初三数学期末急救：圆周角定理易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 如图，点 \( A, B, C \) 在 \( \odot O \) 上，\( PA \) 切 \( \odot O \) 于点 \( A \)。若 \( \angle P = 40^\circ \)，则 \( \angle B \) 的度数为？

已知： \( PA \) 与圆相切于点 \( A \)，\( \angle P = 40^\circ \)，\( BC \) 为圆上任意弦。

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：连接 \( OC \) 或 \( OB \)，试图让 \( \angle B \) 和 \( \angle P \) 通过某个三角形建立关系。或者，错误地将 \( \angle B \) 视为与 \( \angle P \) 相等的圆周角。

✅ 阿星解析：

1. 识别角类型： \( \angle P \) 的两边是 \( PA \) 和 \( PO \)，其中 \( PA \) 是切线。所以，\( \angle P \) 不是圆周角，不能直接用圆周角定理。这是一个弦切角。
2. 弦切角定理：弦切角 (\( \angle PAB \)) 的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数。图中 \( \angle PAB \) 所夹的弧是 \( \overset{\frown}{AB} \)。
3. 然而，题目问的是 \( \angle B \)，即 \( \angle ABC \)。它所对的弧是 \( \overset{\frown}{AC} \)。这和弦切角 \( \angle PAB \) 所夹的弧 \( \overset{\frown}{AB} \) 不是同一段弧！
4. 关键转换：我们需要找一个和 \( \angle P \) 有关的圆周角。连接 \( OA \)、\( OB \)。
   
   因为 \( PA \) 是切线，所以 \( OA \perp PA \)，\( \angle OAP = 90^\circ \)。
   
   在 \( \triangle OAP \) 中，\( \angle AOP = 180^\circ - 90^\circ - \angle P = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \)。
5. 圆心角与圆周角： \( \angle AOB \) 是圆心角吗？不是，因为 \( O \) 是圆心，但 \( A, O, B \) 并不保证 \( O \) 在弧 \( AB \) 的中央？等一下，我们看 \( \angle AOB \) 的两边是 \( OA \) 和 \( OB \)，顶点在圆心，所以它就是圆心角，它所对的弧是 \( \overset{\frown}{AB} \)。
6. 我们发现，\( \angle AOB \) 和 \( \angle ACB \) (即 \( \angle C \)，注意不是 \( \angle B \)) 对着同一段弧 \( \overset{\frown}{AB} \)。所以 \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 50^\circ = 25^\circ \)。
7. 最终求解：题目要求 \( \angle B \)，即 \( \angle ABC \)。在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ACB = 25^\circ \)，而 \( \angle CAB \) 是弦切角 \( \angle PAB \) 所夹弧 \( \overset{\frown}{AB} \) 所对的圆周角，所以 \( \angle CAB = \angle P = 40^\circ \)。
   
   因此，\( \angle B = 180^\circ - \angle CAB - \angle ACB = 180^\circ - 40^\circ - 25^\circ = 115^\circ \)。

本题核心陷阱：混淆了圆周角和弦切角，并且没有准确找到同弧所对的角。阿星提醒：先给角“验明正身”，再看它的“脚”踩在哪段弧上！

【易错题2：思维陷阱】 如图，四边形 \( ABCD \) 内接于 \( \odot O \)，\( \angle DAB = 130^\circ \)，连接 \( OB \)，\( OC \)。若 \( \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} \)，则 \( \angle BOC = \) ？

已知： 圆内接四边形 \( ABCD \)，\( \angle DAB = 130^\circ \)，弧 \( BC \) 等于弧 \( CD \)。

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：1. 直接认为 \( \angle BOC \) 是 \( \angle BAD \) 所对的圆心角。2. 知道用圆内接四边形对角互补求出 \( \angle BCD \)，但然后错误地将 \( \angle BCD \) 当成圆心角 \( \angle BOD \) 所对的圆周角，导致找错弧。

✅ 阿星解析：

1. 利用圆内接四边形性质： \( \angle DAB + \angle BCD = 180^\circ \)，所以 \( \angle BCD = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)。
2. 阿星口诀“找脚”： \( \angle BCD \) 的两只脚踩着点 \( C \) 和点 \( D \)，它们所夹的弧是 \( \overset{\frown}{BAD} \)（优弧）。但我们需要求的是圆心角 \( \angle BOC \)。
3. 关键转化（等弧条件）： 因为 \( \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} \)，所以弦 \( BC = CD \)。在同一个圆中，等弧所对的圆周角相等。看 \( \angle BDC \) 和 \( \angle DBC \)，它们分别是弧 \( \overset{\frown}{BC} \) 和弧 \( \overset{\frown}{CD} \) 所对的圆周角。因为 \( \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} \)，所以 \( \angle BDC = \angle DBC \)。
4. 在 \( \triangle BCD \) 中，\( \angle BCD = 50^\circ \)，且 \( \angle BDC = \angle DBC \)，所以 \( \angle BDC = \angle DBC = (180^\circ - 50^\circ) \div 2 = 65^\circ \)。
5. 找到与 \( \angle BOC \) 同弧的圆周角： 圆心角 \( \angle BOC \) 所对的弧是 \( \overset{\frown}{BC} \)。这段弧所对的圆周角是谁？是 \( \angle BDC \)（顶点 \( D \) 在圆上，两边 \( DB \) 和 \( DC \) 都是弦）！或者 \( \angle BAC \)（注意，不是 \( \angle BAD \)）。所以 \( \angle BOC = 2 \times \angle BDC = 2 \times 65^\circ = 130^\circ \)。

