六年级数学期末急救：正方形里的圆易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：正方形里的圆 的核心避坑原理

• 概念重塑：“最大利用率”就像用一个正方形纸板剪出一个最大的圆盘。关键不是“正方形很大”，而是“圆要最大”！怎么做到最大？—— 让圆的直径“撑满”正方形的边长。阿星提示里的例子，边长是 \( 10 \)，最大圆的直径就是 \( 10 \)，所以半径是 \( 5 \)。最容易理解错的就是把边长直接当半径（面积立刻翻4倍！），或者用正方形面积去乘 \( 78.5\% \) 来求边长（这是两个方向的陷阱）。记住：“最大圆”的直径等于正方形边长，这是一个锁定条件。
• 避坑口诀：“方圆一家亲，直径是中心，边长等于它，半径折半拿，面积乘方加，别忘 \( \pi \) 老人家。”

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：看到“正方形里画一个最大的圆”，想都不想就认为“圆的直径等于正方形的边长”是题目一定会给的直接条件。如果题目给的是“正方形面积”，很多同学就懵了，找不到边长，也就找不到直径和半径。✅ 正解：无论题目给的是周长还是面积，第一步永远是求出正方形的边长。因为“最大圆”的逻辑基石是 \( d_{圆} = a_{方形} \)。给面积 \( S \)，边长就是 \( \sqrt{S} \) 。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：当正方形里画的不是单个最大圆，而是多个并列的小圆（例如两个并排）时，学生会下意识地认为每个小圆的直径还是等于正方形边长，从而得出错误半径。✅ 正解：画草图！分析图形的分割关系。两个圆并排，那么正方形的边长就被两个圆的直径“平分”了。此时，每个圆的直径是正方形边长的一半。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：算圆面积公式 \( S=\pi r^2 \)，正确算出了半径 \( r=5 \)，但在计算 \( 5^2 \) 时写成 \( 5\times 2=10 \)，或者用 \( 3.14 \times 5^2 \) 时先算 \( 3.14\times5=15.7 \) 再平方。还有，题目要求保留 \( \pi \) 时，结果写成了具体小数。✅ 正解：牢记运算顺序：先平方，再乘 \( \pi \) 。同时，紧盯题目要求，明确答案是“\( 25\pi \) cm²”还是“\( 78.5 \) cm²”。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 边长为 \( 6 \) cm 的正方形里最大的圆，其面积是正方形面积的 \( 78.5\% \)。（ ）
2. 一个圆的直径是 \( 8 \) dm，那么把它放进一个最小的正方形里，这个正方形的边长也是 \( 8 \) dm。（ ）
3. 知道正方形内最大圆的面积，可以唯一确定正方形的边长。（ ）
4. 在一个正方形内画一个圆，这个圆的周长最大时，它的直径等于正方形的对角线。（ ）
5. 用同一根铁丝围成一个正方形和一个圆，圆的面积一定比正方形大。（ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 一个正方形内最大圆的周长是 \( 12.56 \) 厘米，正方形的面积是 ______ 平方厘米。（\( \pi \) 取 \( 3.14 \)）
2. 将一张面积为 \( 36\pi \) 平方厘米的圆形纸片，放在一个最小的正方形框里正好装下。这个正方形框的周长是 ______ 厘米。
3. 在一个周长为 \( 20 \) 分米的正方形中，剪一个最大的圆，圆的半径是 ______ 分米。
4. 右图是一个边长为 \( 10 \)cm 的正方形，里面画了四个同样大小的圆。每个圆的半径是 ______ cm。
   
5. 从一个边长 \( 4 \) 分米的正方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是 ______ dm²。剩下的木板面积占原正方形面积的 ______ \( \% \)。（\( \pi \) 取 \( 3.14 \)）

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ×。比例 \( \frac{\pi}{4} \approx 78.5\% \) 是一个固定值，与具体大小无关。但说“是”不严谨，应该说“约等于”。
2. √。正方形要最小，圆必须是最大的内切圆，所以正方形边长等于圆的直径。
3. √。圆面积 \( S_{圆} = \pi r^2 \)，可求出 \( r \)，则正方形边长 \( a = 2r \) 唯一确定。
4. ×。圆的周长最大时，圆应该是正方形内最大的内切圆，此时直径等于正方形边长，而非更长的对角线。
5. √。设铁丝长 \( L \)，正方形面积 \( \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16} \)，圆面积 \( \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{L^2}{4\pi} \)。因为 \( 4\pi \approx 12.56 < 16 \)，所以圆的面积更大。

第二关：防坑演练

1. \( 16 \)。由圆周长 \( 2\pi r = 12.56 \) 得 \( r = 2 \) cm。正方形边长 \( a = d_{圆} = 2r = 4 \) cm。正方形面积 \( 4^2 = 16 \) cm²。
2. \( 24\sqrt{\pi} \) 或 \( 24\sqrt{\pi} \)。圆形面积 \( \pi R^2 = 36\pi \)，解得圆半径 \( R = 6 \) cm。则最小正方形边长 \( a = d = 2R = 12 \) cm。正方形周长 \( 4a = 48 \) cm。注意：此处原答案有笔误，应为48厘米。若圆面积为 \( 36\pi \)，则半径为6，直径为12，正方形边长12，周长48。若题目意图为面积 \( 36\pi \) 平方厘米，正方形周长固定为48厘米。保留原解析过程以示陷阱：审题时需明确“面积为 \( 36\pi \)”的含义。若理解为面积是 \( 36\pi \) 这个数值，则半径为6，答案48。若理解为面积是 \( 36 \times \pi \) 平方厘米，则半径是 \( \sqrt{36} = 6 \) 厘米，答案仍是48厘米。因此，无论哪种理解，只要正确计算，答案都是48。此处原解析中的 \( 24\sqrt{\pi} \) 是错误推导，正确为48。
3. \( 2.5 \)。正方形边长 \( a = 20 \div 4 = 5 \) dm。最大圆半径 \( r = a \div 2 = 2.5 \) dm。
4. \( 2.5 \)。观察图形，四个圆的圆心构成一个小正方形。大正方形边长被两条直径和一个小圆半径间隔占据？更准确分析：四个圆并排两行两列。大正方形边长 \( 10 \) cm 等于两个圆的直径。所以 \( 2d = 10 \)， \( d = 5 \) cm， \( r = 2.5 \) cm。
5. \( 12.56 \)， \( 21.5 \)。圆半径 \( r = 4 \div 2 = 2 \) dm，面积 \( 3.14 \times 2^2 = 12.56 \) dm²。正方形面积 \( 4^2=16 \) dm²。剩余面积 \( 16 - 12.56 = 3.44 \) dm²。占比 \( \frac{3.44}{16} \times 100\% = 21.5\% \)。