小学数学租船问题最优方案图解与解题全攻略：典型例题精讲
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2025-12-21
最优方案(租船)：让阿星教你如何省钱租船！
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你和朋友们要去公园划船。大船坐的人多，平均下来每人花的钱更少（就像批发价更便宜）。所以我们的策略很明确：先尽量全部坐大船。但问题来了，如果全坐大船，最后可能剩下几个人坐不满一条大船，这就浪费了“座位”这个宝贵的资源。这时，我们就需要调整策略：退掉1条大船，换成几条小船，目标是让所有座位都坐满，没有一个人“悬空”。这就是“尽量坐大船，且不要留空位”的精髓。
👀 看图说话：优化过程一目了然
关键点拨：
图中展示了核心的“调整一步法”。左边，5条大船坐了25人，但实际只有28人，所以多出了3个空位，这3个空位就是你多付的钱！右边，我们退掉1条大船（5个座位），这5个人加上原来的3个空位，一共8个人需要重新安排。而2条小船正好坐6人吗？不对！仔细看，8人用2条小船（每船3人）只能坐6人，还差2人。所以，退1条大船换来的座位，需要用“几条小船的组合”来精确匹配，目标是把所有“隐形”的空位都填满。调整的关键在于计算：空位数 + 大船退掉的座位数 = 需要用小船承载的总人数。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】有28人要划船。大船每艘限乘5人，租金30元；小船每艘限乘3人，租金20元。怎样租船最省钱？
阿星的显微镜
第一步：尽量全租大船。 \( 28 \div 5 = 5（条）\cdots 3（人） \)
方案A：租5条大船，1条小船。总座位：\(5×5+3=28\)。租金：\(30×5+20×1=170\)元。
第二步：调整，消灭空位。 5条大船时，剩下3人坐小船。但大船有没有空位？有！最后那条小船只坐了3人（满员），但看看大船：如果退1条大船（5人下来），这5人加上剩下的3人，共8人。 8人需要小船：\(8 \div 3 = 2（条）\cdots 2（人）\)，2条小船坐6人，还多2人？不对，这样算又出现新空位了。我们换一种思考：
退掉1条大船后，我们租4条大船。\(4×5=20\)人，剩下\(28-20=8\)人全部坐小船。\(8 \div 3 = 2（条）\cdots 2（人）\)，余2人怎么办？必须再租1条小船！所以需要3条小船。但3条小船能坐\(3×3=9\)人，我们只有8人，这又产生了1个空位！这个方案不好。
第三步：精确匹配。 让我们系统地试：从大船最多（5条）开始，逐条减少大船，计算对应的小船数及空位。
- 5大船： 5×5=25人 → 需小船：(28-25)/3=1条 → 空位：0 → 租金：170元
- 4大船： 4×5=20人 → 需小船：(28-20)/3=2条余2人 → 需3条小船 → 空位：3×3-8=1个 → 租金：4×30+3×20=180元（更贵）
- 3大船： 3×5=15人 → 需小船：(28-15)/3=4条余1人 → 需5条小船 → 空位：5×3-13=2个 → 租金：210元（更贵）
所以最优方案就是第一步得到的：5条大船，1条小船。租金170元。 这个例子中，第一步的“余数”正好能被小船整除，所以一步到位就是最优。
【易错陷阱】把母题数据变一下：有32人要划船。 大船每艘限乘5人，租金30元；小船每艘限乘3人，租金20元。怎样租船最省钱？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错： 直接仿照母题：\( 32 \div 5 = 6（条）\cdots 2（人）\)。于是租6条大船，1条小船。总座位：\(6×5+3=33\)，租金：\(30×6+20×1=200\)元。以为这就是最省钱的。
图解陷阱： 看这个方案，最后那条小船只坐了2个人，产生了1个空位！这个空位就是你多花的冤枉钱。图中如果画出来，会显示小船上有1个座位是空的。
正确思路： 遵循“尽量坐大船，且不留空位”原则。发现6大1小方案有空位，我们就退掉1条大船试试。
- 方案1（6大1小）：6×5+3=33座，空1位，租金200元。
- 调整：退1大船，改租5条大船。\(5×5=25\)人，剩下\(32-25=7\)人坐小船。\(7 \div 3 = 2（条）\cdots 1（人）\)，所以需要3条小船。座位：\(5×5+3×3=34\)，空2位？等等，3条小船坐9人，我们只有7人，确实空了2位。租金：\(5×30+3×20=210\)元，更贵了。此路不通。
- 再调整：试试退2条大船，租4条大船。\(4×5=20\)人，剩下\(32-20=12\)人。\(12 \div 3 = 4（条）\)，正好！需要4条小船。
- 方案2（4大4小）：座位：\(4×5+4×3=32\)，零空位！ 租金：\(4×30+4×20=120+80=200\)元。
