)，验证 \(2 \nabla 3 = 3 \nabla 2\)。这个运算满足交换律吗？
10. 设 \(a \star b = |a - b| + a\)（\(| |\)表示绝对值），求 \((-3) \star 5\)。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI模型计费）某AI绘图API的计费规则定义为“流量包 * 张数 = 基础费 × 2 + 张数 × 单价”。若基础费为\(10\)元，单价为\(2\)元，小星用了\(1\)个流量包画了\(5\)张图，请计算费用（即求 \(1*5\)）。
2. （航天燃料）火箭推进器中，燃料A和燃料B的新型混合效率公式定义为 \(A \oplus B = 3A + 0.5B\)。当注入\(2\)单位A和\(8\)单位B时，求混合效率值。
3. （网购满减）双十一新规：订单“商品价 * 件数”的优惠计算为：\(2 \times 商品价 + 件数\) 元红包。小明看中一件\(200\)元的商品，买\(1\)件，可获得多少元红包？
4. （游戏合成）在合成游戏中，两件材料 \(m\) 和 \(n\) 合成新装备的等级公式为 \(m \otimes n = 2m - n + 5\)。用一件\(7\)级材料和一件\(4\)级材料合成，新装备是几级？
5. （数据加密）一种简单的数字加密运算定义为 \(code1 * code2 = (code1 \times 3) + code2\)。若原始密码为\((2, 6)\)，加密后的数字是多少？

🤔 常见疑问 FAQ