三年级数学期末急救：周长的逆运算易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
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2025-12-22
💡 阿星精讲：周长的逆运算 的核心避坑原理
- 概念重塑：想象你手里有一根神奇的“魔法铁丝”，它的长度永远不会变。先用它围成一个正方形，你知道正方形的周长就是这根铁丝的总长度。现在，阿星把铁丝拉直，重新弯成一个长方形。记住，铁丝的总长度（周长）没有变！ 很多同学会算对铁丝长 \( 5 \times 4 = 20 \) 厘米，但一求长方形的长就直接用 \( 20 - 2 = 18 \) 厘米，这就掉坑里了！因为长方形周长公式是 \( (长+宽) \times 2 \)，所以已知周长和宽，求长的正确步骤是：先用周长除以2，得到“长+宽”的和，再减去宽。 也就是：\( (20 \div 2) - 2 = 8 \) 厘米。
- 避坑口诀：铁丝变形记，周长是前提。先除2再减，千万别忘记！
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：把“已知周长求长（或宽）”和“已知长和宽求周长”的公式记混。看到周长和宽，想都不想就直接相减，忘记长方形有两条长和两条宽。正解：牢记逆向公式：\( 长 = (周长 \div 2) - 宽 \)，\( 宽 = (周长 \div 2) - 长 \)。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：题目给出复杂图形或不完整信息时，容易找错“对应的长和宽”，或者把图形的某条边误认为是周长的一部分。正解：用笔描出图形的外围一圈，明确“周长”是哪几条边的和，再判断哪些是长，哪些是宽。
- ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在分步计算时，先算 \( 周长 \div 2 \) 得到一个中间结果（长+宽的和），但在下一步用这个中间结果去减另一个数时，忘记了自己算的是什么，导致用错数。正解：养成在算式旁边标注的好习惯，比如写上“先算：长+宽=？”
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 小明用一根铁丝正好围成一个边长是6厘米的正方形。如果用这根铁丝围成一个宽是4厘米的长方形，这个长方形的长是多少厘米？
💀 错误率：85%
❌ 常见错误：铁丝长：\( 6 \times 4 = 24 \)厘米。长方形长：\( 24 - 4 = 20 \)厘米。
✅ 阿星解析：
- 第一步：抓住核心——“同样长的铁丝”，所以周长不变。正方形周长 = 铁丝长 = \( 6 \times 4 = 24 \) (厘米)。
- 第二步：理解公式。长方形周长 = \( (长+宽) \times 2 \)。现在已知周长是24厘米，宽是4厘米，求长。
- 第三步：倒推计算。先算“长与宽的和”：\( 24 \div 2 = 12 \) (厘米)。再用和减去宽，得到长：\( 12 - 4 = 8 \) (厘米)。
所以，长方形的长是 \( 8 \) 厘米。看，如果不先除以2，就会掉进“直接减”的大坑！
【易错题2：思维陷阱】 下图是一个由两个长方形拼成的“L”形图形，用一根铁丝刚好可以围出它的外框。如果已知部分边的长度（如图），这根铁丝至少有多长？
（说明：图形外围实线是铁丝要围的部分，红色虚线是帮助我们思考的辅助线。）
💀 错误率：90%
❌ 常见错误：试图把所有？都求出来，或者误认为总周长是 \( 10+6+9+... \) 的简单相加，结果算不下去。
✅ 阿星解析：这道题考察的是对“周长”定义的灵活运用。铁丝只围最外框一圈。
- 我们不需要知道每条短边多长，只需要知道外围所有边的总和。
- 观察图形，上方的总长度是 \( 10 \) cm 加上右边凸出部分的宽度（未知）。但是，下方的总长度也等于 \( 10 \) cm 加上那个同样的宽度！
- 左右两侧也是同理。左侧高度是 \( 6 \) cm，右侧高度是 \( 9 \) cm。
- 所以，整个图形的周长可以这样“平移”思考：它等于一个长 = \(10 + ?\)，宽 = \(9\) 的大长方形的周长吗？不对！ 因为下方凹进去一块。但其实，我们可以把所有的横向边“推”到最上、最下两条线上，把所有的竖向边“推”到最左、最右两条线上。你会发现：
- 所有横向边的总长度 = \( 10 \times 2 = 20 \) cm。
- 所有竖向边的总长度 = \( 6 + 9 = 15 \) cm。
- 因此，铁丝总长（周长）= \( 20 + 15 = 35 \) (厘米)。
阿星提示：对于不规则图形，常用“平移法”把边移动成一个规则的长方形，但移动前后，所有边的总长度不变。
【易错题3：大题陷阱】 李叔叔想用一根铁丝围一个长比宽多5米的长方形鸡圈。围好后量了一下，发现这个长方形的周长是30米。
- 这个长方形鸡圈的长和宽分别是多少米？
- 如果李叔叔想用同样长的铁丝靠着一面墙（如下图）围一个最大的长方形鸡圈，这个鸡圈的长和宽可以是多少？请你画出示意图并标出长度。
💀 错误率：95%
❌ 常见错误：
- 第1问：设宽为x米，列方程 \( x + (x+5) = 30 \)，忘记周长公式要乘以2。
- 第2问：不理解“靠墙围”的意思，直接用第1问的答案；或者不知道“最大”是什么意思。
✅ 阿星解析：
- 第1问：
- 已知周长 \( = 30 \) 米，长比宽多 \( 5 \) 米。设宽为 \( x \) 米，则长为 \( (x+5) \) 米。
- 根据长方形周长公式：\( (长+宽) \times 2 = 周长 \)。
- 列式：\( [ (x+5) + x ] \times 2 = 30 \)
