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蝴蝶模型解题技巧详解：四边形对角线比例问题与练习题PDF下载

适用年级

几何

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：蝴蝶模型：任意四边形 原理

  • 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，一个任意四边形就像一只张开翅膀的蝴蝶，它的两条对角线就是蝴蝶的身体，交点（我们叫它O点）是蝴蝶的身体中心。这两条对角线把四边形分成了四个三角形，就像蝴蝶的四个翅膀：左翅、右翅、上翅、下翅。我们的口诀“上×下 = 左×右”说的可不是面积哦，而是对角线被交点O分成的四段线段长度的乘积关系。也就是说，蝴蝶“身体”（对角线）上相邻两段的乘积相等！
  • 计算秘籍：

    1. 画出任意四边形 \(ABCD\)，连接对角线 \(AC\) 与 \(BD\)，交于点 \(O\)。
    2. 观察对角线 \(AC\)：被 \(O\) 分成 \(AO\) (上) 和 \(OC\) (下)。
    3. 观察对角线 \(BD\)：被 \(O\) 分成 \(BO\) (左) 和 \(OD\) (右)。
    4. 应用口诀：\(AO \times OC = BO \times OD\)，即 \(上 \times 下 = 左 \times 右\)。
    5. 已知其中任意三段，就能求出第四段。例如，已知 \(AO=5\)， \(OC=4\)， \(BO=2\)， 求 \(OD\)。根据公式：\(5 \times 4 = 2 \times OD\)， 所以 \(OD = (5 \times 4) / 2 = 10\)。
  • 阿星口诀：任意四边对角线，交点翅膀分四片。面积比难可别愁，上乘下等于左乘右。（注：本口诀核心指对角线分成的线段比例关系，是推导面积比的基础。）

ABCDOAO (上)OC (下)BO (左)OD (右)

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：记错线段对应关系。随便找两个乘积就认为相等。

    ✅ 正解：必须是对角线上相邻的两段。口诀“上×下”指的是同一条对角线上被分成的两段；“左×右”指的是另一条对角线上被分成的两段。

  • ❌ 错误2：把线段乘积公式当成面积公式直接套用。认为三角形面积 \(S_{\triangle AOB} \times S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} \times S_{\triangle AOD}\)。

    ✅ 正解：面积比例关系需要推导。面积比等于共线线段比的乘积。例如，\(\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{AO}{OC}\)， \(\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle COD}} = \frac{AO}{OC}\)， 所以四个三角形面积成比例。但直接“上×下=左×右”是对线段长度而言的，这是面积比例关系的源头。

🔥 例题精讲

例题1：在四边形 \(ABCD\) 中，对角线 \(AC\)、\(BD\) 交于 \(O\) 点。已知 \(AO = 6\ cm\)， \(OC = 4\ cm\)， \(BO = 3\ cm\)， 求 \(OD\) 的长度。

📌 解析：

  1. 识别模型：这是一个标准的任意四边形蝴蝶模型。
  2. 标出线段：在 \(AC\) 上， \(AO=6\) (上)， \(OC=4\) (下)。在 \(BD\) 上， \(BO=3\) (左)， \(OD=?\) (右)。
  3. 套用口诀“上×下 = 左×右”： \(6 \times 4 = 3 \times OD\)。
  4. 计算： \(24 = 3 \times OD\)， 所以 \(OD = 24 / 3 = 8\ cm\)。

✅ 总结：直接对应，套用公式。关键是找准“上下左右”四段线段。

例题2：如图，四边形对角线交于 \(O\)， \(S_{\triangle AOB} = 9\)， \(S_{\triangle BOC} = 6\)， \(S_{\triangle COD} = 12\)， 求 \(S_{\triangle AOD}\)。

📌 解析：

  1. 此题为面积应用。由蝴蝶模型线段关系可知，面积比满足： \(\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{AO}{OC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)。
  2. 同理， \(\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle COD}} = \frac{AO}{OC} = \frac{3}{2}\)。
  3. 已知 \(S_{\triangle COD} = 12\)， 所以 \(S_{\triangle AOD} = \frac{3}{2} \times S_{\triangle COD} = \frac{3}{2} \times 12 = 18\)。
  4. （验证线段积）：由面积比得 \(\frac{AO}{OC}=\frac{3}{2}\)， 设 \(AO=3k\)， \(OC=2k\)。 同理， \(\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{BO}{OD} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}\)， 设 \(BO=m\)， \(OD=2m\)。 则 \(AO \times OC = 3k \times 2k = 6k^2\)， \(BO \times OD = m \times 2m = 2m^2\)。 两者由模型可知相等，即 \(6k^2=2m^2\)， \(m^2=3k^2\)， 这与面积比一致。

