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等差数列求项数公式详解：三步速解法、常见错误及练习题下载

适用年级

五年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：等差数列：求项数 原理

  • 核心概念：嘿！我是阿星！想象一下，你、我、还有好朋友们在排队买最新款的奶茶。队伍是一条“等间距”的直线，你站在第3米的位置，我站在第7米的位置，下一个朋友站在第11米的位置……我们每个人之间的距离（公差）是固定的 \(4\) 米。老板突然问：“队伍最后那个在 \(399\) 米处的小可爱，是第几个？” 难道我们要一个个数过去吗？当然不用！阿星教你一个“数人头”的神奇公式：（末项 - 首项）÷ 公差 + 1。为什么要“+1”？因为从“你”到“我”，距离是 \(4\) 米，但已经有 \(2\) 个人了呀！计算间隔时，人数总比间隔数多 \(1\)，所以千万别忘了给总人数“+1”！
  • 计算秘籍：

    1. 识别队伍： 找出队伍的起点（首项 \(a_1\)）、终点（末项 \(a_n\)）和固定间距（公差 \(d\)）。
    2. 计算间隔： 看看起点到终点，总共有多少个“间距”。算式是：\(\frac{\text{终点位置 - 起点位置}}{\text{一个间距的大小}}\)，即 \(\frac{a_n - a_1}{d}\)。
    3. 加上自己： 间隔数加上第一个人（起点），就是总人数。公式为：\(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)。

    以“3,7,11...”为例，求第100项：

    1. 首项 \(a_1 = 3\)，公差 \(d = 4\)，项数 \(n = 100\)。
    2. 代入通项公式：\(a_{100} = a_1 + (100-1) \times d = 3 + 99 \times 4 = 399\)。
    3. 反过来，已知末项是 \(399\)，求项数：\(n = \frac{399 - 3}{4} + 1 = \frac{396}{4} + 1 = 99 + 1 = 100\)。看，完美对应！
  • 阿星口诀： 首末相减，除以公差，最后一定加个1！

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：“得意忘形”忘记+1 → 计算完 \(\frac{a_n - a_1}{d}\) 后直接当答案。

    ✅ 正解：时刻牢记公式求的是“项数”，就像数队伍人数。算出来是“间隔数”，必须+1才是总人数。

  • ❌ 错误2：“张冠李戴”用错首末 → 已知第5项是23，第10项是48，误用 \(a_1=23, a_n=48\) 去求项数。

    ✅ 正解：公式中的“首项”“末项”指的是你考察的这段数列的开头和结尾，不一定是整个数列的第一项。此题中这段数列的首项是23，末项是48，公差需先算出：\(d = \frac{48-23}{10-5} = 5\)，然后项数 \(n = \frac{48-23}{5} + 1 = 6\)。

🔥 例题精讲

例题1：阿星的奶茶店排队，第一人站在 \(3\) 米处，最后一人站在 \(203\) 米处，每人间隔 \(4\) 米。请问一共多少人在排队？

📌 解析：

  1. 这明显是一个等差数列问题。首项 \(a_1 = 3\)，末项 \(a_n = 203\)，公差 \(d = 4\)。
  2. 代入求项数公式：\(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)。
  3. 计算：\(n = \frac{203 - 3}{4} + 1 = \frac{200}{4} + 1 = 50 + 1 = 51\)。

✅ 总结：直接应用公式，关键在于识别出题目中的“首项”、“末项”和“公差”。

例题2：一个等差数列的首项是 \(15\)，公差是 \(6\)，如果这个数列的最后一项是 \(123\)，那么这个数列一共有多少项？

📌 解析：

  1. 已知：\(a_1 = 15\)， \(d = 6\)， \(a_n = 123\)。求 \(n\)。
  2. 使用公式：\(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)。
  3. 计算：\(n = \frac{123 - 15}{6} + 1 = \frac{108}{6} + 1 = 18 + 1 = 19\)。

✅ 总结：公式的经典应用。即便项数很多，公式也能瞬间解决。

例题3：楼梯有规律地铺设瓷砖，第一级台阶有 \(5\) 块白砖，往后每一级比前一级多铺 \(2\) 块。如果最后一级台阶铺了 \(41\) 块白砖，这栋楼梯共有多少级？

📌 解析：

  1. 把“每级台阶的砖数”看成数列。首项 \(a_1 = 5\)，公差 \(d = 2\)，末项 \(a_n = 41\)。
  2. 题目问“多少级”，就是求项数 \(n\)。
  3. 计算：\(n = \frac{41 - 5}{2} + 1 = \frac{36}{2} + 1 = 18 + 1 = 19\)（级）。

