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等比数列求和公式详解：核心技巧、常见错误与练习题PDF下载

适用年级

六年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-19

💡 阿星精讲：等比数列：错位相减 原理

  • 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，你有一列用积木搭的“等比”高塔（后一个是前一个的固定倍数）。今天我们要算这列高塔的总高度。最经典的例子就是 \( 2 + 4 + 8 + … + 256 \)。笨办法是一个个加，但我们有“错位相减”这把神奇剪刀！它的核心就像玩“叠罗汉再对齐”的游戏：我把原数列抄一遍，然后在它下面再抄一遍，但故意让每一个“积木”都错开一位（也就是整体乘以公比）。这样上下对齐一看，中间几乎所有的“积木”都一模一样！只要两式一减，中间部分就像被魔法“消消乐”一样全部消掉，只剩下头尾两个孤零零的积木，问题瞬间变简单！
  • 计算秘籍：

    1. 设和： 设总和 \( S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1} \)。
    2. 乘公比： 在等式两边同时乘以公比 \( q \)，得到 \( qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^{n} \)。注意，这相当于把原式的每一项都向后“推”了一位。
    3. 错位相减： 用原始式子 \( S_n \) 减去乘公比后的式子 \( qS_n \)（通常用① - ②）。对齐观察，从第二项开始到倒数第二项，上下完全一样，全部抵消！

      ① S_n =a₁+ a₁q+ a₁q²+ ... +a₁qⁿ⁻¹② qS_n =a₁q+ a₁q²+ a₁q³+ ... +a₁qⁿ⁻¹+ a₁qⁿ中间全消掉！

    4. 整理求解： 相减后得到 \( S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n \)，即 \( (1-q)S_n = a_1(1-q^n) \)。当 \( q \neq 1 \) 时，最终公式为：

      \( \boxed{S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}} \)。

  • 阿星口诀： “等比求和不用慌，原式下面写乘商。错位对齐再相减，头留尾留心敞亮！”（“乘商”指乘以公比）

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：项数数错。 例如，求 \( 2 + 4 + 8 + … + 256 \) 的和，误以为最后一项 \( 256 = 2^7 \)，所以 \( n = 7 \)。
    ✅ 正解：看清通项。 首项 \( 2 = 2^1 \)，公比 \( q=2 \)，最后一项 \( 256 = 2^8 \)。因此它是从 \( 2^1 \) 到 \( 2^8 \)，总共是 \( 8 \) 项，\( n=8 \)。关键在于：指数从 \( 1 \) 到 \( 8 \)，项数就是 \( 8 \)。
  • ❌ 错误2：相减时符号混乱。 用①式减②式时，忘记给②式整体加括号，导致后面符号出错。
    ✅ 正解：务必带括号。 严格按照 \( S_n - qS_n \) 或 \( (a_1 + a_1q + …) - (a_1q + a_1q^2 + …) \) 书写，减去一个多项式时，括号不能省！

🔥 例题精讲

例题1：计算 \( 2 + 4 + 8 + 16 + … + 256 \) 的和。

📌 解析：

  1. 观察：首项 \( a_1 = 2 \)，公比 \( q = 2 \)。末项 \( 256 = 2 \times 2^{7} = 2^8 \)，所以项数 \( n = 8 \)。
  2. 设和：令 \( S_8 = 2 + 4 + 8 + … + 256 \)。
  3. 乘公比：\( 2S_8 = 4 + 8 + 16 + … + 256 + 512 \)。
  4. 错位相减（下式减上式）：

    \( \begin{aligned} &2S_8 = \phantom{2 + } 4 + 8 + 16 + … + 256 + 512\\ -)&S_8 = 2 + 4 + 8 + 16 + … + 256\\ \hline &S_8 = -2 + 0 + 0 + 0 + … + 0 + 512 \end{aligned} \)

    所以，\( S_8 = 512 - 2 = 510 \)。

✅ 总结：直接用公式 \( S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q-1} \) 也能快速得 \( S_8 = \frac{2 \times (2^8 - 1)}{2-1} = 2 \times (256 - 1) = 510 \)。心法： 找到正确的首项、公比和项数是第一步，也是最关键的一步。

