几何容斥原理求面积：10类经典题型解析与3步解题法练习题PDF下载
适用年级
几何
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-19
💡 阿星精讲：容斥原理：重叠面积 原理
- 核心概念：想象一下，阿星有两张发光的魔法卡片（正方形A和B）。当他把两张卡片完美重叠放在桌上时，发光的总面积就是一张卡片的面积。但如果他把两张卡片错开一点放置，让它们有一部分重叠，那发光的区域就变大了！这时，总面积是多少呢？你是不是想把两张卡片的面积直接加起来（\(S_A + S_B\)）？错！那样你就把重叠的部分（两人“踩”到的同一块地）算了两次！所以，正确的总面积应该是：两张卡片的面积之和，再减去一次它们重叠部分的面积。这就是容斥原理的精髓：要计算覆盖的总范围，先把各部分加起来，再把多算的重叠部分“踢出去”一次！
- 计算秘籍：
- 独立计算：算出图形A的面积 \(S_A\)。
- 独立计算：算出图形B的面积 \(S_B\)。
- 寻找重叠：找到A和B重叠部分的形状，算出其面积 \(S_{A \cap B}\)。
- 运用容斥：总面积 \(S_{总} = S_A + S_B - S_{A \cap B}\)。
- 若求阴影（仅被一张卡片覆盖的部分）：则 \(S_{阴影} = S_{总} - S_{A \cap B} = S_A + S_B - 2 \times S_{A \cap B}\)。
- 阿星口诀：“面积相加很简单，重叠部分会捣乱。多算一次要扣掉，容斥原理是好汉！”
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：直接相加不扣减 → 以为总面积就是 \(S_A + S_B\)。
✅ 正解：两个图形只要有重叠，相加时重叠部分就被算了两次，必须减去一次，即 \(S_{总} = S_A + S_B - S_{重叠}\)。 - ❌ 错误2：找错重叠区域 → 当图形错位或不规则时，凭感觉判断重叠部分的形状和大小。
✅ 正解：必须严格作图或逻辑推理，确定重叠部分的精确边界，并选择合适的方法（公式、割补、网格等）计算其面积。
🔥 例题精讲
例题1：如图，两个边长为 \(10\) cm 的正方形部分重叠，重叠部分是一个边长为 \(4\) cm 的小正方形。求两个正方形覆盖的总面积。
📌 解析：
- 正方形A面积：\(S_A = 10 \times 10 = 100\) \((\text{cm}^2)\)。
- 正方形B面积：\(S_B = 10 \times 10 = 100\) \((\text{cm}^2)\)。
- 重叠部分面积：\(S_{重} = 4 \times 4 = 16\) \((\text{cm}^2)\)。
- 根据容斥原理：\(S_{总} = S_A + S_B - S_{重} = 100 + 100 - 16 = 184\) \((\text{cm}^2)\)。
✅ 总结：直接应用核心公式，关键是准确识别重叠部分的形状和尺寸。
例题2：在 \(8 \times 8\) 的网格中（每个小格子面积为 \(1\)），放置了两个相同的 \(4 \times 3\) 长方形。一个长方形水平放置，另一个倾斜放置，它们重叠部分的面积恰好是 \(5\)。求两个长方形在网格内覆盖的总格子数（面积）。
📌 解析：
- 单个长方形面积：\(S_{长} = 4 \times 3 = 12\)。
- 两个长方形面积和：\(S_和 = 12 + 12 = 24\)。
- 已知重叠面积：\(S_{重} = 5\)。
- 覆盖总面积：\(S_{总} = S_和 - S_{重} = 24 - 5 = 19\)。
虽然不知道长方形具体位置，但容斥原理只关心“单独面积”和“共有面积”，与具体位置无关。
✅ 总结：容斥原理是一个“整体性”原理，有时我们不需要知道图形的精确位置，只要知道单独和重叠部分的面积就能解题。
例题3：两个等腰直角三角形重叠放置，直角边长分别为 \(6\) 和 \(8\)。已知它们重叠部分的面积是 \(7\)，并且未被覆盖的阴影部分总面积是 \(20\)。求较小的那个三角形的面积。
📌 解析：
- 设小三角形面积为 \(x\)，大三角形面积为 \(y\)。已知 \(y = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32\)。
- 根据容斥，覆盖总面积 \(S_{总} = x + y - S_{重} = x + 32 - 7 = x + 25\)。
- 阴影面积 = 总面积 - 重叠面积 = \((x + 25) - 7 = x + 18\)。
- 题目告知阴影面积为 \(20\)，所以 \(x + 18 = 20\)。
- 解得：\(x = 2\)。
