初二数学期末急救：整式的化简求值易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 已知一个长方形，其长、宽如图所示。先化简代数式 \( (2a)^2 - (b-a)^2 \)，再求当 \( a=\frac{1}{2}, b=1 \) 时的值。

（图解：红色虚线框出的部分长度为 \( b-a \)，是整个图形拼补的关键。）

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：1. 将 \( (2a)^2 \) 错算为 \( 2a^2 \)。 2. 计算 \( (b-a)^2 \) 时，错算为 \( b^2 - a^2 \)。 3. 不化简，直接代入 \( a=\frac{1}{2}, b=1 \) 计算：\( (2 \times \frac{1}{2})^2 - (1-\frac{1}{2})^2 = 1^2 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75 \)，虽然结果碰巧对，但过程分全丢。

✅ 阿星解析：
第一步（干活-化简）：
原式 = \( (2a)^2 - (b-a)^2 \)
= \( 4a^2 - [(b-a)(b-a)] \) （先明确平方的意义）
= \( 4a^2 - (b^2 - 2ab + a^2) \) （完全平方公式：\( (m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 \)，切不可等于 \( m^2 - n^2 \)**）
= \( 4a^2 - b^2 + 2ab - a^2 \) （去括号！括号前是负号，每一项都要变号）
= \( 3a^2 + 2ab - b^2 \) （合并同类项）
第二步（给钱-求值）：
当 \( a=\frac{1}{2}, b=1 \) 时，
原式 = \( 3 \times (\frac{1}{2})^2 + 2 \times \frac{1}{2} \times 1 - 1^2 \)
= \( 3 \times \frac{1}{4} + 1 - 1 \)
= \( \frac{3}{4} + 0 \)
= \( \frac{3}{4} \)

【易错题2：思维陷阱】 先化简，再求值：\( 3x - \{ 2x - [5x - (x-1)] \} \)，其中 \( x = -\frac{1}{2} \)。

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：1. 看到多层括号就发慌，去括号顺序混乱，符号出错。比如直接从外往里或乱跳着去。2. 去最里面括号 \( (x-1) \) 时，忘记它前面是负号（来自5x-），导致变成 5x - x - 1。

✅ 阿星解析：
口诀：多层括号，从内向外，逐层剥离。
原式 = \( 3x - \{ 2x - [5x - (x-1)] \} \)
= \( 3x - \{ 2x - [5x - x + 1] \} \) （去最内层小括号：“-”分配到 \( x \) 和 \( -1 \) 上，得 \( -x + 1 \)）
= \( 3x - \{ 2x - [4x + 1] \} \) （合并中括号内同类项 \( 5x - x = 4x \)）
= \( 3x - \{ 2x - 4x - 1 \} \) （去中括号：“-”分配到 \( 4x \) 和 \( +1 \) 上，得 \( -4x - 1 \)）
= \( 3x - \{ -2x - 1 \} \) （合并大括号内同类项 \( 2x - 4x = -2x \)）
= \( 3x + 2x + 1 \) （去大括号：“-”分配到 \( -2x \) 和 \( -1 \) 上，得 \( +2x + 1 \)）
= \( 5x + 1 \) （合并同类项，得到最简式）
现在才代入！ 当 \( x = -\frac{1}{2} \) 时，
原式 = \( 5 \times (-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{5}{2} + 1 = -\frac{3}{2} \)。

【易错题3：大题陷阱】 如图，两个正方形并列放置，边长分别为 \( a \) 和 \( b \) (\( a > b \))。阴影部分是一个长方形。

1. 用含 \( a, b \) 的代数式表示阴影部分的面积 \( S \)。
2. 先化简 \( S \) 的表达式，再求当 \( a=5.2, b=2.8 \) 时的面积。

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：1. 列式错误：阴影长方形长错看成 \( b \)，宽错看成 \( a-b \)，得到 \( S = b(a-b) \)。2. 化简时，\( a(a-b) = a^2 - ab \)，忘记还可以用平方差公式。3. 第(2)问不化简，直接代入硬算 \( 5.2 \times (5.2 - 2.8) \)，计算量大且易错。

✅ 阿星解析：
(1) 列式：观察图形，阴影长方形的长 = 大正方形边长 \( a \)，宽 = \( a - b \)。所以 \( S = a(a - b) \)。
(2) 化简并求值：
干活（化简）： \( S = a(a - b) = a^2 - ab \)。
其实，还可以进一步“干得更漂亮”——用平方差公式：\( S = a^2 - ab = a(a-b) \)。这已经是乘积形式，有时比多项式更简便。
给钱（求值）：方法一（推荐，用化简式 \( a^2 - ab \)）：
当 \( a=5.2, b=2.8 \) 时，\( S = (5.2)^2 - 5.2 \times 2.8 \)。
计算：\( 27.04 - 14.56 = 12.48 \)。
方法二（直接用原几何意义 \( a(a-b) \) 更简单）：
\( S = 5.2 \times (5.2 - 2.8) = 5.2 \times 2.4 = 12.48 \)。
看，先化简（或保持简洁形式）后，计算果然轻松！直接代入 \( a(a-b) \) 计算量最小，这正体现了“先干活”的优越性。