例题2：求数列 \( 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, …, \frac{1}{256} \) 的前 \( 10 \) 项和。

📌 解析：

  1. 识别参数：首项 \( a_1 = 1 \)，公比 \( q = -\frac{1}{2} \)，项数 \( n = 10 \)。
  2. 代入求和公式：

    \( \begin{aligned} S_{10} &= \frac{a_1(1 - q^{10})}{1 - q} \\ &= \frac{1 \times [1 - (-\frac{1}{2})^{10}]}{1 - (-\frac{1}{2})} \\ &= \frac{1 - (\frac{1}{1024})}{1 + \frac{1}{2}} \\ &= \frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{1023}{1024} \times \frac{2}{3} = \frac{2046}{3072} = \frac{341}{512} \end{aligned} \)

✅ 总结：当公比 \( q \) 为负数或分数时，公式法比错位相减法更直接。但原理相通。心法： \( q \) 是负数时，计算 \( q^n \) 要特别注意符号和括号，例如 \( (-\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024} \)。

例题3：已知等比数列 \( \{a_n\} \)，前 \( n \) 项和 \( S_n = 3^n + k \)，求常数 \( k \) 的值。

📌 解析：

  1. 利用通项与和的关系：\( a_n = S_n - S_{n-1} \ (n \ge 2) \)。
  2. 计算：

    \( a_n = (3^n + k) - (3^{n-1} + k) = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3-1) = 2 \times 3^{n-1} \)。

  3. 因为 \( \{a_n\} \) 是等比数列，此通项公式对 \( n=1 \) 也应成立。

    由公式得 \( a_1 = 2 \times 3^{0} = 2 \)。

    由已知 \( S_1 = a_1 = 3^1 + k = 3 + k \)。

    所以 \( 3 + k = 2 \)，解得 \( k = -1 \)。

✅ 总结：这是一道公式逆向应用题。心法： 等比数列的前 \( n \) 项和公式 \( S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1}{1-q} - \frac{a_1}{1-q} \cdot q^n \)，其结构是一个常数减去一个常数乘以 \( q^n \)。已知 \( S_n = 3^n + k \)，与标准形式对比，可知 \( q=3 \)，进而反推 \( k \)。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 计算：\( 1 + 3 + 9 + 27 + … + 729 \)。
  2. 计算：\( 5 + 10 + 20 + … + 1280 \)。
  3. 求等比数列 \( 4, -2, 1, -\frac{1}{2}, … \) 的前 \( 6 \) 项和。
  4. 已知等比数列首项 \( a_1 = 6 \)，公比 \( q = 2 \)，求前 \( 5 \) 项和 \( S_5 \)。
  5. 已知等比数列首项 \( a_1 = 27 \)，公比 \( q = \frac{1}{3} \)，求前 \( 4 \) 项和 \( S_4 \)。
  6. 求和：\( 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{10} \)。
  7. 求和：\( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81} \)。
  8. 一个等比数列，前 \( 3 \) 项和为 \( 14 \)，公比为 \( 2 \)，求它的首项。
  9. 数列 \( a_n = 2^{n-1} \)，求其前 \( n \) 项和 \( S_n \)。
  10. 已知等比数列前 \( n \) 项和 \( S_n = 2^{n+1} - 2 \)，求它的公比 \( q \)。

二、奥数挑战

  1. 计算：\( 1 \times 2 + 2 \times 2^2 + 3 \times 2^3 + … + 10 \times 2^{10} \)。
  2. 求和：\( \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + … + \frac{10}{2^{10}} \)。
  3. 设 \( S_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + … + \frac{n}{3^n} \)，求 \( S_n \)。
  4. 已知数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1=1 \)，\( a_{n+1} = 2a_n + 1 \ (n \ge 1) \)，求其前 \( n \) 项和 \( S_n \)。
  5. 求 \( 0.7 + 0.77 + 0.777 + … + 0.\underbrace{77…7}_{n个7} \) 的和。
  6. 求 \( 1 + 11 + 111 + … + \underbrace{111…1}_{n个1} \) 的和。
  7. 已知数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项和 \( S_n \) 满足 \( S_n = 2a_n - 1 \)，求 \( S_n \)。
  8. 求和：\( 1^2 + 2^2 \cdot 2 + 3^2 \cdot 2^2 + 4^2 \cdot 2^3 + … + n^2 \cdot 2^{n-1} \)。
  9. 计算：\( \sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^{k-1} \)。
  10. 设 \( T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k+1}{2^{k-1}} \)，化简 \( T_n \)。

