五年级数学期末急救：植树问题（两端都栽）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
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五年级
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2025-12-22
阿星精讲：植树问题（两端都栽） 的核心避坑原理
- 概念重塑：阿星说啦，我们得先忘掉“树”，想想自己的手！植树问题的核心不是树，而是“缝”——也就是间隔。一条路就像一根手指，上面画的刻度就是树。总长 \(100\) 米，每隔 \(5\) 米一个间隔，间隔数就是 \(100 \div 5 = 20\) 个。现在，把树“种”在手指的关节上，手指头（起点）和手指尾（终点）都种上。你会发现，“树”（关节）的数量，永远比“缝”（指节之间的缝隙）多一个。所以，两端都栽时：棵数 = 间隔数 + 1。记住，先找“缝”，再加“1”！
- 避坑口诀： “先算间隔缝，再加一个头；两端都栽树，此诀记心头。”
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：题目求“棵数”，学生看到总长和间隔距离，直接用除法 \(总长 \div 间隔\) 就完事。错！这算出的是“间隔数”（缝），不是“棵数”（手指关节）。
- ✅ 正解：先算间隔数：\(间隔数 = 总长 \div 间隔距离\)。再套用公式：\(棵数 = 间隔数 + 1\)。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：题目给出的示意图可能只画了3、4棵树，或者给的数字较小（比如总长 \(20\) 米，间隔 \(5\) 米），学生凭“感觉”或数图上画的棵数来答题，忽略了题目给出的“总长”条件，导致计算错误。
- ✅ 正解：永远不要依赖示意图上的棵树！示意图只是帮助你理解“两端都栽”这个模型。解题必须严格依据数字条件和核心公式来计算。
- ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在“已知棵数，求总长”的逆向问题中，学生知道要减1，但错误地用 \(棵数 - 1\) 得到间隔数后，却用 \(间隔数 \times 间隔距离\) 时算错乘法，或者单位换算出错（如米、分米、厘米混用）。
- ✅ 正解：逆向问题牢记：\(间隔数 = 棵数 - 1\)，然后\(总长 = 间隔数 \times 间隔距离\)。计算前务必统一单位，细心计算乘法。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 王老师把一根 \(18\) 米长的彩带，每隔 \(3\) 分米剪一段做装饰（两端都要剪）。一共可以剪出多少段？
💀 错误率：85%
❌ 常见错误： \(18 \div 3 = 6\)（段），或者注意到单位不同，换算后 \(180 \div 3 = 60\)（段）。
✅ 阿星解析： 这题陷阱重重！
1. 单位陷阱： 总长是“米”，间隔是“分米”，首先要统一单位。\(18\) 米 = \(180\) 分米。
2. 核心概念陷阱： 题目问“剪成多少段”，这相当于“植树问题”中的“棵数”。两端都要剪，就是“两端都栽”。
我们先算“缝”（间隔数）：\(间隔数 = 总长 \div 间隔距离 = 180 \div 3 = 60\)（个）。
再看你的手，60个缝，两端都剪，剪成的“段数”（关节数）就是：\(段数 = 间隔数 + 1 = 60 + 1 = 61\)（段）。
所以正确答案是 \(61\) 段。直接除出来的是“缝”，不是“段”哦！
【易错题2：思维陷阱】 在一条步行道的一侧，从起点到终点一共立了 \(10\) 根太阳能路灯（两端都有），相邻两根路灯之间相距 \(15\) 米。这条步行道长多少米？
💀 错误率：90%
❌ 常见错误： \(10 \times 15 = 150\)（米）。
✅ 阿星解析： 这是典型的“逆向思维”陷阱！已知“棵数”（路灯数），求总长。
