圆内接正方形面积解题技巧详解：核心公式与常见题型解析 | 练习题PDF下载
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六年级
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2025-12-20
💡 阿星精讲：圆与扇形：圆中方 原理
- 核心概念：想象一下，圆就像一个妈妈，正方形就像一个调皮的宝宝。宝宝想在妈妈的肚子里（圆内）长得最大，他会怎么做？他必须“顶天立地”——四个顶点都紧紧贴在妈妈的肚皮（圆周）上。这时，阿星发现，这个最大的“正方形宝宝”其实可以平躺着，被妈妈的“身高”（直径）从中间劈开，变成了两个一模一样的等腰直角三角形。这两个三角形的“底边”就是妈妈的“身高”——圆的直径 \(d\)，而它们的“高”正好是圆的半径 \(r\)。所以，我们是通过“劈开”正方形来认识它的！
- 计算秘籍：
- 已知圆的直径 \(d\)，或半径 \(r\)（其中 \(d = 2r\)）。
- 将圆内最大正方形看作两个底为 \(d\)，高为 \(r\) 的三角形。
- 一个三角形面积：\(S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 = \frac{1}{2} \times d \times r = \frac{1}{2} \times 2r \times r = r^2\)。
- 正方形面积：\(S_{方} = 2 \times S_{\triangle} = 2 \times r^2\)。
- 核心公式： 圆内最大正方形面积 \(S_{方} = 2r^2 = \frac{1}{2}d^2\)。
- 与圆面积 \(S_{圆} = \pi r^2\) 的比：\(\frac{S_{方}}{S_{圆}} = \frac{2r^2}{\pi r^2} = \frac{2}{\pi}\)。
- 阿星口诀：圆中方的面积，直径平方除以二；若要半径来帮忙，记住“两倍的平方”。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：看到“圆内最大正方形”，就用“半径 × 半径”算面积。 → ✅ 正解：最大的正方形，它的对角线才是直径！直接“半径 × 半径”得到的是以半径为边的小正方形面积。牢记阿星的“劈开法”，面积是 \(2r^2\)。
- ❌ 错误2：已知正方形面积 \(S_{方}\)，求圆面积时，直接用 \(S_{方} \times \pi\)。 → ✅ 正解：它们之间差一个固定比例。由 \(S_{方} = 2r^2\) 得 \(r^2 = \frac{S_{方}}{2}\)，所以 \(S_{圆} = \pi r^2 = \pi \times \frac{S_{方}}{2} = \frac{\pi}{2} S_{方}\)。
🔥 例题精讲
例题1：在一个半径为 \(6\ cm\) 的圆形纸片中，剪出一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少？
📌 解析：
- 第一步（阿星劈开法）：这个最大正方形可看作两个底为直径、高为半径的三角形。直径 \(d = 2 \times 6 = 12\ cm\)，半径 \(r = 6\ cm\)。
- 第二步（计算面积）：一个三角形面积 \(S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36\ (cm^2)\)。正方形面积 \(S_{方} = 2 \times 36 = 72\ (cm^2)\)。
- 快解：直接使用核心公式 \(S_{方} = 2r^2 = 2 \times 6^2 = 2 \times 36 = 72\ (cm^2)\)。
✅ 总结：遇到给半径求“圆中方”，果断用“2倍半径的平方”。
例题2：一个圆形锅盖的直径是 \(40\ cm\)，能放入这个锅盖内的最大正方形砧板的面积是多少？
📌 解析：
- 第一步（理解题意）：“能放入”即指“圆内最大正方形”，直径 \(d = 40\ cm\)。
- 第二步（阿星劈开法）：正方形可劈成两个底为 \(40\ cm\)，高为 \(20\ cm\) 的三角形。
- 第三步（计算面积）：直接使用直径公式：\(S_{方} = \frac{1}{2}d^2 = \frac{1}{2} \times 40^2 = \frac{1}{2} \times 1600 = 800\ (cm^2)\)。
✅ 总结：给直径更方便，口诀“直径平方除以二”。
例题3：如图，在一个半圆（半径为 \(5\ cm\)）内作一个最大的正方形。求这个正方形的面积。
（提示：此时正方形只有两个顶点在直径上，另外两个在圆弧上）
📌 解析：
- 第一步（构图分析）：这不是标准的“圆中方”，而是“半圆中方”。但思路相通——正方形要最大，其顶点必须紧贴边界。
- 第二步（建立关系）：设正方形边长为 \(a\)。如上图，圆心到正方形上边的距离是正方形边长 \(a\)，到正方形上顶点的距离是半径 \(r = 5\)。
- 第三步（列方程）：在由圆心、正方形右上顶点、圆心正上方与正方形上边的交点构成的直角三角形中，应用勾股定理：\((\frac{a}{2})^2 + a^2 = r^2\)。
- 第四步（求解）：\(\frac{a^2}{4} + a^2 = 25\)， \(\frac{5}{4}a^2 = 25\)， \(a^2 = 20\)。所以正方形面积 \(S = a^2 = 20\ (cm^2)\)。
✅ 总结：“圆中方”思想的拓展。核心仍是寻找图形边界上的最大内接图形，并利用半径（圆心到顶点距离相等）建立方程。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 已知圆的半径是 \(4\ cm\)，其内最大正方形面积是 \_\_\_\_ \(cm^2\)。
