初一数学期末急救：整式加减（A-B）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 一个长方形的长为 \(a\)，宽为 \(b\)。另一个小长方形的长为 \(a-2\)，宽为 \(b-1\)。求阴影部分（大长方形减去小长方形）的面积表达式。

图解：蓝色虚线标出了小长方形 \(B\) 的宽 \(b-1\) 和长 \(a-2\)，它们是 \(B\) 这个整体的组成部分。求阴影面积 \(A-B\)，必须用整个 \(A\) 减去整个 \(B\)。

💀 错误率：85%

❌ 常见错误： \(S_{阴影} = ab - a-2 - b-1\) 或 \(ab - (a-2) \times b -1\)。学生容易将“减去整个小长方形面积”错误理解为“分别减去长和宽”。

✅ 阿星解析：

1. 明确“整体”：大长方形面积 \(A = a \times b = ab\)。小长方形面积 \(B = (a-2) \times (b-1)\)。这里\(B\)本身是一个乘积结果，也必须先算出来或视为整体。
2. 执行减法，给\(B\)穿上“防弹衣”： \(S_{阴影} = A - B = (ab) - [(a-2)(b-1)]\)。
3. 先计算\(B\)： \(B = (a-2)(b-1) = a(b-1) - 2(b-1) = ab - a - 2b + 2\)。（这里再次用到了整体思想计算括号）
4. 代入求差： \(S_{阴影} = (ab) - (ab - a - 2b + 2)\)
5. 去括号，全变号： \(= ab - ab + a + 2b - 2\)
6. 合并同类项： \(= a + 2b - 2\)

所以，阴影部分面积为 \(a + 2b - 2\)。

【易错题2：思维陷阱】 已知 \(M = 3x^2 - 2xy + y^2\)， \(N = x^2 - xy + 2y^2\)。求 \(M - (2N - M)\) 的值。

图解：这道题有两个层级。首先要“打包”计算出中间整体 \(2N-M\)（黄色箱子），再用 \(M\)（蓝色箱子）减去这个新打包好的黄色箱子，得到最终结果（绿色箱子）。很多学生错在直接拆掉了最外层的括号，而没有处理好内部的减法。

💀 错误率：90%

❌ 常见错误： \(M - 2N - M = -2N\)。学生看到 \(M - (2N - M)\)，误以为去括号就是简单地去掉括号和它前面的减号，没有将括号内的 \(2N\) 和 \(-M\) 分别变号。

✅ 阿星解析：

1. 识别结构：这是 \(M - X\) 的形式，其中 \(X = (2N - M)\)。所以，首要任务是把 \(X\) 这个整体正确地“打包”出来。
2. 先算括号内的 \(2N - M\)（这本身也是一个减法）：
   • \(2N = 2(x^2 - xy + 2y^2) = 2x^2 - 2xy + 4y^2\)
   • \(2N - M = (2x^2 - 2xy + 4y^2) - (3x^2 - 2xy + y^2)\)
   • 给 \(M\) 加防弹衣并去括号： \(= 2x^2 - 2xy + 4y^2 - 3x^2 + 2xy - y^2\)
   • 合并： \(= (2x^2-3x^2) + (-2xy+2xy) + (4y^2 - y^2) = -x^2 + 3y^2\)

   所以，\(X = -x^2 + 3y^2\)。

3. 现在计算原式： \(M - X = (3x^2 - 2xy + y^2) - (-x^2 + 3y^2)\)
4. 关键步骤：给 \(X\) 穿上防弹衣，并去括号：
   \(= 3x^2 - 2xy + y^2 \textcolor{green}{+} x^2 \textcolor{green}{-} 3y^2\)
   
   注意：括号前是减号，去掉括号后，\(-x^2\) 变成 \(+x^2\)，\(+3y^2\) 变成 \(-3y^2\)。
5. 合并同类项： \(= (3x^2+x^2) - 2xy + (y^2-3y^2) = 4x^2 - 2xy - 2y^2\)

【易错题3：大题陷阱】 已知 \(A = 2m^2 + 3mn - 2n - 1\)， \(B = m^2 - mn + n\)， \(C = -m^2 + 4mn - 3n + 2\)。求 \(A - [B - (C - A)]\) 的值，其中 \(m, n\) 满足 \((m+1)^2 + |n-2| = 0\)。

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：

1. 在多层括号去括号时，符号变错，特别是从内到外层层去括号时顺序混乱。
2. 合并同类项时，漏掉 \(m^2, mn, n\) 以外的常数项。
3. 完全忽略或者错误处理后面的条件“\((m+1)^2 + |n-2| = 0\)”，不知道要先求出 \(m, n\) 的值再代入。

✅ 阿星解析：

1. 先化简代数式，再求值！这是铁律。不要一上来就尝试求 \(m, n\)。
2. 化简 \(A - [B - (C - A)]\)。我们由内向外“拆包”。
   • 最内层： \(C - A = (-m^2 + 4mn - 3n + 2) - (2m^2 + 3mn - 2n - 1)\)
     \(= -m^2 + 4mn - 3n + 2 - 2m^2 - 3mn + 2n + 1\)
     \(= (-m^2-2m^2) + (4mn-3mn) + (-3n+2n) + (2+1)\)
     \(= -3m^2 + mn - n + 3\)
   • 中层： \(B - (C - A) = (m^2 - mn + n) - (-3m^2 + mn - n + 3)\)
     关键点：这里减号后面是一个整体 \(-3m^2 + mn - n + 3\)，必须加括号！
     \(= m^2 - mn + n \textcolor{green}{+} 3m^2 \textcolor{green}{-} mn \textcolor{green}{+} n \textcolor{green}{-} 3\)
     \(= (m^2+3m^2) + (-mn-mn) + (n+n) - 3\)
     \(= 4m^2 - 2mn + 2n - 3\)
   • 外层： \(A - [B - (C - A)] = A - (4m^2 - 2mn + 2n - 3)\)
     \(= (2m^2 + 3mn - 2n - 1) - (4m^2 - 2mn + 2n - 3)\)
     \(= 2m^2 + 3mn - 2n - 1 - 4m^2 + 2mn - 2n + 3\)
     \(= (2m^2-4m^2) + (3mn+2mn) + (-2n-2n) + (-1+3)\)
     \(= -2m^2 + 5mn - 4n + 2\)

   所以，原式化简为 \(-2m^2 + 5mn - 4n + 2\)。

3. 现在利用条件求 \(m, n\)。 \((m+1)^2 + |n-2| = 0\)。
   • 因为平方和绝对值都 \(\ge 0\)，和为 \(0\)，则每一项为 \(0\)。
   • 所以 \(m+1=0\) 且 \(n-2=0\)，解得 \(m = -1, n = 2\)。
4. 将 \(m = -1, n = 2\) 代入化简后的式子：
   \[ \begin{aligned} \text{原式} &= -2 \times (-1)^2 + 5 \times (-1) \times 2 - 4 \times 2 + 2 \\ &= -2 \times 1 + (-10) - 8 + 2 \\ &= -2 -10 -8 + 2 \\ &= -18 \end{aligned} \]