质因数全解：拆积木法避坑指南：典型例题精讲
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你有一堆积木，有些是小块，它们已经是最小单元，无法再分割（就像质数）。有些大块是由这些小块拼起来的（就像合数）。把12分解质因数，就是把“12”这个大积木，彻底拆解成不能再分的最小单元。
你说“12 = 2 × 6”，这就相当于只拆了一次，得到一个最小块“2”和一个还能再拆的大块“6”。这不算拆到底！我们必须把“6”也继续拆成“2×3”。最终，12就被拆成了最纯粹的小块组合：2 × 2 × 3。这就叫“分解质因数”——拆到每一个乘数都是质数（最小块）为止。
👀 看图说话：拆积木之旅
关键点拨：
看图中的“6”，它被画成了虚线框，并且有一个向下的红色箭头。这就是“慢动作”回放：分解绝不能在半路的“合数”这里停下来！那个红色箭头提醒我们，必须继续拆，直到所有框都变成实心的绿色质数小块。那个容易被忽略的“隐形操作”就是：检查每一个乘数，如果不是质数，就必须对它继续分解。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】把18分解质因数。
阿星的显微镜
我们像拆积木一样拆18。先试试：18 = 2 × 9。停！检查：2是质数小块，但9是合数大块（虚线框）。所以必须继续拆9。
标准算式： \( 18 = 2 \times 9 = 2 \times (3 \times 3) \)
最后，确保所有乘数都是质数：\( 18 = 2 \times 3 \times 3 \) 或 \( 18 = 2 \times 3^2 \)。
【易错陷阱】把90分解质因数。
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错： \( 90 = 2 \times 3 \times 3 \times 15 \) 或者 \( 90 = 9 \times 10 \) 就停了。
图解陷阱： 错误在于，式子里的“15”或“9”和“10”在图中都应该是虚线框，但它们没有被继续拆解。15里面还藏着质数3和5呢！
正确思路： 从最小的质数开始除，直到商是1为止。
\( 90 \div 2 = 45 \) → \( 45 \div 3 = 15 \) → \( 15 \div 3 = 5 \) → \( 5 \div 5 = 1 \)
所以 \( 90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \)。
【高手进阶】有24颗糖果和36块饼干，要平均分给一个班的若干小组，要求分完没有剩余。最多能分给多少个小组？每个小组拿到几颗糖、几块饼干？
思维迁移： 这就是求24和36的最大公约数。分解质因数是求最大公约数的超级工具！
1. 拆积木（分解质因数）：
\( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)
\( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2 \)
2. 找公共小块：两个数都包含“2×2×3”这些质因数小块。
3. 拼起来：\( 2 \times 2 \times 3 = 12 \)。所以最多能分给12个小组。
每个小组糖：\( 24 \div 12 = 2 \)颗；饼干：\( 36 \div 12 = 3 \)块。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
合数像积木，质数是小块。
分解拆到底，不能再分开。
🚀 举一反三：巩固练习
把36分解质因数。
判断：把60分解质因数，写成 60 = 3 × 4 × 5 对吗？为什么？
用长6cm、宽4cm的长方形地砖铺一个正方形图案（不许切割），铺成的最小正方形边长是多少厘米？
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一： \( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \) 或 \( 2^2 \times 3^2 \)。（解析：从36=6×6拆起，6再拆为2×3）
练习二： 不对。因为4是合数，还能分解为2×2。正确的分解是：60 = 2 × 2 × 3 × 5。
练习三： 12厘米。（解析：求6和4的最小公倍数。分解质因数：6=2×3, 4=2×2。最小公倍数需包含所有质因数：2×2×3=12）
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