租金也是200元，但方案2比方案1（同样200元）实现了“零空位”，资源利用最充分。如果租金计算更精细（比如小船人均价更低），方案2通常会胜出。但本题中两者租金相同，都算最优方案。关键在于你不能只算到“6大1小”就停止，必须检查是否有“零空位”的混租方案。
【高手进阶】班级42人春游。大客车每辆限乘20人，租金500元；小客车每辆限乘12人，租金360元。怎样租车最省钱？这和租船是不是一个道理？
思维迁移： 这完全是“租船问题”的变种！核心模型一模一样：大车（船）人均便宜，所以要优先考虑；但坐不满会有“空位”（空座），浪费钱。解题钥匙仍然是：先尽量全租大车，然后通过减少大车数量、增加小车数量的方式来尝试消除空位，并比较所有“零空位或空位极少”方案的总租金。
计算一下：大车人均 \(500÷20=25元\)，小车人均 \(360÷12=30元\)。显然大车更划算。
1. 全大车：\(42÷20=2辆\cdots 2人\)，需3辆大车。空位：\(3×20-42=18个\)！租金1500元。空位极多，肯定不划算。
2. 2辆大车：\(2×20=40人\)，剩2人。但2人需要1辆小车，空10位。租金：\(2×500+1×360=1360元\)。
3. 调整：1辆大车：坐20人，剩22人。\(22÷12=1辆\cdots 10人\)，需要2辆小车。空位：\(2×12-22=2个\)。租金：\(1×500+2×360=1220元\)。
4. 0辆大车：全小车，\(42÷12=3辆\cdots 6人\)，需4辆小车。空位：\(4×12-42=6个\)。租金：\(4×360=1440元\)。
对比下来，租1辆大车和2辆小车（租金1220元，空2位）是最优方案。看，解题思路和租船完全一致！
📝 阿星的定海神针（口诀）：
最优租船要记牢，两大原则不能少：
一是大船优先坐，人均价钱比较小；
二是不留空位子，调整搭配是妙招。
🚀 举一反三：巩固练习
有50名同学去划船。大船每艘坐6人，租金40元；小船每艘坐4人，租金30元。怎样租船最省钱？最少花费多少元？
一位同学这样解题：“54人，大船坐8人租金50元，小船坐5人租金40元。54÷8=6条余6人，所以租6大1小，共花340元。” 他可能错在哪里？请找出更省钱的方案。
公司68人团建。大巴每辆坐30人，租金800元；中巴每辆坐20人，租金600元。怎样租车总费用最低？这和我们学的租船模型有什么联系？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一解析：先求人均价：大船 \(40÷6≈6.67元\)，小船 \(30÷4=7.5元\)，大船便宜。尽量租大船：\(50÷6=8条\cdots 2人\)。方案A：8大1小，座位 \(8×6+4=52\)，空2位，租金 \(8×40+30=350元\)。调整：租7条大船，坐42人，剩8人正好需2条小船（零空位）。方案B：7大2小，租金 \(7×40+2×30=340元\)。340 < 350，因此最省方案为租7条大船和2条小船，最少花费340元。
- 练习二解析：该同学方案（6大1小）的空位计算：\(6×8+5=53\)座，共54人，只空了1位，看似合理。但让我们检查调整方案：租5条大船（坐40人），剩14人。\(14÷5=2条\cdots 4人\)，需3条小船，座位 \(5×8+3×5=55\)，空1位。租金：\(5×50+3×40=250+120=370元\)，比340元贵。租4条大船（坐32人），剩22人。\(22÷5=4条\cdots 2人\)，需5条小船，座位 \(4×8+5×5=57\)，空3位。租金：\(4×50+5×40=200+200=400元\)。可见原方案（6大1小，租金340元）确实是最优的。本题陷阱在于诱导你以为“有余数”就一定有更优混搭，但经过验证，原方案已是最优。关键是要动手试算调整后的方案，避免想当然。
- 练习三解析：这是典型的“租船模型”应用于交通。大巴人均 \(800÷30≈26.67元\)，中巴人均 \(600÷20=30元\)，大巴便宜。尽量租大巴：\(68÷30=2辆\cdots 8人\)。方案A：2大1中，座位 \(2×30+20=80\)，空12位，租金 \(2×800+600=2200元\)。调整：租1辆大巴，坐30人，剩38人。\(38÷20=1辆\cdots 18人\)，需2辆中巴。座位 \(1×30+2×20=70\)，空2位，租金 \(1×800+2×600=2000元\)。调整：租0辆大巴，全中巴：\(68÷20=3辆\cdots 8人\)，需4辆中巴，空12位，租金 \(4×600=2400元\)。因此，最省方案是租1辆大巴和2辆中巴，总费用2000元。联系：本质都是“在满足总人数约束下，通过组合不同容量和成本的单元，使总成本最低”的优化问题。
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