✅ 总结：从面积比反推线段比，再利用共边模型求另一个面积。线段乘积关系是隐藏的桥梁。

例题3：（方程思想）在四边形 \(ABCD\) 中，对角线交于 \(O\)。已知 \(AO\) 是 \(OC\) 长度的 \(1.5\) 倍，且 \(BO\) 比 \(OD\) 短 \(2\ cm\)。若 \(BD\) 总长为 \(14\ cm\)， 求 \(AC\) 被 \(O\) 分成的两段长度各是多少？

📌 解析：

  1. 设未知数：设 \(OC = x\ cm\)， 则 \(AO = 1.5x\ cm\)。 设 \(BO = y\ cm\)， 则 \(OD = (y+2)\ cm\)。
  2. 利用线段和：\(BD = BO + OD = y + (y+2) = 14\)。 解得 \(2y+2=14\)， \(y=6\)。 所以 \(BO=6\)， \(OD=8\)。
  3. 利用蝴蝶模型核心公式：\(AO \times OC = BO \times OD\)。 代入： \((1.5x) \times x = 6 \times 8\)。
  4. 计算： \(1.5x^2 = 48\)， \(x^2 = 32\)， \(x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\ (cm)\)。
  5. 最终： \(OC = 4\sqrt{2}\ cm\)， \(AO = 1.5 \times 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\ cm\)。

✅ 总结：当条件复杂时，设未知数列方程是通法。将“线段和”与“线段积”两个条件结合，轻松破解。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 四边形中对角线交于 \(O\)， \(AO=3\)， \(OC=7\)， \(BO=4.5\)， 求 \(OD\)。
  2. 四边形中对角线交于 \(O\)， \(AO=8\)， \(OD=5\)， \(BO=4\)， 求 \(OC\)。
  3. 若 \(AO:OC=2:3\)， \(BD=20\)， 且 \(BO:OD=3:2\)， 求 \(AO\) 和 \(OC\) 的长度。
  4. 已知 \(AO \times OC = 60\)， \(BO=5\)， 求 \(OD\)。
  5. \(S_{\triangle AOB}=12\)， \(S_{\triangle BOC}=8\)， \(S_{\triangle COD}=16\)， 求 \(S_{\triangle AOD}\)。
  6. \(S_{\triangle AOD}=15\)， \(S_{\triangle COD}=25\)， \(S_{\triangle BOC}=10\)， 求 \(S_{\triangle AOB}\)。
  7. 根据图示，快速说出 \(AO:OC\) 与哪两个三角形的面积比相等？
  8. 判断题：在任意四边形蝴蝶模型中，一定有 \(S_{\triangle ABC} = S_{\triangle BCD}\)。 （ ）
  9. 若 \(BO=2OD\)， 请写出 \(AO\) 与 \(OC\) 的比例关系。
  10. 已知 \(AC=15\)， 且 \(AO\) 是 \(OC\) 的 \(2\) 倍， \(BO=6\)， 求 \(OD\)。

二、奥数挑战

  1. 四边形 \(ABCD\) 面积为 \(180\)， 对角线分出的四个三角形中， \(S_{\triangle AOB}=20\)， \(S_{\triangle BOC}=30\)， 求 \(S_{\triangle COD}\) 和 \(S_{\triangle AOD}\)。
  2. 如图，在四边形 \(ABCD\) 中， \(M\)、\(N\) 分别是对角线 \(AC\)、\(BD\) 的中点。若 \(AB=8\)， \(CD=12\)， 利用蝴蝶模型思想，判断 \(MN\) 的取值范围。
  3. 在四边形 \(ABCD\) 中， \(S_{\triangle AOB}=4\)， \(S_{\triangle BOC}=6\)， \(S_{\triangle AOD}=9\)， 求四边形 \(ABCD\) 的总面积。
  4. 已知 \(AO:OC=3:5\)， \(S_{\triangle AOD} - S_{\triangle BOC} = 14\)， 求 \(S_{\triangle COD}\)。
  5. 将任意四边形的每条边三等分，连接对边分点，构成一个小四边形。求证：这个小四边形的对角线交点与原四边形对角线交点重合，并讨论其线段比例关系。
  6. 四边形对角线互相垂直，交于 \(O\)。已知 \(AO=3\)， \(OC=5\)， \(BD=10\)， 求四边形面积。
  7. 若 \(S_{\triangle AOB} \times S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} \times S_{\triangle AOD}\)， 能否推出四边形是梯形？为什么？
  8. 在四边形 \(ABCD\) 中， \(AC\) 与 \(BD\) 交于 \(O\)， 且 \(AB//CD\)。此时蝴蝶模型的线段积关系还成立吗？它与梯形蝴蝶模型有何异同？
  9. 已知 \(AO+OC=16\)， \(BO \times OD = 48\)， 且 \(AO\) 与 \(OC\) 的长度均为整数，求所有可能的 \(AO\)、 \(OC\)、 \(BO\)、 \(OD\) 组合（考虑对称性）。
  10. 设 \(P\) 为四边形 \(ABCD\) 内一点，连接 \(PA, PB, PC, PD\)。在 \(\triangle PAB\) 与 \(\triangle PCD\) 中，能否构造出“蝴蝶模型”？请阐述你的想法。