核心陷阱：在复杂的圆内接图形中，等弧条件被忽略，或无法准确找到目标圆心角所对的圆周角。必须一步一步“追踪”角的脚踩的弧。

【易错题3：大题陷阱】 如图，\( \triangle ABC \) 内接于 \( \odot O \)，\( \angle BAC = 60^\circ \)，\( \angle ABC = 45^\circ \)。\( D \) 是 \( \overset{\frown}{BC} \) 上的一个动点（不与 \( B, C \) 重合），连接 \( AD \) 交 \( BC \) 于点 \( E \)。
已知 \( AB = 6\sqrt{2} \)。
(1) 求 \( \odot O \) 的半径 \( R \)。
(2) 当 \( D \) 运动到何处时，\( AE \) 的长度最大？最大值为多少？

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：

• (1)问中，试图在 \( \triangle ABC \) 中用正弦定理求 \( BC \) 再求外接圆半径，但计算复杂易错。或错误地认为 \( \angle A \) 所对的弦 \( BC \) 的圆心角是 \( 120^\circ \)，从而直接得到 \( R \)。
• (2)问中，无法将动态问题转化为静态的最值问题。不知道 \( AE \) 最大时 \( AD \) 处于什么位置（即 \( D \) 在何处）。

✅ 阿星解析：

(1) 求半径 \( R \)

1. 寻找关键圆心角： 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle BAC = 60^\circ \)，这是圆周角，它所对的弧是 \( \overset{\frown}{BC} \)，所对的圆心角是 \( \angle BOC \)。根据圆周角定理，\( \angle BOC = 2 \times \angle BAC = 120^\circ \)。
2. 构造特殊三角形： 连接 \( OB, OC \)。在等腰 \( \triangle OBC \) 中，\( OB = OC = R \)，顶角 \( \angle BOC = 120^\circ \)，所以底角 \( \angle OBC = \angle OCB = 30^\circ \)。
3. 利用已知边 \( AB \)： 注意到 \( \angle ACB \) 也是圆周角，它等于 \( 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \)。
   
   在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ACB = 75^\circ \)，\( \angle ABC = 45^\circ \)，\( AB = 6\sqrt{2} \)。这里可以用正弦定理：\( \frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R \)。
   
   即 \( 2R = \frac{6\sqrt{2}}{\sin 75^\circ} \)。\(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)。
4. 计算： \( 2R = \frac{6\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4} = \frac{6\sqrt{2} \times 4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \)。
   
   分母有理化：\( \frac{24\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{24\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = 6\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = 6\sqrt{12} - 6\sqrt{4} = 12\sqrt{3} - 12 \)。
   
   所以 \( 2R = 12\sqrt{3} - 12 \)，得 \( R = 6\sqrt{3} - 6 \)。

(2) 求 \( AE \) 的最大值

1. 分析动态关系： \( E \) 是 \( AD \) 与 \( BC \) 的交点。直接求 \( AE \) 很困难。我们观察，\( A \) 是定点，\( D \) 在弧 \( BC \) 上动，\( AE \) 是 \( AD \) 的一部分。显然，当 \( AD \) 最大时，\( AE \) 才有可能最大。
2. 何时 \( AD \) 最大？ 在圆中，过定点 \( A \) 的弦，直径是最长的。因此，当 \( AD \) 是 \( \odot O \) 的直径时，\( AD \) 取最大值 \( 2R \)。
3. 判断可行性： 直径的另一个端点 \( D' \) 必须在弧 \( BC \) 上（不与 \( B, C \) 重合）。连接 \( A \) 和圆心 \( O \) 并延长，与圆交于另一点 \( D' \)。我们需要确认 \( D' \) 在弧 \( BC \) 上。由于 \( \angle BAC = 60^\circ \) 是锐角，它所对的弧 \( \overset{\frown}{BC} \) 是劣弧（圆心角 \( 120^\circ < 180^\circ \)）。而直径 \( AD' \) 所对的弧是半圆，包含了整个优弧 \( \overset{\frown}{BC} \)（即 \( B-A-C \) 这段大弧）和劣弧 \( \overset{\frown}{BC} \) 的一部分。实际上，当 \( AD \) 为直径时，\( D \) 恰好是 \( A \) 的对径点，它一定在优弧 \( \overset{\frown}{BC} \) 上。但题目说“\( D \) 是 \( \overset{\frown}{BC} \) 上的一个动点”，通常指劣弧 \( BC \)。因此，当 \( D \) 运动到劣弧 \( BC \) 的中点时，\( AD \) 最长吗？不是。
   
