零基础秒懂赵爽弦图：像玩拼图一样证明勾股定理！：典型例题精讲
适用年级
几何
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星起步：赵爽弦图的底层逻辑
想象一下，你正在装修房子，需要确认一个墙角是不是完美的直角。古人赵爽就遇到了类似的问题，他想知道：直角三角形的三条边之间，到底有什么铁打不动的数量关系？
他的办法，不是硬算，而是玩拼图。这就是“出入相补”的精髓：把图形像七巧板一样切分、移动、重新拼接，总“地盘”（面积）一丝不多、一毫不少。
赵爽画了一个大正方形，里面巧妙地塞了4个一模一样的直角三角形和一个小正方形空档。他发现，把这些三角形搬来搬去，大正方形的地盘，正好可以用两个小正方形的地盘拼出来。这就像你把一盒积木用两种不同的方式拼成同样大小的一块底板，证明了两堆积木的总量是相等的。
这个“总量相等”翻译成数学语言就是：直角三角形的斜边长的平方 \(c^2\)（大正方形面积），等于两条直角边长的平方和 \(a^2 + b^2\)（两个小正方形面积之和）。这就是大名鼎鼎的勾股定理！赵爽弦图，就是用图形魔术，让这个定理一眼就能看明白。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】在经典的赵爽弦图中，若直角三角形两条直角边分别为 \(a = 3\)， \(b = 4\)。请问：中间那个小正方形的边长是多少？由弦图证明出的斜边平方 \(c^2\) 又是多少？
阿星拆解：
1. 看图画图： 弦图中间的小正方形，它的四条边，其实都是直角三角形的“斜边”挨着“斜边”空出来的。所以，它的边长等于“长直角边”减去“短直角边”。
2. 计算小正方形边长： 长直角边 \(b=4\)，短直角边 \(a=3\)。所以小正方形边长 = \(b - a = 4 - 3 = 1\)。
3. 理解出入相补： 整个大正方形面积（也就是 \(c^2\)），被分割成了4个直角三角形和1个中间小正方形。
4. 用另一种方式拼面积： 赵爽发现，这大正方形面积，也等于1个以a为边的正方形加上1个以b为边的正方形。所以直接有：\(c^2 = a^2 + b^2\)。
5. 代入计算： \(c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)。
【进阶例题】用赵爽弦图证明勾股定理时，若直角三角形两直角边分别为 \(a = 0.5\) 米， \(b = 1.2\) 分米。请问：中间小正方形的面积是多少平方厘米？
阿星敲黑板：
陷阱就在单位不统一！“米”、“分米”、“平方厘米”混在一起，直接算肯定出错。必须先统一单位。
1. 统一到厘米： 因为最终要平方厘米。
\(a = 0.5 \text{米} = 0.5 \times 100 = 50 \text{厘米}\)
\(b = 1.2 \text{分米} = 1.2 \times 10 = 12 \text{厘米}\)
2. 找小正方形边长： 和入门题一样，小正方形边长 = 长直角边 - 短直角边。注意！这里长直角边是 \(a=50cm\)，短直角边是 \(b=12cm\)。
所以边长 = \(a - b = 50 - 12 = 38 (\text{厘米})\)。
3. 计算面积： 小正方形面积 = \(边长^2 = 38^2 = 1444\)。
4. 写上单位： 面积是 \(1444 \text{平方厘米}\)。
【拔高例题】如图，由边长为1的小正方形构成网格，三角形ABC的顶点都在格点上。请用“出入相补”的思想，直接说明 \(AC^2 + BC^2\) 与 \(AB^2\) 的关系。
（假设我们看出∠C是直角）
思维迁移：
1. 发现原型： 虽然没画出完整的赵爽弦图，但“出入相补”的灵魂在啊！我们以AC和BC为直角边，把直角三角形ABC看作赵爽弦图里的“四块积木”之一。
2. 构造正方形： 我们可以“脑补”出以AB为边的大正方形。在网格上，这个正方形的面积不容易直接算，但可以用“割补法”。
3. 应用出入相补： 赵爽告诉我们，以AB为边的正方形面积，一定能用以AC为边的正方形和以BC为边的正方形拼出来。因为网格中每个小格子面积是1，我们可以数格子或者通过构造来验证。
4. 具体操作： 在网格上，分别以AC、BC为边画正方形。你会发现，把这两个正方形切分成几块，经过平移和旋转，正好能严丝合缝地拼成以AB为边的那个大正方形。这就直观证明了 \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)。
5. 得出结论： 虽然场景变成了网格，但“图形拼接，总量不变”的核心思想完全没变。这就是“出入相补”原理的强大之处，它不受具体图形限制，是一种通用的面积推理方法。
📝 阿星必背口诀：
图形拼补像变戏法，总量守恒面积不差。
直角三角藏弦图，斜方等于两方加。
单位统一先检查，平移旋转眼光辣。
🚀 举一反三：变式挑战
在赵爽弦图中，已知直角三角形两直角边 \(a=6\), \(b=8\)，求中间小正方形的面积。
赵爽弦图中，中间小正方形面积为 \(9\)，直角三角形一条直角边为 \(5\)，且另一条直角边比这条短。求两条直角边的长度。
将四个全等的直角三角形（直角边为a, b，斜边为c）如图镶嵌，形成一个大正方形ABCD和一个中间小正方形EFGH。若大正方形ABCD的面积为 \(13\)，小正方形EFGH的面积为 \(1\)，求 \(a \times b\) 的值。
解析与答案
【详尽解析】
入门例题答案： 小正方形边长为 \(1\)，\(c^2 = 25\)。
进阶例题答案： 小正方形面积为 \(1444 \text{ cm}^2\)。
拔高例题提示： 关键在于利用网格，将通过构造以AC、BC为边的正方形，进行割补，能拼成以AB为边的正方形，从而直观验证勾股定理。具体证明依赖于图形构造。
举一反三答案：
1. 变式一： 小正方形边长 = \(b - a = 8 - 6 = 2\)，面积 = \(2^2 = 4\)。
2. 变式二： 设长直角边为 \(b\)，短直角边为 \(a\)。小正方形边长 = \(b - a\)。面积 \((b-a)^2 = 9\)，所以 \(b - a = 3\)。已知 \(a=5\)，则 \(b = a + 3 = 8\)。答案为 \(5\) 和 \(8\)。
3. 变式三： 关键信息：大正方形面积 \(c^2 = 13\)，小正方形面积 \((b-a)^2 = 1\)。由 \((b-a)^2=1\) 得 \(b-a=1\) (边长取正)。由 \(c^2 = a^2+b^2=13\)。求 \(ab\)？利用公式 \((a^2+b^2) - (b-a)^2 = 2ab\)。所以 \(2ab = 13 - 1 = 12\)，因此 \(ab = 6\)。
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