想一下你的手，10根手指（路灯）有几个缝（间隔）？对了，是 \(10 - 1 = 9\) 个缝！
所以，间隔数 = \(棵数 - 1 = 10 - 1 = 9\)（个）。
每个间隔 \(15\) 米，那么总长就是这9个间隔的总和：\(总长 = 间隔数 \times 间隔距离 = 9 \times 15 = 135\)（米）。
错误做法错在把“手指”数直接当成了“缝”数去乘，相当于认为有10个间隔，这不符合“两端都栽”的模型。
【易错题3：大题陷阱】 为迎接校庆，学校计划在一条 \(60\) 米长的走廊一侧悬挂气球。从走廊起点开始，每隔 \(4\) 米挂一个，两端都要挂。但是走廊中间有一个 \(8\) 米长的宣传栏区域不能挂气球。请问一共需要准备多少个气球？
💀 错误率：95%
❌ 常见错误： 1. \(60 \div 4 + 1 = 16\)（个）。完全忽略了中间不能挂的宣传栏。
2. \(60 - 8 = 52\)（米）， \(52 \div 4 + 1 = 14\)（个）。看似考虑了宣传栏，但逻辑错误。
✅ 阿星解析： 这道综合题是“陷阱之王”！
关键思路： 走廊被宣传栏分成了两段独立的“两端都栽”植树问题。
1. 计算第一段（A段）长度： 从起点到宣传栏起点。题目没说宣传栏在正中间！我们只知道宣传栏长 \(8\) 米，且从起点开始每隔 \(4\) 米挂一个。所以A段的长度必须是 \(4\) 米的整数倍，且让宣传栏刚好在某个间隔后开始。最简单的理解是，宣传栏占据了原本要挂气球的位置。我们可以先算如果没有宣传栏需要多少：\(60 \div 4 = 15\)个间隔，\(15 + 1 = 16\)个气球位置。
2. 更可靠的解法——分段法：
* 宣传栏占 \(8\) 米，相当于占了 \(8 \div 4 = 2\) 个完整的间隔。
* 整个走廊 \(60\) 米，有 \(60 \div 4 = 15\) 个间隔。
* 宣传栏这 \(2\) 个间隔里不能挂气球，相当于这 \(2\) 个间隔两端的 \(3\) 个挂点（手指）被“吃掉”了？不对，仔细想：如果宣传栏从第m个间隔后开始，它覆盖了第m+1和m+2个间隔，那么第m、m+1、m+2、m+3个“挂点”都会受影响。
3. 最清晰的解法——图示法（结合图解）：
* A段（起点到宣传栏）：长度需要是 \(4\) 的倍数。假设宣传栏从第k个气球后开始，那么A段有k个气球，长度是 \((k-1) \times 4\) 米。
* B段（宣传栏结束到终点）：长度也需要是 \(4\) 的倍数。设B段有n个气球，长度是 \((n-1) \times 4\) 米。
* 且满足：A段长 + 8米 + B段长 = 60米。即 \((k-1)\times4 + 8 + (n-1)\times4 = 60\)。
简化：\((k+n-2)\times4 = 52\) => \(k+n-2 = 13\) => \(k+n = 15\)。
* 那么气球总数 = \(k + n\)。所以一共需要 \(15\) 个气球！
恍然大悟： 宣传栏虽然占了地方，但它只是改变了气球的位置分布（A段和B段），但“起点”和“终点”这两个端点的气球始终要挂。总间隔数从15个减少到（A段间隔数 + B段间隔数），但A段棵数+ B段棵数 = (A段间隔数+1) + (B段间隔数+1) = (总间隔数 - 被占的2个间隔) + 2 = 总间隔数 + 0 = 15。所以，答案就是 \(15\) 个。
陷阱在于，学生容易只减去宣传栏长度，忘记两段都需要“两端都栽”，或者错误地认为宣传栏两端不能挂。
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- 在一条长 \(50\) 米的小路一边栽树，每隔 \(5\) 米栽一棵（两端都栽）。一共需要 \(50 \div 5 = 10\) 棵树。
- 把一根 \(12\) 米长的木料锯成 \(2\) 米一段的小料，每锯一次需要 \(3\) 分钟，锯完这根木料共需 \(12 \div 2 \times 3 = 18\) 分钟。
