零和博弈与内卷：一场数学视角下的竞争寓言

💡 阿星精讲：零和博弈 的本质

想象一下自习室里的“内卷”：当一个人开始熬夜，其他人被迫跟进，最终所有人睡眠不足、效率下降，但排名却几乎没变——这就是零和博弈的残酷浪漫。从数学上看，零和博弈指参与者收益之和恒为零（\( \sum_{i} u_i = 0 \)），一方的收益必然意味着另一方的损失。然而在现实中，过度竞争（如价格战、广告轰炸）会导致支付矩阵扭曲，使所有参与者的实际收益 \( u_i^* \) 低于理论上可能通过合作达到的纳什均衡点 \( u_i^{NE} \)，即出现 \( u_i^* < u_i^{NE} \) 的“双输”局面。这揭示了内卷的本质：在有限资源下，非理性竞争会将博弈推向对整体更劣的稳定状态。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：
纳什均衡为（降价，降价），收益 \( (60, 60) \)。相比合作状态 \( (100, 100) \)，每店损失 \( 40 \) 单位收益，总福利损失 \( 80 \) 单位。

变式一解析：
支付矩阵为：
\[ \begin{array}{c|cc} & \text{B常规} & \text{B补贴} \\ \hline \text{A常规} & (120, 120) & (30, 180) \\ \text{A补贴} & (180, 30) & (50, 50) \\ \end{array} \]
分析可知（补贴，补贴）为唯一纳什均衡，收益 \( (50, 50) \)。合作总收益 \( 240 \)，均衡总收益 \( 100 \)，损失率 \( \frac{240-100}{240} \times 100\% \approx 58.3\% \)。

变式二解析：
由题意 \( a - 30 = 70 \)，得 \( a = 100 \)。一种可能的支付矩阵设计：
\[ \begin{array}{c|cc} & \text{合作} & \text{激进} \\ \hline \text{合作} & (100, 100) & (20, 130) \\ \text{激进} & (130, 20) & (70, 70) \\ \end{array} \]
其中“激进”为双方的占优策略。

变式三解析：
此博弈存在两个纯策略纳什均衡：全部保守 \( (90,90,90) \) 与全部激进 \( (40,40,40) \)。全部激进时，任一公司单方面改变策略（变为保守）会遭受更大损失（从 \( 40 \) 降至 \( 20 \) ），因此“激进”是风险占优策略。最大内卷损失发生在全部激进相比全部保守：每家公司损失 \( 50 \) 单位，总损失 \( 150 \) 单位。