图解网格最短路径问题：阿星的标数法秘籍：典型例题精讲
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最近更新
2025-12-21
最短路径（网格）深度解题指南：阿星教你数格子不迷路
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你叫阿星，要去给住在街区对角的朋友送信。你的家（起点A）在街区的左下角，朋友家（终点B）在右上角。街区就像一张方格纸，你只能向右走（东）或者向上走（北），因为走回头路或向下走都不是最短路线。
现在问题来了：从A到B有多少种不同的最短走法？
核心秘密（标数法）：阿星发现，到达任何一个十字路口（格子点）的走法数量，只取决于它左边和下边邻居的“繁忙程度”。
物理隐喻：把每个路口想象成一个“雨水收集点”。起点A放了一颗“魔法雨滴”（代表1种方法）。雨水规则是：每一滴雨水只能向右或向上流。那么，任何一个路口的“水量”（路径数），都等于它左边路口流过来的水，加上它下边路口流过来的水。因为水只能从这两个方向流过来。
👀 看图说话：
关键点拨：用“慢动作”回放一下图中的计算：为什么起点A是1？因为从A到A只有“不动”这1种方法，这是所有计算的源头，必须从这里开始“下雨”。再看B点左下角的那个点（坐标210，50），它的数字3是怎么来的？它左边点(130，50)的数字是1，它下边点(210，110)的数字是2，所以 1 + 2 = 3。这形象地说明了：要到达这个点，要么从左边那个点向右走一步过来（有1种方法），要么从下边那个点向上走一步过来（有2种方法），所以总共是 1 + 2 = 3 种方法。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】一个2×2的街区（即横向2格，纵向2格，构成3×3的路口网格）。阿星从最左下角A出发，到最右上角B，只向右或向上走，有多少种最短走法？
阿星的显微镜
标准算式（标数法）：按照“左加下”的规则，从起点A(1)开始，逐个路口标记数字。你会发现最终B点的数字是6。所以有6种走法。
背后的数学：从A到B，总共需要向右走2步（东），向上走2步（北）。不同的走法就是这4步（2东+2北）的不同排列顺序。计算公式是组合数 \( C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6 \)。标数法的结果和这个公式完全一致！
【易错陷阱】条件变了！阿星必须先去街角的便利店C点（坐标1，1）买瓶水，然后再去B点。从A到C再到B，有多少种不同的最短走法？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：直接用A到B的总方法数（6种）乘以某个数。
图解陷阱：问题变成了两段独立的旅程：A→C 和 C→B。不能混在一起算总账。
正确思路：
1. 分阶段计算：先算A到C的最短路径数。在2x2网格中，C点就是中间那个顶点。用标数法，C点数字为2（路径：右→上，或上→右）。
2. 再算C到B的最短路径数。同样用标数法（把C看作新起点，标为1），B点数字为2。
3. 乘法原理：完成整个过程（A→C→B）的方法数，等于第一步的方法数乘以第二步的方法数：\( 2 \times 2 = 4 \) 种。
【高手进阶】街区施工！在2×2的街区中，有一个路口（坐标1，0）被封路了（图中黑色方块）。阿星从A到B，有多少种避开障碍的最短走法？
思维迁移：障碍点就是“干涸点”或“断流点”！在标数法里，障碍点的数字应该标记为0，因为雨水无法流到这里，自然也没有水能从它这里流出去。然后继续使用“左加下”的规则，但遇到障碍点就按0处理。你会发现最终B点的数字变成了3。这比没有障碍时（6种）少了，因为封路堵住了一些可能的路线。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
标数法，像下雨，
起点一滴是根基。
每个路口算总和：
左边加上下边滴。
遇到障碍就归零，
分段计算要用乘！
🚀 举一反三：巩固练习
一个3×2的街区（横向3格，纵向2格）。阿星从最左下角到最右上角，有多少种最短走法？（用标数法和组合数公式分别验证）
在3×2的街区中，如果规定必须经过中心点（坐标1，1），有多少种走法？（小心陷阱，是分两段乘，不是加！）
你的学校在网格左下角，图书馆在右上角。有两条路因为修路不能走（坐标(1,0)和(2,1)）。设计一条最短路径，并计算有多少种不同的走法能避开这些“坑”。
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：10种。解析：总需向右3步，向上2步，共5步。最短路径数即5步中选2步向上的组合数：\( C_5^2 = 10 \)。标数法最终右上角数字也为10。
- 练习二：6种。解析：先算A到中心点(1,1)：需右1步，上1步，共 \( C_2^1 = 2 \) 种。再算中心点到B：需右2步，上1步（因整体是3×2，中心到B横向剩2格，纵向剩1格），共 \( C_3^1 = 3 \) 种。总方法：\( 2 \times 3 = 6 \) 种。
- 练习三：2种。解析：用标数法，将两个障碍点(1,0)和(2,1)标为0。从起点(0,0)标1开始，根据“左加下”规则计算所有非障碍点。最终终点(3,2)的数字为2。具体两条路径可描述为：① 上、上、右、右、右；② 右、右、上、右、上。（注意必须避开障碍，路径可能迂回）
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