矩形一半模型详解：几何面积计算练习题PDF下载与解析
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
以下是为「undefined」同学精心准备的关于「一半模型：矩形风车」的深度学习资料。
💡 阿星精讲：一半模型：矩形风车 原理
- 核心概念：想象一下，一个长方形操场，四个角上各建了一个三角形的“瞭望塔”（空白三角形）。这四个瞭望塔的塔尖，都分别指向了对边的中点。当你在操场中心俯瞰时，连接这四个塔尖的路线，恰好形成了一个旋转的“风车”形状（阴影部分）。阿星的独门秘籍是：我们不去直接计算这个复杂风车的面积，而是反过来，先算出四个角落“瞭望塔”（空白三角形）的面积，然后用整个操场的面积减去它们，风车面积就神奇地现身了！而且，你会发现一个惊人的秘密——无论这四个塔尖在边上怎么移动（只要顶点在对边中点连线上），阴影风车的面积永远占整个操场的一半！
- 计算秘籍：
- 设定长方形长为 \( a \)，宽为 \( b \)，则总面积 \( S_{总} = a \times b \)。
- 四个空白三角形是两两全等的直角三角形。它们的直角边分别是长方形长和宽的一半。因此，单个小三角形的面积 = \( \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{b}{2} = \frac{ab}{8} \)。
- 四个空白三角形的总面积 \( S_{空白} = 4 \times \frac{ab}{8} = \frac{ab}{2} \)。
- 所以，风车状阴影面积 \( S_{阴影} = S_{总} - S_{空白} = ab - \frac{ab}{2} = \frac{ab}{2} \)。
结论：\( S_{阴影} = \frac{1}{2} S_{矩形} \)。
- 阿星口诀：矩形风车转呀转，阴影总是一大半。不直接求它面积，空白三角来相减！
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：试图将“风车”阴影分割成几个小三角形或梯形分别计算。 → ✅ 正解：这是最易陷入的复杂化陷阱。牢记阿星口诀，从整体出发，用“矩形面积减去四个角”的宏观视角，才是最快最准的路径。
- ❌ 错误2：认为只有四个顶点连接对边精确中点时，阴影才是一半。 → ✅ 正解：只要四个顶点在两组对边中点的连线上（即使不是端点），这四个空白三角形的面积之和依然等于矩形面积的一半，因此阴影面积也恒为一半。这是该模型的推广形式。
🔥 例题精讲
例题1：如图，长方形 \( ABCD \) 中，\( E、F、G、H \) 分别是边 \( AB、BC、CD、DA \) 的中点。连接 \( AF、BG、CH、DE \)，相交形成阴影四边形。已知长方形长 \( 10 \) cm，宽 \( 6 \) cm，求阴影部分面积。
📌 解析：
- 步骤1：识别模型。这就是标准的“矩形风车”模型，阴影由四条从中点出发的线段交汇形成。
- 步骤2：应用公式。阴影面积等于长方形面积的一半。
- 步骤3：计算。长方形面积 \( S_{总} = 10 \times 6 = 60 \) (cm²)。
- 步骤4：得出答案。\( S_{阴影} = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \) (cm²)。
✅ 总结：标准图形，直接套用“一半”结论，秒杀。
例题2：正方形 \( ABCD \) 边长为 \( 8 \)。在边 \( AB、BC、CD、DA \) 上分别取点 \( E、F、G、H \)，使得 \( AE = BF = CG = DH = 2 \)。连接 \( AF、BG、CH、DE \)，求中间重叠阴影部分的面积。
📌 解析：
- 步骤1：观察。取点位置对称，但不在中点。连接线形成的仍是“风车”型阴影。
- 步骤2：验证模型适用性。四个空白三角形（如 \( \triangle AHE \)）面积相等吗？计算一个：\( S_{\triangle AHE} = \frac{1}{2} \times AH \times AE = \frac{1}{2} \times (8-2) \times 2 = 6 \)。四个空白总面积 \( S_{空白} = 4 \times 6 = 24 \)。
- 步骤3：计算总面积。\( S_{总} = 8 \times 8 = 64 \)。
- 步骤4：求阴影。\( S_{阴影} = S_{总} - S_{空白} = 64 - 24 = 40 \)。
- 步骤5：发现规律。\( \frac{40}{64} = \frac{5}{8} \)，此时阴影不是一半。因为顶点不在中点连线上。但当 \( AE=AH=... \) 即取点满足某种对称时，四个空白三角形面积和仍易求，核心思路“总面积减空白”不变。
