六年级数学期末急救：周长相等，谁面积大？易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 用一根长 \(40\) 厘米的铁丝分别围成一个正方形和一个长 \(12\) 厘米的长方形。它们的面积分别是多少？谁的面积大？大多少？

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：1. 直接用 \(40\) 作为正方形面积计算的依据。2. 计算长方形面积时，宽算错：\(40 - 12 \times 2 = 16\)，误以为 \(16\) 就是宽，没有除以 \(2\)。3. 比较出正方形面积大后，就得出结论，完全忘了还有圆形这回事！题目没问，但思维惯性会导致在后续题目中漏掉圆形。

✅ 阿星解析：

1. 正方形： 周长 \(C_{正} = 40\) cm，边长 \(a = 40 \div 4 = 10\) cm。面积 \(S_{正} = a^2 = 10^2 = 100\) cm²。
2. 长方形： 已知长 \(l = 12\) cm，周长 \(C_{长} = 40\) cm。根据公式 \(C_{长} = 2 \times (l + w)\)，得 \(40 = 2 \times (12 + w)\)，所以 \(12 + w = 20\)，宽 \(w = 8\) cm。面积 \(S_{长} = l \times w = 12 \times 8 = 96\) cm²。
3. 比较： \(S_{正} (100) > S_{长} (96)\)，正方形面积大。大的面积是 \(100 - 96 = 4\) cm²。
4. 阿星提醒： 看，用同一根铁丝，正方形只比这个特定的长方形大一点点。但如果我围成一个圆形呢？我们来算算：圆的周长 \(C_{圆} = 2\pi r = 40\)，所以半径 \(r = 40 \div (2\pi) = 20 / \pi \approx 6.37\) cm。面积 \(S_{圆} = \pi r^2 = \pi \times (20/\pi)^2 = 400 / \pi \approx 127.3\) cm²！远远大于正方形和长方形。记住“越圆胖，肚量越大”！

【易错题2：思维陷阱】 下面两个图形都是用同样长的铁丝围成的。图1是一个半圆形，图2是一个正方形。关于它们面积的说法，正确的是（ ）。
A. 半圆面积大   B. 正方形面积大   C. 一样大   D. 无法比较

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：学生看到“用同样长的铁丝”，就默认两个图形的周长相等，然后开始计算比较。但仔细看！半圆形的周长 = 半圆弧长 + 直径。而正方形的周长就是四条边的和。题目说“用同样长的铁丝围成”，意思是铁丝总长度相等，即两个图形的周长是相等的吗？陷阱就在这里！

✅ 阿星解析：

• 设铁丝总长度为 \(L\)。
• 对于半圆形，它的周长（即所用铁丝长度）等于 半圆弧长（\(\pi r\)）加上直径（\(2r\)）。所以 \(L = \pi r + 2r = r(\pi + 2)\)。由此可求出半径 \(r = L / (\pi + 2)\)。
• 对于正方形，它的周长（即所用铁丝长度）就是 \(4a\)。所以 \(L = 4a\)，边长 \(a = L / 4\)。
• 现在比较面积：
  半圆面积 \(S_{半} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \times \left( \frac{L}{\pi + 2} \right)^2\)
  正方形面积 \(S_{正} = a^2 = \left( \frac{L}{4} \right)^2\)
  由于铁丝长 \(L\) 是相同的固定值，我们只需要比较 \(\frac{\frac{1}{2} \pi}{(\pi + 2)^2}\) 和 \(\frac{1}{16}\) 的大小。
• 近似计算：\(\pi \approx 3.14\)，\(\pi + 2 \approx 5.14\)，\((\pi+2)^2 \approx 26.42\)。
  \(\frac{1}{2} \pi / 26.42 \approx 1.57 / 26.42 \approx 0.0594\)。
  \(1/16 = 0.0625\)。所以 \(0.0625 > 0.0594\)，即正方形面积更大。
• 所以正确答案是 B。阿星说：不要一看到“圆”的一部分就想当然觉得它面积大，必须用相同的周长来比较才有意义。这道题里，铁丝长度相同，但围成的两个图形的“周长”是严格相等的，因为铁丝就是它们的边。比较时必须建立这个等量关系。

【易错题3：大题陷阱】 李叔叔有 \(62.8\) 米长的篱笆，他想靠着一面墙围成一个养殖区。

1. 如果围成一个半圆形（靠墙边是直径），这个养殖区的面积是多少平方米？
2. 如果围成一个正方形（靠墙边为一边），这个养殖区的面积是多少平方米？
3. 如果围成一个长是宽 \(2\) 倍的长方形（靠墙边为长），这个养殖区的面积是多少平方米？
4. 根据你的计算，李叔叔采用哪种形状最划算？（π取 \(3.14\)）

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：

1. 忽略“靠墙”条件，错误地将全部篱笆当作图形的周长。例如，把 \(62.8\) 米直接当作半圆的弧长或正方形的三边之和。
2. 在半圆形计算中，混淆半径和直径。把篱笆长 \(62.8\) 米当成半圆的周长（含直径）来算半径。
3. 在长方形计算中，设错未知数。已知“长是宽的2倍”，设宽为 \(w\)，则长为 \(2w\)。靠墙围时，篱笆总长 = 长 + 宽 × 2（两条宽）。学生容易写成 \(2w + 2w = 4w\)。
4. 计算后比较面积时，只比较数值，没有联系实际“最划算”的含义（即面积最大）。

✅ 阿星解析：

关键： 靠墙围，意味着篱笆只用来围不靠墙的部分。墙的那一边不需要篱笆。

1. 半圆形： 篱笆长度 = 半圆弧长 = \(\pi r = 62.8\)。
   所以半径 \(r = 62.8 \div \pi = 62.8 \div 3.14 = 20\) 米。
   面积 \(S_{半} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 20^2 = 1.57 \times 400 = 628\) 平方米。
2. 正方形： 靠墙边为一边，所以篱笆只需围另外三边。设边长为 \(a\)，则 \(3a = 62.8\)，\(a = 62.8 \div 3 \approx 20.93\) 米。
   面积 \(S_{正} = a^2 \approx 20.93^2 \approx 438.0\) 平方米。
3. 长方形： 靠墙边为长。设宽为 \(w\) 米，则长为 \(2w\) 米。
   篱笆总长 = 长 + 宽 × 2 = \(2w + 2w = 4w = 62.8\)。
   所以 \(w = 15.7\) 米，长 \(l = 2w = 31.4\) 米。
   面积 \(S_{长} = l \times w = 31.4 \times 15.7 = 492.98\) 平方米。
4. 比较： \(628 > 492.98 > 438.0\)。所以，围成半圆形养殖区面积最大，最划算。阿星说：看，即便只是半个圆，它“圆胖”的特性依然让它有最大的肚量！