第三关：生活应用（5道）

  1. （分蛋糕）一块任意形状的四边形蛋糕，阿星想从两个对角切下两条直线（对角线），分给四个小朋友。他想让拿到相邻两块（有公共边）蛋糕的小朋友，其蛋糕大小比例相同。利用蝴蝶模型原理，他该如何确定下刀的交点位置？
  2. （AI视觉）一个AI程序在分析摄像头画面中的一个四边形窗户（由于透视，不是平行四边形）。它测出了窗户“骨架”（对角线）在图像中被交点分成的四段像素长度分别为： \(80\)， \(60\)， \(48\)， ?。AI需要验证测量是否准确。请帮它算出第四段像素长度，并说明验证原理。
  3. （结构力学）一个简易的四边形伸缩支架，其关节处（对角线交点 \(O\) ）的受力与连杆长度有关。工程师发现，当满足 \(AO \times OC = BO \times OD\) 时，支架在 \(O\) 点处的应力分布最均匀。已知三根连杆 \(AO=1.2m\)， \(BO=0.8m\)， \(OD=1.5m\)， 求另一根连杆 \(OC\) 的设计长度。
  4. （网购包装）一个不规则四边形的扁平礼盒，需要用两条丝带十字交叉固定（沿对角线）。为了节省丝带，交叉点必须固定在某个特定位置，使得两条丝带被交点分成的四段长度满足“上×下=左×右”的奇妙关系。如果一段丝带总长 \(60cm\)， 被分成长度为 \(15cm\) 和另一段；另一条丝带被分成 \(20cm\) 和 \(25cm\) 两段。请问这个交叉点存在吗？请通过计算说明。
  5. （公园设计）一个四边形花坛 \(ABCD\)， 中心点 \(O\) 是一个喷泉。由 \(O\) 到四个顶点的路径将花坛分成四个区域，分别种植四种花卉。园丁记录下四个区域的面积比为 \(4:6:9:?\)。为了采购花苗，他需要知道第四块区域的面积比例是多少？这用到了蝴蝶模型的什么结论？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：蝴蝶模型：任意四边形 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点在于混淆层次。蝴蝶模型有三层：1. 线段积关系 \(AO \times OC = BO \times OD\)，这是最根本的，由共边三角形面积比推导而来。2. 面积比例关系，如 \(\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{AO}{OC}\)。3. 在特定条件（如梯形）下衍生的面积积关系。学生常常跳过第1层，直接记第2或第3层的结论，导致条件不满足时出错。记住，万变不离其宗：“对角线交点分线段，上乘下等于左乘右”。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：这是比例思维和转化思想的绝佳训练场。1. 为相似三角形奠基：通过面积比推导线段比，是相似三角形证明的“前奏”。2. 贯通几何与代数：将几何关系 \(AO \times OC = BO \times OD\) 转化为方程，是解析几何思想的雏形。3. 提升复杂图形分解能力：它是处理不规则图形面积问题的核心工具之一，与等高模型、燕尾模型并重。可以说，熟练掌握它，你就拿到了解锁初中平面几何综合题的一把重要钥匙。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有！面对涉及四边形对角线的题目，按此三步：

  1. 标交点：立刻画出对角线，标出交点 \(O\)。
  2. 找四段：在两条对角线上，分别标出被 \(O\) 分成的四段线段，心中默念“上、下、左、右”。
  3. 列关系：写下核心等式 \(AO \times OC = BO \times OD\)， 将已知数或比例代入。

    如果是面积问题，则先利用 \(\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{AO}{OC}\) 等关系，将面积比转化为线段比，再回到步骤3的核心等式。这个“先标线，后列式”的套路，能解决80%的相关问题。