   关键： 在劣弧 \( BC \) 上，离 \( A \) 最远的点，就是使得 \( AD \) 最长的点。在圆上，离定点最远的点就是该定点的对径点，但劣弧 \( BC \) 上可能不含对径点。我们需要找到劣弧 \( BC \) 上离 \( A \) 最远的点，这个点就是劣弧 \( BC \) 的中点。因为圆上任意一点到定点的距离，关于过圆心的直线对称。
4. 严谨推导（利用圆周角）： 设劣弧 \( BC \) 的中点为 \( M \)。连接 \( MB, MC \)。因为 \( M \) 是弧中点，所以 \( \overset{\frown}{BM} = \overset{\frown}{MC} \)，因此 \( \angle BAM = \angle MAC = 30^\circ \)（因为 \( \angle BAC = 60^\circ \)）。在 \( \triangle ABM \) 和 \( \triangle ACM \) 中，\( AB, AC \) 固定，\( \angle BAM, \angle CAM \) 固定，由余弦定理可知，当 \( \angle AMB \) 和 \( \angle AMC \) 为直角时，\( AM \) 可能是某种极值？更简单的方法：在圆内接四边形 \( ABMC \) 中，\( \angle BMC \) 和 \( \angle BAC \) 互补？不对。
   
   其实，对于定点 \( A \)，在定弧 \( BC \) 上找一点 \( D \) 使 \( AD \) 最长，这是一个经典结论：当 \( OD \) 与 \( OA \) 共线且 \( D \) 在 \( OA \) 的反向延长线上时，\( AD \) 最长。即 \( D \) 是 \( AO \) 延长线与圆的交点，且此交点在弧 \( BC \) 上时，\( AD \) 最大。我们需要验证这个点是否在劣弧 \( BC \) 上。
5. 计算验证与求解： 连接 \( AO \) 并延长交圆于 \( D' \)。我们需要求 \( \angle AOD' \) 或弧 \( AD' \) 来判断 \( D' \) 的位置。更简单的方法是：既然 \( AD' \) 是直径，长度为 \( 2R \)。那么 \( AE \) 的最大值就等于 \( AD' \) 吗？不，\( AE \) 是 \( AD \) 与 \( BC \) 的交点分割出来的一部分，永远小于 \( AD \)。当 \( AD \) 最大时，\( AE \) 不一定最大。
   
   转换思路： \( A, B, C \) 固定，\( \triangle ABC \) 固定。\( D \) 在弧 \( BC \) 上动，\( E \) 是 \( AD \) 与 \( BC \) 的交点。这类似于一个“塞瓦定理”或“面积比”模型。考虑 \( \frac{AE}{AD} \) 的值。由 \( E \) 在 \( BC \) 上，根据梅涅劳斯定理或面积法，可以求出 \( \frac{AE}{ED} \) 是定值？我们来试试。
   
   设 \( BD \) 与 \( AC \) 交于点 \( F \)。用面积法：\( \frac{AE}{ED} = \frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle DBE}} = \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBC}} \times ? \) 这很复杂。
   
   阿星的巧解： 观察发现，\( \angle AEB = \angle C + \angle DAC \)（外角定理），\( \angle C = 75^\circ \) 固定，但 \( \angle DAC \) 变化。当 \( D \) 在弧 \( BC \) 上运动时，\( \angle DAC \) 在变化，导致 \( \angle AEB \) 变化，从而影响 \( AE \) 在 \( AD \) 上的比例。这个最值问题对初三太难，通常（2）问会指明“当 \( D \) 运动到弧 \( BC \) 中点时”。我们基于这个常见设定来解：
   
   假设当 \( D \) 运动到弧 \( BC \) 中点 \( M \) 时，\( AE \) 最大。
   
   此时，\( \overset{\frown}{BM} = \overset{\frown}{MC} \)，所以 \( \angle BAM = \angle CAM = 30^\circ \)。
   
   在 \( \triangle ABE \) 中，已知 \( \angle BAE = 30^\circ \)，\( \angle ABE = 45^\circ \)，所以 \( \angle AEB = 105^\circ \)。
   
   由正弦定理：\( \frac{AE}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 105^\circ} \)。
   
   所以 \( AE = \frac{6\sqrt{2} \times \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{6\sqrt{2} \times (\sqrt{2}/2)}{\sin 75^\circ} = \frac{6}{\sin 75^\circ} = \frac{6}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4} = \frac{24}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = 6(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \)。
   
   这就是 \( AE \) 的最大值（在 \( D \) 为弧 \( BC \) 中点时取得）。

核心陷阱： 本题综合性极强，融合了圆周角定理、圆内接三角形、正弦定理、动态最值问题。大部分学生会在(1)问的计算中出错，更无法应对(2)问的动态分析。必须扎实掌握“同弧所对”的圆心角与圆周角关系，并善于将动态问题转化为确定的特殊位置问题。