✅ 总结：将生活问题抽象成等差数列模型，是解题的关键一步。“每级多 \(2\) 块”就是公差。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 等差数列 \(5, 8, 11, 14, ... , 59\)，请问这个数列有多少项？
  2. 数列 \(18, 22, 26, ... , 98\) 共有多少项？
  3. 首项为 \(10\)，公差为 \(3\)，末项为 \(106\)，求项数。
  4. 首项为 \(29\)，公差为 \(7\)，末项为 \(99\)，求项数。
  5. 一个数列 \(31, 28, 25, ... , -5\)，求它的项数。
  6. 从 \(50\) 开始，每次减 \(6\)，直到 \(2\)，总共写了多少个数？
  7. 已知等差数列第 \(1\) 项是 \(4\)，第 \(n\) 项是 \(64\)，公差是 \(5\)，求 \(n\)。
  8. 电影院座位第一排 \(20\) 个，往后每排增加 \(2\) 个。最后一排有 \(50\) 个座位，一共有几排？
  9. 植树问题：在一条路的一端开始种树，每隔 \(6\) 米种一棵，共种了若干棵，第一棵到最后一棵距离是 \(150\) 米。一共种了多少棵树？（提示：与公式原理完全一样）
  10. 阿星存钱，第一周存 \(10\) 元，以后每周比前一周多存 \(5\) 元。如果最后一周存了 \(95\) 元，他存了多久（多少周）？

二、奥数挑战

  1. 等差数列 \(201, 198, 195, ... , 15\) 的项数是____。
  2. 在 \(100\) 到 \(500\) 之间，所有能被 \(11\) 整除的整数有多少个？（提示：构成等差数列）
  3. 一个等差数列的第 \(4\) 项是 \(21\)，第 \(10\) 项是 \(45\)，请问这个数列从第 \(4\) 项到第 \(10\) 项之间共有多少项？（陷阱题！）
  4. 已知等差数列 \(a_n\) 满足 \(a_3 + a_7 = 40\)，且 \(a_1 = 5\)，若该数列共有 \(15\) 项，求它的末项。
  5. 数列 \(1, 5, 9, 13, ...\) 中，数值在 \(100\) 到 \(200\) 之间的项有多少？
  6. 时钟在整点时敲响，\(1\) 点钟敲 \(1\) 下，\(2\) 点钟敲 \(2\) 下……从上午 \(8\) 点到下午 \(5\) 点，时钟一共敲了多少下？（提示：求项数，再求和）
  7. 一个等差数列的首项是 \(7\)，末项是 \(91\)，项数是 \(15\)，求它的公差。
  8. 三个数成等差数列，它们的和是 \(27\)，积是 \(504\)，求这三个数。（提示：设中间项为 \(a\)，公差为 \(d\)）
  9. 在等差数列中，已知 \(a_5 = 20\)， \(a_{15} = 50\)，求 \(a_{30}\)。
  10. 数列：\( \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, ... , 4\)。请问这个数列有多少项？（注意：公差是分数）

第三关：生活应用（5道）

  1. AI训练：训练一个AI模型，第一天处理 \(1000\) 张图片，之后每天处理能力比前一天提升 \(50\) 张。如果训练计划最后一天需要处理 \(2500\) 张图片，整个训练周期是多少天？
  2. 航天发射：火箭逐级分离，每一级发动机的工作时间构成等差数列。若第一级工作 \(150\) 秒，最后一级工作 \(10\) 秒，且相邻两级工作时间差 \(20\) 秒，火箭共有多少级？
  3. 投资理财：小红用“等差数列递增法”每月定投基金，第一个月投 \(1000\) 元，以后每月比上月多投 \(100\) 元。如果她计划最后一个月投 \(3000\) 元，她需要连续投资多少个月？
  4. 物流分拣：智能仓库的传送带上，包裹等间距排列进行扫描。已知第一个包裹距扫描口 \(2\) 米，第 \(25\) 个包裹距扫描口 \(50\) 米。请问包裹之间的间距（公差）是多少米？
  5. 游戏升级：某游戏中，角色从 \(2\) 级升级到 \(3\) 级需要 \(200\) 经验，从 \(3\) 级到 \(4\) 级需要 \(250\) 经验，以此类推，每次升级所需经验构成等差数列。如果角色从 \(2\) 级升到 \(10\) 级总共需要 \(3150\) 经验，请问他从 \(9\) 级升到 \(10\) 级需要多少经验？（提示：先求公差）

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：等差数列：求项数 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：主要难点有两个。一是公式的逆向理解：学生熟悉从 \(a_1, d, n\) 求 \(a_n\)（通项公式 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)），但反过来用 \(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\) 时，对“加1”的来源（“植树问题”模型）理解不深，容易遗忘。二是信息的隐蔽性：题目常不直接给出 \(a_1, a_n, d\)，需要从其他条件（如某两项的值）先推导出这三个核心量，步骤增多导致出错。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：这是序列与函数思想的基石。1. 代数的建模基础：将规律变化的现象抽象为等差数列，是数学建模的第一步。2. 为数列求和奠基：著名的求和公式 \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\) 必须先知项数 \(n\)。3. 衔接高阶数学：等差数列是线性函数的离散形式（\(a_n = dn + (a_1 - d)\)），理解它有助于未来学习一次函数、线性代数乃至微积分中的差分概念。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有！核心套路就是“回归三要素”。无论题目怎么变，最终都要落实到求项数公式 \(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)。解题时，问自己三个问题：1. 这段数列的首项 \(a_1\) 是什么？2. 这段数列的末项 \(a_n\) 是什么？3. 它们的公差 \(d\) 是什么？把题目条件翻译成这三个量，代入公式，问题迎刃而解。这就是化繁为简的“套路”。