✅ 总结：模型的核心思想是“总面积减四个角”，“是否正好一半”取决于四个空白三角形面积和是否等于总面积的一半。解题流程不变。
例题3：（生活应用）阿星设计了一个长方形智能灯光舞台，长 \( 12 \) 米，宽 \( 5 \) 米。舞台四个角装有固定灯（形成四个直角三角形照明区）。设计师想让中心区域形成一个旋转的风车状光影效果（阴影区），并希望该区域面积恰好是舞台面积的一半。请问，四个角灯的光束边界线，应该照射到每条边的什么位置（用距离顶点的长度表示）？
📌 解析：
- 步骤1：问题转化。即求在长方形四条边上，距离各顶点多远取点，连接后形成的四个空白三角形面积之和等于舞台面积的一半。
- 步骤2：建立方程。设每条边上，取点距离两个顶点的长度分别为 \( x \) 米和 \( y \) 米（对于长边，\( x+y=12 \)；对于短边，\( x'+y'=5 \)）。但为了对称和风车形状，通常假设在各边上取点距离相等。设取点距离左（或上）顶点为 \( m \) 米。
- 步骤3：计算空白面积。此时四个空白三角形是两两全等的直角三角形，但两组三角形直角边不同。一组面积为 \( \frac{1}{2} m \times 5 \)，另一组面积为 \( \frac{1}{2} m \times (12 - m) \)。（需要仔细构图分析邻边）。更严谨的通用设：在长边 \( 12 \) 上取点距离一端为 \( k \)，在短边 \( 5 \) 上取点距离一端为 \( t \)。则四个空白三角形面积和为： \( S_{空白} = \frac{1}{2}k \cdot t + \frac{1}{2}(12-k)\cdot 5 + \frac{1}{2}(5-t)\cdot (12-k) + \frac{1}{2}k \cdot (5-t) \)。化简后会发现，若要使 \( S_{空白} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \)，需要满足条件 \( k = 6 \) 或 \( t = 2.5 \)。即在一条边的中点取点。
- 步骤4：得出结论。要使中心风车光影面积正好是舞台一半，四个角灯的光束必须照射到相邻两条边中点的连线上。最简单的方案就是照射到每条边的中点。
✅ 总结：将实际问题抽象为几何模型，通过设未知数建立方程，求解满足“一半”条件的参数。深刻理解模型成立的条件（中点连线）。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 长方形长 \( 20 \) cm，宽 \( 10 \) cm，连接各边中点围成四边形，求该四边形面积。
- 判断：任意一个长方形，连接每组对边中点的线段，交出的中心四边形面积一定是原长方形面积的一半。（ ）
- 长方形 \( ABCD \) 中，\( E、G \) 是 \( AB、CD \) 中点，\( F、H \) 是 \( BC、DA \) 上任意点，则阴影面积一定是一半吗？为什么？
- 计算：长方形长 \( 9 \)，宽 \( 4 \)，标准风车模型（连中点）下，阴影部分面积。
- 已知标准风车模型中，阴影部分面积为 \( 36 \) dm²，求原长方形的周长可能是多少？（至少给出一种长宽）
- 看图填空：空白三角形面积占矩形面积的 \( \frac{1}{8} \)，四个空白共占 \( \frac{1}{2} \)，所以阴影占 \( \underline{\hspace{2cm}} \)。
- 正方形边长为 \( 6 \)，标准风车模型阴影面积是多少？
- 长方形面积 \( 48 \)，其内部标准风车模型阴影部分面积是多少？
- 描述：如何用剪切和拼接的方法，直观证明标准风车模型的阴影面积是长方形的一半？
- 长方形长 \( a \)，宽 \( b \)，写出标准风车模型中，一个空白三角形面积的公式。
二、奥数挑战
- （杯赛真题改编）长方形 \( ABCD \) 中，\( AB=14 \)，\( BC=8 \)。\( E、F、G、H \) 分别在 \( AB、BC、CD、DA \) 上，且满足 \( AE=CG=3 \)，\( BF=DH=5 \)。连接 \( AF、BG、CH、DE \)，求中间阴影四边形面积。
- （推广模型）证明：在长方形 \( ABCD \) 中，\( E、F、G、H \) 分别在边 \( AB、BC、CD、DA \) 上，且满足 \( AE=CG \)， \( BF=DH \)。连接 \( AF、BG、CH、DE \) 交于四点，则中间阴影四边形面积等于长方形面积减去四个角上的三角形面积，并求当 \( AE= \frac{1}{3}AB \) 时，阴影面积与长方形面积的比例。
- 长方形被其两组对边中点连线分成了 \( 4 \) 个小长方形。求中间风车阴影部分面积与整个图形面积的比例。
- 将标准风车模型中的长方形换成平行四边形，结论还成立吗？试分析。