- 化简：\( (2x + 5) \times 2 = 30 \) → \( 4x + 10 = 30 \) → \( 4x = 20 \) → \( x = 5 \)
- 所以，宽为 \( 5 \) 米，长为 \( 5+5=10 \) 米。
- 第2问：“靠一面墙围”意味着铁丝只用来围三条边（两条宽和一条长，或者两条长和一条宽）。周长（铁丝总长）还是30米。
- 情况A：长靠墙。那么铁丝围“两条宽 + 一条长” = 30米。即 \( 宽 \times 2 + 长 = 30 \)。要想面积大，长和宽要尽量接近。可以尝试让宽为10米，则长为 \( 30 - 10\times2 = 10 \)米，此时是一个正方形（特殊长方形），面积是 \( 10 \times 10 = 100 \) 平方米。
- 情况B：宽靠墙。那么铁丝围“两条长 + 一条宽” = 30米。即 \( 长 \times 2 + 宽 = 30 \)。同样让长和宽接近，设长=宽=a，则公式变为 \( 2a + a = 30 \) → \( 3a = 30 \) → \( a=10 \)。此时面积也是 \( 10 \times 10 = 100 \) 平方米。
- 所以，最大的鸡圈可以是边长为10米的正方形，靠墙方式不同。示意图可以画一个长10米、宽10米的正方形，其中一边紧贴墙壁。
阿星点睛：第2问是开放题，考察对周长概念的实际应用。关键要明白“靠墙”省了一条边的铁丝，所以“三条边的和是30米”。
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- 一根铁丝长20厘米，围成一个长方形，如果宽是4厘米，那么长就是16厘米。 ( )
- 已知正方形的周长是24分米，它的边长就是 \( 24 \div 4 = 6 \) 分米。 ( )
- 一个长方形，周长是30米，长是10米，那么宽一定是 \( 30 - 10 - 10 = 10 \) 米。 ( )
- 用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，它们的周长一定相等。 ( )
- 一个长方形，如果宽不变，长增加5厘米，那么周长就增加10厘米。 ( )
第二关：防坑演练（填空 5题）
- 用一根32厘米长的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是 \( \underline{\hspace{2cm}} \) 厘米。如果用这根铁丝围成一个长10厘米的长方形，长方形的宽是 \( \underline{\hspace{2cm}} \) 厘米。
- 一个长方形操场，周长是400米，长是120米，宽是 \( \underline{\hspace{2cm}} \) 米。
- 把一个边长为8厘米的正方形框架，拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是 \( \underline{\hspace{2cm}} \) 厘米。（提示：想想“魔法铁丝”）
- 一个长方形相框，周长是60厘米，已知长是宽的2倍。这个相框的长是 \( \underline{\hspace{2cm}} \) 厘米，宽是 \( \underline{\hspace{2cm}} \) 厘米。
- 小华用铁丝绕一个五角星（每个角一样大）的边一圈，正好用完。如果这个五角星每条边的长度都是6厘米，他至少需要 \( \underline{\hspace{2cm}} \) 厘米长的铁丝。
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- 错。 解析：长方形的长应该是 \( (20 \div 2) - 4 = 10 - 4 = 6 \) 厘米。直接 \( 20 - 4 = 16 \) 厘米是错误的。
- 对。 解析：正方形边长 = 周长 \( \div 4 \)，\( 24 \div 4 = 6 \)。
- 错。 解析：宽应该是 \( (30 \div 2) - 10 = 15 - 10 = 5 \) 米。 \( 30 - 10 -10 = 10 \) 米这个式子本身计算结果是10，但逻辑是错的（它误用了“周长减两个长”，而正确逻辑是先求“长+宽”的和）。
- 对。 解析：因为铁丝长度一样，所以围成的图形的周长都等于铁丝长，当然相等。
- 对。 解析：长方形有两条长，一条长增加5厘米，两条长就一共增加 \( 5 \times 2 = 10 \) 厘米，所以周长增加10厘米。
第二关：防坑演练
- 解析：正方形边长 = \( 32 \div 4 = 8 \) (厘米)。长方形宽 = \( (32 \div 2) - 10 = 16 - 10 = 6 \) (厘米)。 答案：8；6。
- 解析：宽 = \( (400 \div 2) - 120 = 200 - 120 = 80 \) (米)。 答案：80。
- 解析：无论拉成什么形状，铁丝长度（周长）不变。原正方形周长 = \( 8 \times 4 = 32 \) 厘米，所以平行四边形周长也是32厘米。 答案：32。
- 解析：设宽为 \( x \) 厘米，则长为 \( 2x \) 厘米。周长公式：\( (2x + x) \times 2 = 60 \)。即 \( 3x \times 2 = 60 \) → \( 6x = 60 \) → \( x = 10 \)。所以宽10厘米，长 \( 2 \times 10 = 20 \) 厘米。答案：20；10。
- 解析：五角星有10条相等的边（可以画图数一数）。铁丝长 = \( 6 \times 10 = 60 \) 厘米。 答案：60。
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