参考答案与解析

第一关：基础热身

  1. \(n = \frac{59-5}{3} + 1 = 19\)
  2. \(n = \frac{98-18}{4} + 1 = 21\)
  3. \(n = \frac{106-10}{3} + 1 = 33\)
  4. \(n = \frac{99-29}{7} + 1 = 11\)
  5. 公差 \(d = -3\)， \(n = \frac{-5-31}{-3} + 1 = 13\)
  6. 公差 \(d = -6\)， \(n = \frac{2-50}{-6} + 1 = 9\)
  7. \(n = \frac{64-4}{5} + 1 = 13\)
  8. \(n = \frac{50-20}{2} + 1 = 16\)（排）
  9. 首项 \(a_1 = 0\)，末项 \(a_n = 150\)，公差 \(d = 6\)， \(n = \frac{150-0}{6} + 1 = 26\)（棵）
  10. \(n = \frac{95-10}{5} + 1 = 18\)（周）

    11. 二、奥数挑战

    1. 公差 \(d = -3\)， \(n = \frac{15-201}{-3} + 1 = 63\)
    2. 首项 \(a_1 = 110\)，末项 \(a_n = 495\)，公差 \(d = 11\)， \(n = \frac{495-110}{11} + 1 = 36\)
    3. 注意：问的是“从第4项到第10项之间”，首项是 \(21\)，末项是 \(45\)。先求公差：\(d = \frac{45-21}{10-4} = 4\)，再求这段的项数：\(n = \frac{45-21}{4} + 1 = 7\)。或者直接：\(10 - 4 + 1 = 7\)。
    4. 由 \(a_3 + a_7 = (a_1+2d)+(a_1+6d)=2a_1+8d=40\)，代入 \(a_1=5\) 得 \(d= \frac{15}{4}\)。末项 \(a_{15} = a_1 + 14d = 5 + 14 \times \frac{15}{4} = 57.5\)。
    5. 大于100的第一项是 \(101\) (\(25 \times 4 +1\))，小于200的最后一项是 \(197\)。项数 \(n = \frac{197-101}{4} + 1 = 25\)。
    6. 敲响次数数列：\(8, 9, 10, ..., 17\)。项数 \(n = 17-8+1=10\)，总和 \(S = \frac{10 \times (8+17)}{2} = 125\)。
    7. 由 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 得 \(91 = 7 + (15-1)d\)，解得 \(d = 6\)。
    8. 设三数为 \(a-d, a, a+d\)。和：\(3a=27 \Rightarrow a=9\)。积：\((9-d)\times 9 \times (9+d)=504 \Rightarrow d^2=25 \Rightarrow d= \pm 5\)。三数为 \(4, 9, 14\) 或 \(14, 9, 4\)。
    9. 公差 \(d = \frac{a_{15}-a_5}{15-5} = \frac{50-20}{10} = 3\)。 \(a_{30} = a_{15} + (30-15)d = 50 + 15 \times 3 = 95\)。
    10. 公差 \(d = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)。末项 \(4 = \frac{1}{3} + (n-1) \times \frac{1}{6}\)，解得 \(n = 23\)。

      11. 第三关：生活应用

      1. \(n = \frac{2500-1000}{50} + 1 = 31\)（天）
      2. 公差 \(d = -20\)。由 \(n = \frac{10-150}{-20} + 1 = 8\)，火箭有 \(8\) 级。
      3. \(n = \frac{3000-1000}{100} + 1 = 21\)（个月）
      4. 把“距离”看成数列，首项 \(a_1=2\)，第 \(25\) 项 \(a_{25}=50\)。由 \(a_{25} = a_1 + (25-1)d\) 得 \(50 = 2 + 24d\)，解得 \(d = 2\)（米）。
      5. 设从 \(2\) 级升 \(3\) 级需 \(a_1=200\)，公差为 \(d\)。从 \(2\) 级到 \(10\) 级是升了 \(8\) 次，对应数列的前 \(8\) 项和 \(S_8=3150\)。由 \(S_8 = \frac{8 \times [2\times 200 + (8-1)d]}{2} = 3150\) 解得 \(d=50\)。则 \(9\) 级升 \(10\) 级为第 \(8\) 项：\(a_8 = a_1 + 7d = 200 + 7\times 50 = 550\)（经验）。
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