- 已知圆的直径是 \(10\ dm\)，其内最大正方形面积是 \_\_\_\_ \(dm^2\)。
- 一个面积是 \(50\ cm^2\) 的“圆中方”，这个圆的半径是 \_\_\_\_ \(cm\)。（结果保留根号）
- 一个半径为 \(3\ m\) 的圆形花坛，中央最大的一块方形土地面积是 \_\_\_\_ \(m^2\)。
- 圆形面积是 \(18\pi\ cm^2\)，其内最大正方形面积是 \_\_\_\_ \(cm^2\)。
- 正方形面积是 \(32\ m^2\)，其外接圆面积是 \_\_\_\_ \(m^2\)。（结果保留 \(\pi\)）
- 判断题：同一个圆内，所有内接正方形中，面积最大的是当对角线为直径时。（ ）
- 一个“圆中方”中，正方形面积占圆面积的 \_\_\_\_。（用分数和 \(\pi\) 表示）
- 圆的周长是 \(20\pi\ cm\)，其内最大正方形面积是 \_\_\_\_ \(cm^2\)。
- 从一张半径为 \(10\ cm\) 的圆形卡纸上剪下最大的正方形，剩下边角料的面积是 \_\_\_\_ \(cm^2\)。（结果保留 \(\pi\)）
二、奥数挑战
- 如图，在四分之一圆（半径 \(R\)）中作一个最大的正方形，求正方形边长。（用 \(R\) 表示）
- 一个“圆中方”的阴影部分（圆内正方形外）面积是 \(27\pi - 54\ cm^2\)，求正方形的边长。
- 已知“圆中方”中，圆的面积比正方形面积大 \(28\ cm^2\)，求圆的半径。
- 两个同心圆，小圆内有一个最大正方形，正方形的顶点都在大圆上。若小圆半径为 \(5\)，求大圆半径。
- 一个正方形和一个圆形周长相等。比较它们的面积：\(S_{方}\) \_\_\_\_ \(S_{圆}\)。（填 >, <, =）
- 在半径为 \(2\) 的圆中，随机取一点，该点落在其内最大正方形内的概率是 \_\_\_\_。（结果保留 \(\pi\)）
- 求“圆中方”阴影部分（圆内正方形外）面积与正方形面积的比值。（用含 \(\pi\) 的式子表示）
- 用一根铁丝恰好围成一个面积为 \(S\) 的圆，如果用这根铁丝改围成一个正方形，哪个面积更大？大多少？（用 \(S\) 表示）
- 在“圆中方”中，连接正方形对角线，求被对角线分割的四个小弓形面积之和与正方形面积之比。
- 一个运动场中间是边长为 \(a\) 的正方形，两端各有一个半圆（直径等于 \(a\)）。求整个运动场的面积。
第三关：生活应用（5道）
- （AI芯片设计）某AI芯片的核心计算单元是圆形的，为了在内部嵌入一个方形的硅片模块，若圆形单元的直径是 \(12\ mm\)，这个方形模块的最大面积是多少？
- （航天工程）一个圆柱形空间站舱体横截面半径为 \(4.5\ 米\)，工程师需要在舱壁上安装一块最大的方形观察窗，求这块观察窗的面积。
- （环保材料）用一块边长为 \(1\ 米\) 的正方形可再生板材，能切割出的最大圆形板材的直径是多少？切割损耗率（边角料占比）是多少？
- （网购包装）一个直径为 \(30\ cm\) 的圆柱形蛋糕盒，能放进去的方形蛋糕托盘的最大边长是多少？（精确到 \(0.1\ cm\)）
- （艺术设计）设计师在一个半径为 \(R\) 的圆形Logo中，想嵌入一个面积最大的正方形图案作为背景。已知正方形图案的颜色覆盖率为整个Logo的 \(40\%\)，求 \(R\) 与正方形边长 \(a\) 的关系。
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：圆与扇形：圆中方 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点主要有两个。第一是空间想象障碍：学生很难在脑海中稳定地构建出“圆内接最大正方形”的准确图形，尤其是对角线是直径这个关键特征。第二是知识路径依赖：学生习惯性看到正方形就用“边×边”，但这里的边长 \(a\) 与半径 \(r\) 的关系 \(a=\sqrt{2}r\) 需要借助等腰直角三角形推导，而不是直接给出。阿星的“劈成两个三角形”比喻，正是为了绕开对边长 \(a\) 的直接求解，提供一条更直观的“面积化归”路径。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：作用巨大！这是化归思想和模型思想的绝佳训练。① 几何领域：它为学习更复杂的“圆内接正多边形”打下了基础（“方”就是正四边形）。你会学到如何利用圆的半径（定长）作为斜边或直角边来求解内接图形。② 代数领域：公式 \(S_{方}=2r^2\) 和比例关系 \(\frac{S_{方}}{S_{圆}}=\frac{2}{\pi}\) 是常数模型，在涉及比例和逆向运算的题目中非常高效。③ 数理结合：其中的 \(\pi\) 与有理数的对比，是理解“超越数”与代数数关系的启蒙。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！请死记硬背这个核心关系链，并像条件反射一样运用：
- 已知半径 \(r\) 求方面积：\(S=2r^2\)。
- 已知直径 \(d\) 求方面积：\(S=\frac{1}{2}d^2\)。
- 已知方面积 \(S_{方}\) 求圆面积：\(S_{圆}=\frac{\pi}{2}S_{方}\)。
无论题目怎么绕，最终都设法把已知量变形成 \(r\) 或 \(d\)，然后套用以上公式。阿星的“劈开法”就是这套公式最直观的几何证明。
参考答案与解析
第一关：基础热身
二、奥数挑战
第三关：生活应用