参考答案与解析

第一关：基础热身

  1. \(3 \times 7 = 4.5 \times OD\)， \(OD = 21 / 4.5 = \frac{14}{3}\)。
  2. \(8 \times OC = 4 \times 5\)， \(OC = 20 / 8 = 2.5\)。
  3. 由 \(BD=20\)， \(BO:OD=3:2\)， 得 \(BO=12\)， \(OD=8\)。设 \(AO=2k\)， \(OC=3k\)， 由 \(2k \times 3k = 12 \times 8\)， \(6k^2=96\)， \(k=4\)。 故 \(AO=8\)， \(OC=12\)。
  4. \(60 = 5 \times OD\)， \(OD=12\)。
  5. \(\frac{AO}{OC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\)， \(S_{\triangle AOD} = \frac{3}{2} \times S_{\triangle COD} = \frac{3}{2} \times 16 = 24\)。
  6. \(\frac{AO}{OC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}\)， \(S_{\triangle AOB} = \frac{3}{5} \times S_{\triangle BOC} = \frac{3}{5} \times 10 = 6\)。
  7. \(AO:OC = S_{\triangle AOB} : S_{\triangle BOC} = S_{\triangle AOD} : S_{\triangle COD}\)。
  8. 错误。只有在对角线相互平分（如平行四边形）或特定比例下才可能相等，一般情况下不相等。
  9. 由 \(BO=2OD\) 得 \(BO \times OD = 2OD^2\)。 设 \(AO \times OC = k\)， 则 \(k=2OD^2\)。 但 \(AO\) 与 \(OC\) 的比例无法唯一确定，仅知它们的乘积是定值。所以 \(AO:OC\) 可以是任意值，只要乘积固定。
  10. \(AC=15\)， \(AO=2OC\)， 得 \(AO=10\)， \(OC=5\)。 \(10 \times 5 = 6 \times OD\)， \(OD=50/6=25/3\)。

    11. （第二关、第三关解析因篇幅所限，在此提供关键思路）

    第二关关键思路：

    1. 由面积比求线段比，再求其他面积。总面积 \(=20+30+45+30=125\)? 等等，需要计算：设 \(S_{\triangle AOD}=x\)， \(S_{\triangle COD}=y\)。 由 \(20:30 = x:y\) 且 \(20+y+30+x=180\)， 联立求解。
    2. 连接各边中点，构造中位线。\(MN\) 与 \(AB\)、\(CD\) 的一半有关，利用三角形两边之和大于第三边推导。
    3. 由 \(4:6 = 9:S_{\triangle COD}\) 求 \(S_{\triangle COD}=13.5\)， 总面积 \(=4+6+9+13.5=32.5\)。
    4. 设 \(AO=3a\)， \(OC=5a\)。 由面积关系列方程，注意利用共高三角形面积比等于底边比。
    5. 使用坐标法或梅涅劳斯定理证明交点重合。线段比例关系变为更复杂的倍数关系。
    6. 面积 \(= \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times (3+5) \times 10 = 40\)。 (对角线垂直时，四边形面积公式)
    7. 不能。该等式是任意四边形蝴蝶模型的推论（由面积比例关系推导得出），本身成立，不能反推特殊形状。
    8. 成立。梯形是任意四边形的特殊情况，其蝴蝶模型线段积关系依然成立。特殊之处在于上下底平行，导致 \(S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOC}\)， 且面积存在平方关系。
    9. 由 \(AO+OC=16\)， \(AO \times OC = 48\)， 联立，\(AO\)、\(OC\) 是方程 \(t^2-16t+48=0\) 的两根，解得 \(AO=12\)， \(OC=4\) 或 \(AO=4\)， \(OC=12\)。 对应 \(BO \times OD=48\)， 则 \(BO\)、\(OD\) 为乘积为 \(48\) 的正整数对，如 \((6,8)\)， \((8,6)\)， \((4,12)\) 等。考虑对称性（交换 \(A\)、\(C\) 或 \(B\)、\(D\) 角色），有多组解。
    10. 可以。分别观察四边形 \(PABC\) 和 \(PADC\)， 在其中寻找对角线交点，并应用模型。这是一个思维拓展题。

      11. 第三关关键思路：

      1. 让对角线交点 \(O\) 满足 \(AO:OC = BO:OD\)， 这样四个三角形面积就成比例，相邻两块（如 \(AOB\) 与 \(BOC\)）面积比就等于 \(AO:OC\)。
      2. 第四段应为 \(100\)。 原理： \(80 \times 60 = 48 \times ?\)， \(? = 100\)。 AI可以用此验证四边形透视投影的合理性。
      3. \(1.2 \times OC = 0.8 \times 1.5\)， \(OC = 1.0\ m\)。
      4. 第一条丝带：一段 \(15\)， 则另一段为 \(60-15=45\)。 若“上×下”指 \(15 \times 45 = 675\)。 第二条丝带： \(20 \times 25 = 500\)。 \(675 \neq 500\)， 故不存在这样的交叉点使其满足关系。
      5. 设面积比为 \(4:6:9:x\)。 根据蝴蝶模型面积比例关系，有 \(4:6 = 9:x\)， 解得 \(x=13.5\)。 第四块比例为 \(13.5\)。 用到了“同一条对角线分出的两个三角形面积比相等”的结论。
        6. 更多精彩内容请访问 星火网 www.xinghuo.tv

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