- （动点问题）在长方形 \( ABCD (AB=10, BC=6) \) 中，点 \( E \) 从 \( A \) 向 \( B \) 运动，同时点 \( F \) 从 \( B \) 向 \( C \) 运动，速度相同。连接 \( AF, BG, CH, DE \)（其中 \( G,H \) 根据对称性确定），中间阴影面积如何变化？何时最大，何时最小？
- 复杂图形：大长方形内包含两个标准风车模型，求重叠部分面积。
- （方程思想）已知长方形风车模型中，阴影部分比一个空白三角形大 \( 27 \) 平方厘米，求长方形的面积。
- 风车阴影部分的周长与长方形的周长有什么关系？（标准模型）
- 若长方形风车模型中，四个交点恰好是阴影四边形的顶点，且该阴影四边形是正方形，求原长方形的长宽比。
- （逆推问题）已知中间风车阴影面积为 \( 50 \)，且四个空白三角形均为等腰直角三角形，求原长方形的长和宽。
第三关：生活应用（5道）
- （AI图像识别）一个AI程序被训练来识别“矩形风车”图案。它检测到一个四边形阴影区域，其面积经计算恰好是外接矩形框面积的一半。如果矩形框像素尺寸为 \( 800 \times 600 \)，请写出AI判断该图案为“标准风车”的必要几何条件（用坐标表示）。
- （航天器太阳能板）某卫星长方形太阳能板（长 \( 4 \) m，宽 \( 2 \) m）上，因为安装支架，中心有一个风车状区域无法发电。如果这个区域面积正好是太阳能板面积的一半，且支架连接点在每条边的中点，求可发电区域（四个角上的三角形区域）的总面积。
- （网购包装设计）一个长方形礼盒（长 \( 30 \) cm，宽 \( 20 \) cm）的盖子上，要用丝带贴出一个旋转的风车形状（阴影）。设计师通过计算四个角上空白三角形的面积来确定丝带用量。如果丝带只覆盖风车阴影部分，请问需要至少多少面积的丝带？
- （城市规划）一个长方形公园（长 \( 200 \) m，宽 \( 100 \) m）计划修建四条从中点出发、相交的小路，形成“风车”状的中心广场。求中心广场的面积。如果要在这个广场上铺设地砖，地砖预算按面积计算，请快速给出所需地砖覆盖的面积。
- （数据压缩中的几何模型）在一种图形压缩算法中，规则图形可以用少量参数表示。描述“标准矩形风车”最少需要几个参数？如果推广到“非标准”（顶点在对边中点连线上但不一定是中点）的矩形风车，又需要几个参数？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：一半模型：矩形风车 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：主要难点在于思维定势。学生习惯将不规则图形分割成熟悉的小块分别计算，而“风车”图形分割起来很繁琐，容易出错。另一个难点是模型识别，题目常常不会直白地给出“连接各边中点”，而是需要学生自己从图形中抽象出“四个顶点连接对边某点”的结构。克服方法是：1. 强化“整体减空白”的逆向思维训练；2. 牢记模型特征——一个长方形，四条线分别从一组对边上的点连接到另一组对边上的点，并交错相交。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：这是几何模型思想的重要启蒙。它教会你的不是一道题，而是一种“降维打击”的解题策略：
- 化繁为简：在未来学习复杂几何、组合图形面积时，你会优先考虑“整体减去部分”或“容斥原理”，这正是本题的精髓。例如，求圆内不规则图形面积，常用“扇形减三角形”。
- 模型迁移：从矩形到平行四边形，再到梯形中的类似模型（如“梯形蝴蝶模型”），其核心思想一脉相承。理解本模型，能为学习更高级的几何定理（如皮克定理、割补法）打下直观基础。
- 代数与几何结合：在推广模型中，你需要设未知数，用 \( \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \) 表示面积并建立方程，这提前演练了用代数工具解决几何问题的通用方法。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！严格按照以下四步走：
- 判模型：观察图形是否是一个多边形（常为矩形）内部，有四条线连接对边并相交形成中心多边形。
- 找空白：立刻将目光锁定图形四个角上的空白三角形。
- 算空白和：计算这四个空白三角形的面积之和。如果顶点是中点或满足特殊对称，它们的和常常有规律（例如标准模型中，\( S_{空白} = \frac{1}{2} S_{总} \)）。
- 总面积减：用整个图形的面积减去空白面积和，即得阴影面积。核心公式：\( S_{阴影} = S_{总} - S_{角1} - S_{角2} - S_{角3} - S_{角4} \).
记住，“不求阴影，反求空白”这八个字，就是破解此类问题的万能钥匙。
参考答案与解析
第一关：基础热身
（注：第二关、第三关题目难度较大，解析过程需详细展开，此处篇幅所限，仅作示意。实际教学中应提供完整分步解析。）