第三关：生活应用（5道）

  1. （AI模型参数）某个神经网络层，第一层有 \( 10 \) 万个参数，之后每一层的参数数量是前一层的 \( 0.8 \) 倍。如果这个网络共有 \( 6 \) 层，求该网络这部分的参数总量（精确到万）。
  2. （卫星信号衰减）地面站向卫星发送信号，信号强度每经过 \( 1 \) 公里衰减为原来的 \( 99.5\% \)。卫星距离地面 \( 36000 \) 公里，为确保卫星能接收到最小强度为 \( P_0 \) 的信号，地面站最初需要发射的强度至少是 \( P_0 \) 的多少倍？（可用 \( q^n \) 表示）
  3. （网购优惠）某电商“双十一”推出连续签到领红包活动：第一天领 \( 0.1 \) 元，之后每天领到的金额是前一天的 \( 1.5 \) 倍。如果活动持续 \( 7 \) 天，小明全部签到，他总共能领到多少元（保留两位小数）？
  4. （细胞分裂）一种实验细菌，每 \( 20 \) 分钟数量翻一番（公比为 \( 2 \) ）。现有 \( 1 \) 个细菌，培养 \( 4 \) 小时后，细菌的总数是多少？（提示：注意分裂次数）
  5. （贷款还款）一种“气球贷”的还款方式：前 \( 11 \) 个月每月只还少量利息 \( m \) 元，最后第 \( 12 \) 个月一次性偿还剩余全部本金和最后一个月利息。设贷款总额为 \( A \) 元，月利率为 \( r \)，试写出第 \( 12 \) 个月还款额的计算表达式。（提示：前11个月还款后，剩余本金构成一个等比数列）

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：等比数列：错位相减 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：主要难点在于“形”与“神”的分离。学生记住了“错位、相减”的形，但没有理解其神——即通过构造一个几乎完全相同的式子，利用相减实现“批量抵消”。这本质上是一种“差分”思想。当题目变式不再是标准 \( \sum a_n \) 而是 \( \sum n a_n \) 或 \( \sum (n+1)a_n \) 时，机械套用就会失败。关键在于明白，我们乘以公比 \( q \) 的目的，就是为了让两个式子的同类项对齐，为相消创造机会。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：它的帮助是里程碑式的。

  • 高中数学： 它是推导等比数列求和公式的根本方法，也是解决数列求和问题（如差比数列 \( \sum (an+b)q^{n-1} \) ）的核心工具。理解它，就掌握了数列“求和与通项”互化思想的一把钥匙。
  • 高等数学/大学数学： 这是“裂项相消”与“差分算子”思想最朴素的体现。在无穷级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 中，判断收敛性有时就需要考察其部分和 \( S_n \)，而求 \( S_n \) 的技巧正源于此。在幂级数、泰勒展开中，处理形如 \( \sum n x^n \) 的求和时，技巧完全同源。

可以说，它是由有限和通向无限和、由常量数学迈向变量数学的一座小桥。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：对于标准等比求和，直接用公式 \( S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \ (q \ne 1) \) 就是最佳套路。但对于更一般的“差比数列”（等差数列×等比数列），则有一个万能四步套路：

  1. 设和： 设 \( S_n = \sum_{k=1}^{n} (Ak+B) \cdot q^{k-1} \)。
  2. 乘公比： 写出 \( qS_n = \sum_{k=1}^{n} (Ak+B) \cdot q^{k} \)。
  3. 错位相减： 计算 \( (1-q)S_n = S_n - qS_n \)。此时，右边的式子经过整理，会变成一个等比数列的和加上一个单独的项。
  4. 整理得解： 将等式两边同时除以 \( (1-q) \) 即可得到 \( S_n \)。