- 从1楼爬到5楼，一共爬了 \(5-1=4\) 层楼的楼梯。这本质上是“两端都栽”的植树问题。
- 一个圆形池塘周长是 \(120\) 米，如果每隔 \(10\) 米栽一棵柳树（四周都栽），一共要栽 \(120 \div 10 + 1 = 13\) 棵。
- 在一条路的一侧插彩旗，从头到尾一共插了 \(20\) 面，相邻两面彩旗相距 \(4\) 米，这条路长 \((20 - 1) \times 4 = 76\) 米。
第二关：防坑演练（填空 5题）
- 在一条全长 \(2\) 千米的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔 \(50\) 米安一座。一共要安装 ______ 座路灯。
- 国庆节在学校主干道一侧从头到尾摆放了 \(25\) 盆菊花，相邻两盆之间相隔 \(2\) 米。这条主干道长 ______ 米。
- 小明家的大钟 \(5\) 时敲 \(5\) 下，\(8\) 秒敲完。那么 \(10\) 时敲 \(10\) 下，需要 ______ 秒敲完。（提示：敲钟时间花在“间隔”上）
- 工人师傅把一根 \(9\) 米长的钢管平均锯成若干段，一共锯了 \(5\) 次。每段钢管长 ______ 米。
- 一个长方形花坛，长 \(60\) 米，宽 \(40\) 米。现在要在花坛四周每隔 \(5\) 米栽一棵树（四个角都要栽），一共需要 ______ 棵树。
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- ❌ 错。 解析：\(50 \div 5 = 10\) 求出的是间隔数。两端都栽，棵数应为 \(10 + 1 = 11\)。
- ❌ 错。 解析：锯木头相当于“两端不栽”的植树问题。\(12\) 米木料锯成 \(2\) 米一段，能锯成 \(12 \div 2 = 6\) 段。需要的次数是 \(段数 - 1 = 6 - 1 = 5\)（次）。所以总时间为 \(5 \times 3 = 15\)（分钟）。
- ✅ 对。 解析：从1楼到5楼，1楼是“起点”，5楼是“终点”，爬的楼层是中间的“间隔”，共 \(5-1=4\) 个间隔。这与“两端都栽”问题中“棵数=间隔数+1”的逆向思考一致。
- ❌ 错。 解析：圆形池塘是封闭路线，棵数 = 间隔数。所以应该是 \(120 \div 10 = 12\)（棵）。
- ✅ 对。 解析：插了 \(20\) 面彩旗（棵数），间隔数为 \(20 - 1 = 19\)（个）。每个间隔 \(4\) 米，总长为 \(19 \times 4 = 76\)（米）。
第二关：防坑演练
- 82 解析：
① 先求一侧：总长 \(2\) 千米 = \(2000\) 米，间隔数 \(2000 \div 50 = 40\)（个）。
② 一侧路灯数（两端都安）：\(40 + 1 = 41\)（座）。
③ 两旁：\(41 \times 2 = 82\)（座）。 - 48 解析：
菊花盆数相当于棵数：\(25\) 盆。
间隔数：\(25 - 1 = 24\)（个）。
每个间隔 \(2\) 米，总长：\(24 \times 2 = 48\)（米）。 - 18 解析：
敲钟时间花在间隔上。敲 \(5\) 下，有 \(5-1=4\) 个间隔，用时 \(8\) 秒。
每个间隔用时：\(8 \div 4 = 2\)（秒）。
敲 \(10\) 下，有 \(10-1=9\) 个间隔，总用时：\(9 \times 2 = 18\)（秒）。 - 1.5 解析：
锯了 \(5\) 次，锯成的段数是 \(5 + 1 = 6\) 段（相当于两端都栽）。
总长 \(9\) 米，平均分成 \(6\) 段，每段长：\(9 \div 6 = 1.5\)（米）。 - 40 解析：
长方形花坛是封闭路线，棵树 = 间隔数。
先求周长：\((60 + 40) \times 2 = 200\)（米）。
间隔数为 \(200 \div 5 = 40\)（个）。
所以一共需要 \(40\) 棵树。
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