检验：小三角形直角边为 \(6\)，理论面积应为 \(\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\)，这与我们算出的 \(2\) 矛盾？等等，这里有个陷阱！题目说“两个等腰直角三角形”，但没说哪个大哪个小！我们假设的 \(y\) 是 \(8\) 为边长的，但 \(x\) 是未知的。我们需要重新审视。
- 设两三角形面积分别为 \(S_1\) 和 \(S_2\) (\(S_1 \le S_2\))，重叠面积为 \(7\)。
- 总面积 \(S_{总} = S_1 + S_2 - 7\)。
- 阴影面积 \(S_{阴} = S_{总} - 7 = S_1 + S_2 - 14 = 20\)。所以 \(S_1 + S_2 = 34\)。
- 已知可能的三角形面积：边长为 \(6\) 的面积为 \(18\)，边长为 \(8\) 的面积为 \(32\)。因为 \(18 + 32 = 50 \neq 34\)，所以两个三角形并不都是题目中给定边长的！可能有一个更小的。
- 由 \(S_1 + S_2 = 34\)，且 \(S_1, S_2 > 7\) (因为重叠部分为7)，且一个是 \(18\) 或 \(32\)。若 \(S_2 = 32\)，则 \(S_1 = 2\)，这与 \(S_1 > 7\) 矛盾。若 \(S_2 = 18\)，则 \(S_1 = 16\)，这个 \(16\) 可以是直角边为 \(\sqrt{32} \approx 5.66\) 的等腰直角三角形。
- 因此，较小的三角形面积是 \(16\)。(验证：总面积=\(18+16-7=27\)，阴影=\(27-7=20\)，符合。)
✅ 总结：当问题中含有多个未知量时，容斥原理可以帮我们建立方程。同时，要警惕题目中的隐含条件和多种可能性，并进行验证。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 两个边长分别为 \(5\)cm 和 \(7\)cm 的正方形部分重叠，重叠部分是一个面积为 \(9 \text{ cm}^2\) 的正方形。求覆盖的总面积。
- 一个圆面积 \(28.26 \text{ cm}^2\)，一个正方形面积 \(25 \text{ cm}^2\)，它们重叠了 \(10 \text{ cm}^2\)。求图形覆盖的总面积。
- 两个完全相同的长方形，长 \(8\)cm，宽 \(3\)cm，重叠成一个“十”字形，中间重叠部分是边长为 \(2\)cm的正方形。求这两个长方形拼在一起的外围周长。
- 用容斥原理解释：为什么 \(15 + 20 - 5 = 30\) 可以表示两个集合的并集元素个数？
- 一块地被两个花坛覆盖，一个花坛面积 \(40\) 平米，另一个 \(35\) 平米，两个花坛共同覆盖的区域有 \(12\) 平米。求这块地至少有多大？
- 阿星有两张不规则的彩纸，面积分别是 \(A=100\)， \(B=80\)，把它们部分重叠贴在墙上后，测得墙上被覆盖的总面积是 \(155\)。求重叠部分的面积。
- 一个图形由两个半圆组成，它们直径重合，直径长 \(10\)。求这个图形的总面积。（提示：两个半圆重叠在一条直径上）
- 两个三角形面积分别是 \(24\) 和 \(30\)，它们重叠部分的面积是 \(6\)。求只属于其中一个三角形的区域面积之和（即阴影总面积）。
- 在网格纸上画两个 \(3 \times 4\) 的长方形，让它们重叠一个 \(2 \times 2\) 的格子。数一数，总共覆盖了多少个独立的格子？
- 已知 \(S_{总}=50, S_A=30, S_{重叠}=8\)，求图形B的面积 \(S_B\)。
二、奥数挑战
- 三个边长为 \(6\) 的正方形如图中心重合，依次旋转 \(30^{\circ}\)。已知任意两个正方形重叠部分的面积都是 \(12\)，三个正方形共同重叠部分的面积是 \(4\)。求三个正方形覆盖的总面积。（提示：使用三元容斥原理）
- 一个边长为 \(10\) 的正方形和一个半径为 \(5\) 的圆形部分重叠，圆心在正方形一条边的中点上。求正方形和圆形覆盖的总面积。（取 \(\pi \approx 3.14\)）
- 下图是一个“回”字形，由两个同心正方形组成，外边长 \(10\)，内边长 \(6\)。现有一个倾斜的、边长为 \(8\) 的正方形与其部分重叠。若重叠部分恰好都是与“回”字形中“环”区域重叠，且面积为 \(15\)。求这个倾斜正方形与“回”字形覆盖的总面积。
- 两个等腰直角三角形的斜边重合，直角顶点在重合线的两侧。小三角形斜边长 \(4\)，大三角形斜边长 \(6\)。求两个三角形覆盖的总面积。
- 在 \(5 \times 5\) 方格中，放入两个不同的“L”形方块（面积均为 \(4\)）。它们最多可以覆盖多少个格子？最少呢？（考虑重叠）
- 一个正六边形和一个正三角形部分重叠。已知六边形面积是 \(54\sqrt{3}\)，三角形面积是 \(16\sqrt{3}\)，它们不重叠的部分（阴影）面积之和是 \(50\sqrt{3}\)。求重叠部分的面积。