    记住这个模型：\( \sum (\text{关于n的线性函数}) \times (\text{等比数列}) \) ，错位相减是通法。

参考答案与解析

第一关：基础热身

  1. \( a_1=1, q=3, 729=3^6 \Rightarrow n=7, S_7=\frac{1 \times (3^7-1)}{3-1}=1093 \)。
  2. \( a_1=5, q=2, 1280=5 \times 2^8 \Rightarrow n=9, S_9=\frac{5 \times (2^9-1)}{2-1}=2555 \)。
  3. \( a_1=4, q=-\frac{1}{2}, n=6, S_6=\frac{4 \times [1-(-\frac{1}{2})^6]}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{4 \times (1-\frac{1}{64})}{\frac{3}{2}}=\frac{4 \times \frac{63}{64}}{\frac{3}{2}}=\frac{21}{8} \)。
  4. \( S_5=\frac{6 \times (2^5-1)}{2-1}=6 \times 31=186 \)。
  5. \( S_4=\frac{27 \times [1-(\frac{1}{3})^4]}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27 \times (1-\frac{1}{81})}{\frac{2}{3}}=\frac{27 \times \frac{80}{81}}{\frac{2}{3}}=40 \)。
  6. \( S_{10}=\frac{2 \times (2^{10}-1)}{2-1}=2046 \)。
  7. \( a_1=1, q=-\frac{1}{3}, n=5, S_5=\frac{1 \times [1-(-\frac{1}{3})^5]}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1+\frac{1}{243}}{\frac{4}{3}}=\frac{244}{243} \times \frac{3}{4}=\frac{61}{81} \)。
  8. \( S_3=\frac{a_1(1-2^3)}{1-2}=14 \Rightarrow \frac{a_1 \times (-7)}{-1}=14 \Rightarrow 7a_1=14 \Rightarrow a_1=2 \)。
  9. \( a_1=1, q=2, S_n=\frac{1 \times (2^n-1)}{2-1}=2^n-1 \)。
  10. \( S_1=a_1=2^{2}-2=2, S_2=2^{3}-2=6 \Rightarrow a_2=S_2-S_1=4 \Rightarrow q=\frac{a_2}{a_1}=2 \)。

    11. 第二关 & 第三关解析 因篇幅所限，此处提供关键思路。如你需要，我可以为你详细展开其中任何一道题的完整解析过程。

    二、奥数挑战

    1. 设和为 \( S \)，计算 \( 2S \) 错位相减。
    2. 同第1题，是差比数列求和。
    3. 通用解法，设和后乘 \( \frac{1}{3} \) 再错位相减。
    4. 先由递推式求通项 \( a_n = 2^n - 1 \)，再求和。
    5. 将每一项写成 \( 0.777…7 = \frac{7}{9}(1-10^{-n}) \)，转化为等比数列求和。
    6. 同第5题思想，\( 111…1 = \frac{10^n - 1}{9} \)。
    7. 利用 \( a_n = S_n - S_{n-1} \) 证明其为等比数列，再求和。
    8. 三次应用错位相减技巧（或求导思想）。
    9. 拆成 \( 2\sum k\cdot 3^{k-1} - \sum 3^{k-1} \)。
    10. 拆成 \( \sum \frac{k}{2^{k-1}} + \sum \frac{1}{2^{k-1}} \)。

      11. 生活应用关键思路提示：

      1. 参数总量 \( S_6 = 100000 \times \frac{1-0.8^6}{1-0.8} \approx 369664 \)，约 \( 37 \) 万。
      2. 衰减系数为 \( 0.995 \)，距离 \( 36000 \) 公里，故所需倍数为 \( \frac{1}{0.995^{36000}} \)，即 \( (0.995)^{-36000} \) 倍。
      3. \( S_7 = \frac{0.1 \times (1-1.5^7)}{1-1.5} \approx 21.71 \) 元。
      4. 4小时=240分钟，分裂 \( \frac{240}{20}=12 \) 次，总数 \( N = 1 \times 2^{12} = 4096 \)。
      5. 前11个月每月还款后，剩余本金构成数列：\( A, A(1+r)-m, [A(1+r)-m](1+r)-m, … \)。可推导出第12个月初剩余本金 \( L = A(1+r)^{11} - m \times \frac{(1+r)^{11}-1}{r} \)，则第12个月还款额 \( = L(1+r) \)。
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