- 两个平行四边形，底和高分别相等，将一个旋转 \(60^{\circ}\) 后压在另一个上面。若每个平行四边形面积均为 \(48\)，重叠部分是一个面积为 \(18\) 的六边形。求覆盖的图形外部轮廓的周长。
- 三个圆两两相交，每个圆面积都是 \(14\pi\)，每两个圆重叠部分的面积都是 \(4\pi\)，三个圆共同重叠部分的面积是 \(\pi\)。求三个圆覆盖的总面积。
- 用容斥原理证明：在 \(1\) 到 \(100\) 的整数中，能被 \(2\) 或 \(3\) 整除的数有多少个？
- 一个正方形被两条对角线分成 \(4\) 个相同的小三角形。分别以其中两个相邻小三角形的公共边为斜边，向外作两个等腰直角三角形。求这两个新作的三角形与原来正方形覆盖的总面积。（设原正方形边长为 \(a\)）
第三关：生活应用（5道）
- AI视觉识别：一个AI系统用两个不同的算法检测图片中的猫咪。算法A识别出的猫咪区域面积为 \(2500\) 像素，算法B识别出的区域面积为 \(1800\) 像素。两个算法都识别出的区域（确信为猫咪）面积为 \(1200\) 像素。问这张图片中，被至少一个算法认为是猫咪的区域总面积是多少像素？
- 物流覆盖：某快递公司在城市有两个配送中心，中心A的配送范围可覆盖 \(50 \text{ km}^2\) 的区域，中心B可覆盖 \(40 \text{ km}^2\) 的区域。由于规划合理，两个中心的覆盖区域有 \(15 \text{ km}^2\) 的重叠（用于应对高峰和备份）。问该公司在这个城市的理论服务覆盖面积是多少？
- 无线网络：教室里有两个Wi-Fi路由器，路由器A的信号有效区域是一个半径 \(10\) 米的圆，路由器B是一个半径 \(8\) 米的圆。为了获得最佳信号，需要将这两个路由器放置得让它们的覆盖区域有 \(30\pi\) 平方米的重叠。问教室中能收到至少一个Wi-Fi信号的最大总面积是多少平方米？（\(\pi\) 保留）
- 航天轨道：两颗地球观测卫星的拍摄范围在地球表面分别对应两块圆形区域（近似平面），面积各为 \(S\)。它们的拍摄区域有部分重叠，重叠面积为 \(0.3S\)。问在一次协同任务中，它们能监测到的地表总面积是多少？（用含 \(S\) 的式子表示）
- 电商推荐：某购物平台统计，在“618”活动中，点击“数码专区”的用户占访客的 \(40\%\)，点击“家电专区”的用户占 \(55\%\)，而两个专区都点击的用户占 \(25\%\)。请问，至少点击了一个专区的用户占比是多少？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：容斥原理：重叠面积 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点通常不在于公式 \(S_A + S_B - S_{重}\) 本身，而在于对“重叠部分”的识别和计算。图形一旦错位、旋转或形状不同，重叠部分就变得不规则，学生缺乏将其“隔离”并独立计算面积的技巧。其次，是思维定势，看到“总共”就只想相加，缺乏“减去多加的”这种逆向思维。这需要从具体的、可视化的比喻（如阿星的两张卡片）开始，建立强烈的直观印象。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：帮助极大！这是集合论思想在几何中的第一次生动体现。它直接对应集合的并集运算：\(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\)。未来在学习概率时，计算 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) 如出一辙。在组合数学、数论（如整除计数问题）中，容斥原理更是核心工具。它训练的是分类、合并与修正的精密逻辑，是数学建模中处理“重复计数”问题的基石。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！可以遵循以下四步法：
- 分离：在脑海或草图上，将复合图形拆解成独立的、规则的部分 \(A\) 和 \(B\)。
- 标注：明确标出或求出 \(S_A\) 和 \(S_B\)。
- 锁定：用不同颜色的笔或阴影，严格界定出 \(A\) 和 \(B\) 共有的区域 \(C\)，并想办法求出 \(S_C\)。
- 容斥：代入公式 \(S_{总} = S_A + S_B - S_C\) 计算。如果求的是“只属于A或只属于B”的阴影，则用 \(S_{总} - S_C\) 或 \(S_A + S_B - 2S_C\)。
无论图形多复杂，这四步都是清晰的思考路径。核心中的核心，永远是第三步：找准并算对那个“重叠部分”。
参考答案与解析
第一关：基础热身
第二关 & 第三关解析略（供教师或深入学习使用）。核心思路均已蕴含在前述原理和例题讲解中。关键在于熟练运用公式，并准确分析复杂图形中的重叠关系。